Procentuella förändringar

Från måndagen till tisdagen minskade antalet timmar med sol med 30 %. Det motsvarar en förändringsfaktor på 0,7. Om vi skulle beräkna det nya värdet (antalet soltimmar på tisdagen) måste det gamla värdet (antalet soltimmar på måndagen) multipliceras med förändringsfaktorn enligt Förändringsfaktor=Nya värdet/Gamla värdet. Förändringsfaktorn är 0,7 och det nya värdet är 6,3 timmar.

Måndagen hade alltså 9 soltimmar.

Tornet består av fyra likadana rätblock. Eftersom de är likadana utgör de en fjärdedel ( 14) av tornets höjd.

14 är samma sak som 0,25 vilket i procentform blir 25 %. Genom att ta bort ett rätblock blir tornet därför 25 % mindre.

Nu består tornet av tre rätblock så varje rätblock utgör en tredjedel av totala höjden. Placeras det orange rätblocket bredvid tornet ser vi att den är en tredjedel av höjden.

Lägger vi tillbaka rätblocket ökar höjden därför med ca 33 %.

Aktien ökar med 23 % per år, vilket kan motsvaras av förändringsfaktorn 1,23. Vi kallar aktiens värde för x och multiplicerar med 1,23 tills den totala förändringsfaktorn är över 2.

Efter 3 år är den totala förändringsfaktorn ~1,86 och efter 4 år är den ≈ 2,28. Det innebär att aktiens värde har fördubblats någon gång däremellan.

För att bestämma hur många procent fler som var säkra på sitt beslut kan vi först bestämma antalet elever som var säkra vid respektive undersökningstillfälle.

Antal säkra 3 veckor innan valet

Vi vet att det går totalt 32 elever i klassen och att 12,5 % av dessa var säkra på sitt val 3 veckor innan det skulle göras. Vi kan använda andelsformeln för att bestämma hur många elever detta motsvarar. Andelen 12,5 % skriver vi om som 0,125.

Det var alltså 4 elever som var säkra 3 veckor innan valet.

Antal säkra 1 vecka innan valet

Vi har ingen procentsats som anger hur stor andel säkra elever det fanns 1 vecka innan valet. Däremot vet vi att det var 75 procentenheter fler än 2 veckor tidigare. Och eftersom procentenheter anger skillnader mellan procentsatser kan vi addera 75 till den givna procentsatsen för att få procentsatsen för detta tillfälle. Det innebär att 12,5+75=87,5 % av klassen var säkra1vecka innan beslutet. Nu kan vi använda andelsformen för att bestämma hur många elever 87,5 % av totalt 32 st. är.

28 elever var säkra på sitt beslut 1 vecka innan det skulle tas.

Hur många procent fler var säkra 1 vecka innan valet?

Nu vet vi att 4 elever var säkra på sitt val 3 veckor innan det skulle göras och att 28 st. var säkra 1 vecka innan. Skillnaden mellan antalen dividerat med det första värdet ger förändringen. Differensen är 28-4=24st. Vi dividerar 24 med 4 för att få förändringen i procent.

Vi kan nu konstatera att det var 600 % fler elever som var säkra på sitt val vid andra undersökningstillfället.

Eftersom vännerna satsade olika mycket så borde vinsten fördelas proportionerligt efter hur mycket de satsade. Detta beräknas i förhållande till den totala insatsen. Den totala insatsen, Det hela var 120+225+80=425 kr.

Vi beräknar andelen genom att dividera Delen som var och en satsade med insatsen, Det hela. Oves insats var 225 kr. Vi sätter in detta i andelsformeln.

Ove står alltså för 53 % av insatsen, och bör därför få 53 % av vinsten. Multiplicerar vi andelen 0,53 med det hela, som nu är 50 000 kr, får vi att Ove ska vinna 0,53 * 50 000=26 500.

Låt oss kalla kvadratens sida innan förändringen för x. Arean av en kvadrat ges av sidlängden gånger sig själv, dvs. A = x^2.

En ökning med 30 % motsvaras av förändringsfaktorn 1,3, så den nya arean är 1,3A och den nya sidlängden kallar vi s.

Nu kan s lösas ut. Vi kan även använda att A = x^2 för att få bestämma hur lång den nya sidan är i förhållande till den gamla.

x var den gamla sidan och den nya sidan är 1,14x. Förändringsfaktorn 1,14 motsvarar en ökning med 14 % så sidorna ökar med ca 14 % om arean ökar med 30 %.

