Logga in
| 13 sidor teori |
| 36 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
En centimeter är en längdenhet som motsvarar en hundradel av en meter. På samma sätt är ett öre en hundradel av en krona när det gäller pengar. Ett århundrade består av hundra år. Med detta i åtanke betyder ordet procent just per hundra. Föreställ dig kvadraten nedan, som är uppdelad i 100 mindre rutor.
Skriv andelen mellan färgade rutor och det totala antalet rutor som ett bråk.
Ett vanligt sätt att beskriva andelar är med procent, som skrivs med ett procenttecken, %, och anger hundradelar. Förutom att använda % kan man även skriva procent som ett bråk eller som ett decimaltal.
Procent | Bråk | Decimaltal |
---|---|---|
1% | 1001 | 0,01 |
45% | 10045 | 0,45 |
135% | 100135 | 1,35 |
Skriv procenten som hundradelar.
procent anger hundradelar.
Fyll i luckorna med rätt procent, angiven som ett heltal, eller decimaltal.
Sätt in värden
Subtrahera term
Förläng med 25
Skriv i procent
En förändringsfaktor är ett tal som beskriver hur ett värde förändras, t.ex. att det ökar med 20% eller minskar med 35%. Förändringsfaktorn skrivs oftast i decimalform och kan tolkas som hur stor andel det nya värdet utgör av det gamla. Den beräknas som kvoten mellan värdet efter förändringen (nya värdet) och värdet före förändringen (gamla värdet).
Fo¨ra¨ndringsfaktor=Gamla va¨rdetNya va¨rdet
Vi delar sedan med 100 för att få förändringsfaktorn.
Procentuell ökning beräknas genom att dividera det nya priset med det gamla priset.
Nytt va¨rde=150 och Gammalt va¨rde=125
Förkorta med 25
Skriv i decimalform
Är de procentuella förändringarna lika stora kan man skriva den totala förändringen som en potens. Exempelvis kan en ökning med 45% tre år i rad skrivas som 1,45⋅1,45⋅1,45 vilket är samma sak som 1,453.
Beskriva de procentuella förändringarna som förändringsfaktorer.
Det sker tre procentuella förändringar: två sänkningar och en ökning. Vi börjar med att beskriva de procentuella förändringarna som förändringsfaktorer.
Procentuell förändring | Förändringsfaktor |
---|---|
−20% | 0,8 |
−30% | 0,7 |
+50% | 1,5 |
I den här lektionen har det utforskats olika begrepp relaterade till procentuella förändringar. Tabellen nedan ger en kortfattad sammanfattning av dessa begrepp, tillsammans med tydliga definitioner och illustrativa exempel.
Concept | Definition | Example |
---|---|---|
Procent | Ett sätt att beskriva delar av en helhet, uttryckt som hundradelar och skrivet med % symbolen. | 1%=1001=0,0145%=10045=0,45
|
Procentenhet | Skillnaden mellan två procenttal, används för att belysa en absolut förändring. | En ökning från 4% till 5% är en förändring med 1 procentenhet. |
Förändringsfaktor | Ett tal som beskriver hur ett värde förändras (ökar eller minskar), beräknat som Gamla va¨rdetNya va¨rdet |
En förändringsfaktor på 1,2 indikerar en ökning med 20%, medan 0,8 indikerar en minskning med 20%. |
Upprepade procentuella förändringar | Beräkning av den kumulativa effekten av flera procentuella förändringar genom att multiplicera deras respektive förändringsfaktorer. | Om priset på mjölk ökar med 10% och sedan med 20%, blir den totala förändringsfaktorn 1,10⋅1,20=1,32 vilket motsvarar en total ökning på 32%. |
Skillnaden mellan befolkningarna dividerat med det gamla värdet ger förändringen. På 100 år ökade befolkningen med 6,8-1,75=5,05 miljarder. Vi dividerar skillnaden med det gamla värdet 1,75 miljarder.
Världens befolkning ökade med cirka 289 %.
Vi tittar först på minskningen och därefter ökningen.
Anta att befolkningsmängden i kommunen var x personer för tio år sen. Detta antal minskade med 20 %, så fem år senare var det 80 % kvar. Det kan vi skriva som 0.,8 så efter 5 år var befolkningen 0.8x.
Om något ökar med 20 % är det 120 % av var det var före ökningen. 120 % skriver vi i decimalform som 1,20 så detta är förändringsfaktorn. Befolkningen efter fem år på 0,8x ökar nu, så att antalet personer efter ökningen blir 0,8x * 1,2. Nu har vi ett uttryck befolkningsmängden efter alla förändringar. Detta ska vara lika med 1 600.
För 10 år sedan var befolkningen 1 667 personer.
Från måndagen till tisdagen minskade antalet timmar med sol med 30 %. Det motsvarar en förändringsfaktor på 0,7. Om vi skulle beräkna det nya värdet (antalet soltimmar på tisdagen) måste det gamla värdet (antalet soltimmar på måndagen) multipliceras med förändringsfaktorn enligt Förändringsfaktor=Nya värdet/Gamla värdet. Förändringsfaktorn är 0,7 och det nya värdet är 6,3 timmar.
Måndagen hade alltså 9 soltimmar.
Tornet består av fyra likadana klossar.
Tornet består av fyra likadana rätblock. Eftersom de är likadana utgör de en fjärdedel ( 14) av tornets höjd.
14 är samma sak som 0,25 vilket i procentform blir 25 %. Genom att ta bort ett rätblock blir tornet därför 25 % mindre.
Nu består tornet av tre rätblock så varje rätblock utgör en tredjedel av totala höjden. Placeras det orange rätblocket bredvid tornet ser vi att den är en tredjedel av höjden.
Lägger vi tillbaka rätblocket ökar höjden därför med ca 33 %.
Aktien ökar med 23 % per år, vilket kan motsvaras av förändringsfaktorn 1,23. Vi kallar aktiens värde för x och multiplicerar med 1,23 tills den totala förändringsfaktorn är över 2.
År | Värde | ≃ |
---|---|---|
1 | x* 1,23^1 | 1,23x |
2 | x* 1,23^2 | 1,51x |
3 | x* 1,23^3 | 1,86x |
4 | x* 1,23^4 | 2,28x |
Efter 3 år är den totala förändringsfaktorn ~1,86 och efter 4 år är den ≈ 2,28. Det innebär att aktiens värde har fördubblats någon gång däremellan.
För att bestämma hur många procent fler som var säkra på sitt beslut kan vi först bestämma antalet elever som var säkra vid respektive undersökningstillfälle.
Vi vet att det går totalt 32 elever i klassen och att 12,5 % av dessa var säkra på sitt val 3 veckor innan det skulle göras. Vi kan använda andelsformeln för att bestämma hur många elever detta motsvarar. Andelen 12,5 % skriver vi om som 0,125.
Det var alltså 4 elever som var säkra 3 veckor innan valet.
Vi har ingen procentsats som anger hur stor andel säkra elever det fanns 1 vecka innan valet. Däremot vet vi att det var 75 procentenheter fler än 2 veckor tidigare. Och eftersom procentenheter anger skillnader mellan procentsatser kan vi addera 75 till den givna procentsatsen för att få procentsatsen för detta tillfälle. Det innebär att 12,5+75=87,5 % av klassen var säkra1vecka innan beslutet. Nu kan vi använda andelsformen för att bestämma hur många elever 87,5 % av totalt 32 st. är.
28 elever var säkra på sitt beslut 1 vecka innan det skulle tas.
Nu vet vi att 4 elever var säkra på sitt val 3 veckor innan det skulle göras och att 28 st. var säkra 1 vecka innan. Skillnaden mellan antalen dividerat med det första värdet ger förändringen. Differensen är 28-4=24st. Vi dividerar 24 med 4 för att få förändringen i procent.
Vi kan nu konstatera att det var 600 % fler elever som var säkra på sitt val vid andra undersökningstillfället.
Tre vänner spelar på trav. De bestämde de sig för att lägga ihop sina insatser (se tabell) och satsa på samma häst.
Lars | Ove | Martin |
---|---|---|
120 kr | 225 kr | 80 kr |
Eftersom vännerna satsade olika mycket så borde vinsten fördelas proportionerligt efter hur mycket de satsade. Detta beräknas i förhållande till den totala insatsen. Den totala insatsen, Det hela
var
120+225+80=425 kr.
Vi beräknar andelen genom att dividera Delen
som var och en satsade med insatsen, Det hela
. Oves insats var 225 kr. Vi sätter in detta i andelsformeln.
Ove står alltså för 53 % av insatsen, och bör därför få 53 % av vinsten. Multiplicerar vi andelen 0,53 med det hela, som nu är 50 000 kr, får vi att Ove ska vinna 0,53 * 50 000=26 500.
Låt oss kalla kvadratens sida innan förändringen för x. Arean av en kvadrat ges av sidlängden gånger sig själv, dvs. A = x^2.
En ökning med 30 % motsvaras av förändringsfaktorn 1,3, så den nya arean är 1,3A och den nya sidlängden kallar vi s.