Vi börjar med att beräkna den ursprungliga timlönen genom att dela månadslönen med antalet arbetstimmar per månad: 24 960/160=156 kr/h. Den ursprungliga timlönen är alltså 156 kr/h. När vi nu ska ta reda på den nya timlönen delar vi upp förändringarna i två delar: lönen och arbetstiden.

Lönen

En minskning med 20 % ger en förändringsfaktor på 0,8. Multipliceras den ursprungliga månadslönen med 0,8 får vi den nya månadslönen.

Den nya månadslönen är alltså 19 968 kr.

Arbetstiden

En ökning med 10 % ger förändringsfaktorn 1,1. Multipliceras den ursprungliga arbetstiden per månad med förändringsfaktorn får vi den nya arbetstiden.

Den nya arbetstiden är 176 timmar/månad. Den nya timlönen blir 19 968176 ≈ 113,5 kr/h. Till sist bestämmer vi förändringsfaktorn då vi går från den gamla timlönen (156 kr/h) till den nya timlönen (113,5 kr/h).

Förändringsfaktorn 0,73 motsvarar en minskning med 27 %.

Om vi skriver om texten matematiskt kan vi uttrycka den som ekvationen: 0,2a+0,1b-0,3c=97. Det vi måste tänka på här är att a, b, och c ska vara heltal. För att få en enklare ekvation med heltal kan vi välja att multiplicera hela ekvationen med 10.

Ett enkelt sätt att komma vidare här är att flytta över 3c och ersätta det med 30, så att vi får 1 000 i högerledet.

För att maximera b så vill vi ha ett så litet heltal för a som möjligt. Det minsta positive heltalet vi kan välja är 1.

Det största möjliga talet b kan vara är 998.

Låt oss kalla byråns ursprungspris för x. Om priset höjs med 900 kr kan det nya priset uttryckas som (x+900) kr. Därefter sänks priset med 60 % vilket uttrycks som förändringsfaktorn 0,4. Genom att multiplicera det nya priset med denna kan vi skapa ett uttryck för det nya priset: (x+900) * 0,4 kr. Vi vet även att det nya priset är 30 % mindre än det ursprungliga, x. Det nya priset kan alltså även skrivas som 0,7x. Nu har vi två uttryck som beskriver samma sak och eftersom de gör det kan vi likställa dem och lösa ut x i ekvationen.

Ursprungspriset var alltså 1 200 kr.

Vi kan kalla priset år 2 013 för x. Året efter ska det ha gått ned 40 % dvs, det ska vara 60 % kvar. 60 % skrivs i decimalform som 0,6. Det betyder att 2 014 års pris kan skrivas 0,6x Detta ska vara lika med 27 öre. det ger oss en ekvation som vi kan lösa.

Priset år 2 014 var 45 öre.

Det nya värdet beräknas genom att multiplicera det gamla värdet med en förändringsfaktor. I vårt fall ökar en jackas pris först med 8 % och därefter med 6 %. En ökning med 8 % motsvarar en förändringsfaktor på 1,08 vilket ger det nya priset 980 * 1,08 kr. När priset sedan ökar med 6 % ska man multiplicera detta nya pris, dvs. 980 * 1,08 kr, med förändringsfaktorn 1,06 vilket ger det slutgiltiga priset: 980 * 1,08 * 1,06 kr.

Låt oss även titta på övriga uttryck.

980 * 0,08 * 0,06

En förändringsfaktor mindre än 1 anger en minskning. Hur stor den minskningen är beräknas som skillnaden mellan 1 och förändringsfaktorn så 0,08 anger en minskning med 92 % på det ursprungliga priset medans 0,06 anger ytterligare en minskning på det nya priset med 94 %.

980 * 1,8 * 1,6

Förändringsfaktorer över 1 anger en ökning. Förändringsfaktorerna 1,8 och 1,6 motsvarar ökningar med 80 % på det ursprungliga priset och därefter 60 % på det nya priset.

980/0,08* 0,06

Vi börjar med att förenkla bråket något: 980/0,08* 0,06=980/0,0048≈ 204 167. Om vi multiplicerar 204 167 med 0,0048 bestämmer vi den del som 0,48 % är av 204 167. Liknande, om vi delar 980 med 0,0048 så bestämmer vi vad det hela är om man andelen är 0,048 % och delen är 980.

980+980* 0,08 +980* 0,06

När man multiplicerar 980 med 0,08 beräknar man vad 8 % av 980 är och genom att lägga till detta till det ursprungliga priset får vi exakt samma sak som när man beräknar produkten. 980* 1,08. Nästa term, dvs. 980 * 1,06, lägger till ytterligare 6 % av ursprungspriset.