Nu kan s lösas ut. Vi kan även använda att A = x^2 för att få bestämma hur lång den nya sidan är i förhållande till den gamla.
x var den gamla sidan och den nya sidan är 1,14x. Förändringsfaktorn 1,14 motsvarar en ökning med 14 % så sidorna ökar med ca 14 % om arean ökar med 30 %.
Vi börjar med att beräkna den ursprungliga timlönen genom att dela månadslönen med antalet arbetstimmar per månad: 24 960/160=156 kr/h. Den ursprungliga timlönen är alltså 156 kr/h. När vi nu ska ta reda på den nya timlönen delar vi upp förändringarna i två delar: lönen och arbetstiden.
En minskning med 20 % ger en förändringsfaktor på 0,8. Multipliceras den ursprungliga månadslönen med 0,8 får vi den nya månadslönen.
Den nya månadslönen är alltså 19 968 kr.
En ökning med 10 % ger förändringsfaktorn 1,1. Multipliceras den ursprungliga arbetstiden per månad med förändringsfaktorn får vi den nya arbetstiden.
Den nya arbetstiden är 176 timmar/månad. Den nya timlönen blir 19 968176 ≈ 113,5 kr/h. Till sist bestämmer vi förändringsfaktorn då vi går från den gamla timlönen (156 kr/h) till den nya timlönen (113,5 kr/h).
Förändringsfaktorn 0,73 motsvarar en minskning med 27 %.
Om vi skriver om texten matematiskt kan vi uttrycka den som ekvationen: 0,2a+0,1b-0,3c=97. Det vi måste tänka på här är att a, b, och c ska vara heltal. För att få en enklare ekvation med heltal kan vi välja att multiplicera hela ekvationen med 10.
Ett enkelt sätt att komma vidare här är att flytta över 3c och ersätta det med 30, så att vi får 1 000 i högerledet.
För att maximera b så vill vi ha ett så litet heltal för a som möjligt. Det minsta positive heltalet vi kan välja är 1.
Det största möjliga talet b kan vara är 998.
Låt oss kalla byråns ursprungspris för x. Om priset höjs med 900 kr kan det nya priset uttryckas som (x+900) kr. Därefter sänks priset med 60 % vilket uttrycks som förändringsfaktorn 0,4. Genom att multiplicera det nya priset med denna kan vi skapa ett uttryck för det nya priset: (x+900) * 0,4 kr. Vi vet även att det nya priset är 30 % mindre än det ursprungliga, x. Det nya priset kan alltså även skrivas som 0,7x. Nu har vi två uttryck som beskriver samma sak och eftersom de gör det kan vi likställa dem och lösa ut x i ekvationen.
Ursprungspriset var alltså 1 200 kr.
Vi kan kalla priset år 2 013 för x. Året efter ska det ha gått ned 40 % dvs, det ska vara 60 % kvar. 60 % skrivs i decimalform som 0,6. Det betyder att 2 014 års pris kan skrivas 0.6x Detta ska vara lika med 27 öre. det ger oss en ekvation som vi kan lösa.
Priset år 2 014 var 45 öre.
Det nya värdet beräknas genom att multiplicera det gamla värdet med en förändringsfaktor. I vårt fall ökar en jackas pris först med 8 % och därefter med 6 %. En ökning med 8 % motsvarar en förändringsfaktor på 1,08 vilket ger det nya priset 980 * 1,08 kr. När priset sedan ökar med 6 % ska man multiplicera detta nya pris, dvs. 980 * 1,08 kr, med förändringsfaktorn 1,06 vilket ger det slutgiltiga priset: 980 * 1,08 * 1,06 kr.
Låt oss även titta på övriga uttryck.
En förändringsfaktor mindre än 1 anger en minskning. Hur stor den minskningen är beräknas som skillnaden mellan 1 och förändringsfaktorn så 0,08 anger en minskning med 92 % på det ursprungliga priset medans 0.06 anger ytterligare en minskning på det nya priset med 94 %.
Förändringsfaktorer över 1 anger en ökning. Förändringsfaktorerna 1,8 och 1,6 motsvarar ökningar med 80 % på det ursprungliga priset och därefter 60 % på det nya priset.
Vi börjar med att förenkla bråket något: 980/0,08* 0,06=980/0,0048≈ 204 167. Om vi multiplicerar 204 167 med 0,0048 bestämmer vi den del som 0,48 % är av 204 167. Liknande, om vi delar 980 med 0,0048 så bestämmer vi vad det hela är om man andelen är 0,048 % och delen är 980.
När man multiplicerar 980 med 0,08 beräknar man vad 8 % av 980 är och genom att lägga till detta till det ursprungliga priset får vi exakt samma sak som när man beräknar produkten. 980* 1,08. Nästa term, dvs. 980 * 1,06, lägger till ytterligare 6 % av ursprungspriset.