1a
Kurs 1a Visa detaljer
2. Procentuella förändringar
Fortsätt till nästa lektion
Lektion
Övningar
Tester
Kapitel 
2. 

Procentuella förändringar

Innehållet förklarar de matematiska begreppen relaterade till procentuella förändringar, inklusive hur man beräknar ökningar och minskningar i procent. Det täcker olika aspekter som förändringsfaktor, procentuell ökning och minskning, och hur man räknar ut dessa värden. Innehållet är utformat för att lära läsaren att förstå och tillämpa dessa begrepp i olika verkliga situationer, som att beräkna löneökningar, prisförändringar eller någon situation där förståelse för procentuell förändring är väsentlig. Det ger exempel och förklaringar för att göra dessa matematiska begrepp tillgängliga för en bred publik.
Visa mer expand_more
Begrepp Modellering Problemlösning Procedur Resonemang och Kommunikation
Inställningar & verktyg för lektion
13 sidor teori
36 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Procentuella förändringar
Sida av 13


I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
  • Procent
  • Procentenhet
  • Förändringsfaktor
  • Upprepade procentuella förändringar

Förkunskaper

Utforska

En speciell sorts andel

En centimeter är en längdenhet som motsvarar en hundradel av en meter. På samma sätt är ett öre en hundradel av en krona när det gäller pengar. Ett århundrade består av hundra år. Med detta i åtanke betyder ordet procent just per hundra. Föreställ dig kvadraten nedan, som är uppdelad i mindre rutor.

En kvadrat uppdelad i 100 delar.

Skriv andelen mellan färgade rutor och det totala antalet rutor som ett bråk.

En kvadrat uppdelad i 100 delar. Ett slumpmässigt antal rutor är färgade i blått. Förhållandet skrivet som en bråkdel omvandlas till procent.
Teori

Procent

Ett vanligt sätt att beskriva andelar är med procent, som skrivs med ett procenttecken, och anger hundradelar. Förutom att använda kan man även skriva procent som ett bråk eller som ett decimaltal.

Procent Bråk Decimaltal
Decimaltal kan enkelt skrivas om som procent genom att man multiplicerar dem med Bråk kan däremot vara svårare att direkt göra om till procent. Hur många procent är t.ex. Om det är möjligt att förlänga eller förkorta bråket så att nämnaren blir kan man dock läsa av procentsatsen direkt i täljaren:
En tiondels procent kallas promille eller tusendel. En annan vanlig enhet är ppm som står för miljondel.
Exempel

Omvandla från procent till decimalform

Skriv i decimalform.

Ledtråd

Skriv procenten som hundradelar.

Lösning

Procent anger antalet hundradelar, så är alltså hundradelar, dvs. Vi multiplicerar in i bråket och utför divisionen.
Procentsatsen är alltså samma sak som decimaltalet
Exempel

Omvandla från decimalform till procent

Skriv talet i procentform.

Ledtråd

procent anger hundradelar.

Lösning

Eftersom procent anger hundradelar kan man multiplicera ett tal med för att beräkna hur många procent det motsvarar. Vi får alltså
vilket innebär att är samma sak som
Övning

Att omvandla mellan decimaltal och procent

Fyll i luckorna med rätt procent, angiven som ett heltal, eller decimaltal.

En slumpgenerator som genererar olika procent eller bråk.
Teori

Procentenhet

Procentenheter används för att uttrycka skillnaden mellan två procentandelar. Till exempel kan kronor lånas för att köpa en spelkonsol till en räntesats av Om räntesatsen stiger till ökar räntan med procentenhet.

Extra

Procentpoäng och procentuell förändring
Ökningen i procent av räntan kan beräknas med hjälp av formeln för procentuell förändring och räntesatserna. Observera att i detta fall är förändringsbeloppet lika med ökningen i procentenheter.
Detta innebär att ökningen i räntan kan uttryckas som procentenhet eller
Teori

Förändringsfaktor

En förändringsfaktor är ett tal som beskriver hur ett värde förändras, t.ex. att det ökar med eller minskar med Förändringsfaktorn skrivs oftast i decimalform och kan tolkas som hur stor andel det nya värdet utgör av det gamla. Den beräknas som kvoten mellan värdet efter förändringen (nya värdet) och värdet före förändringen (gamla värdet).

Om förändringsfaktorn är större än innebär det att värdet har ökat och om den är mindre än betyder det att värdet har minskat.
Att förändringsfaktorn är betyder att värdet ökar med och att det nya värdet alltså är av det gamla. På samma sätt betyder en förändringsfaktor som är att värdet minskar med Den procentuella förändringen går alltså att läsa av i hur många hundradelar förändringsfaktorn skiljer sig från
Exempel

Vad blir förändringsfaktorn?

a Ange förändringsfaktorn om priset på en tröja ökar med
b Ange förändringsfaktorn om priset på en tröja minskar med

Ledtråd

a En ökning med motsvarar en förändringsfaktor större än
b En minskning med motsvarar en förändringsfaktor mindre än

Lösning

a Om priset på tröjan ökar med blir slutpriset av det gamla eftersom man adderar till de ursprungliga Man delar sedan med vilket ger oss förändringsfaktorn.
b Om priset istället minskar med måste vi dra bort procentsatsen från

Vi delar sedan med för att få förändringsfaktorn.

Exempel

Vad blir den procentuella förändringen?

Priset på en lampa ökar från kr till kr. Vad är den procentuella ökningen?

Ledtråd

Procentuell ökning beräknas genom att dividera det nya priset med det gamla priset.

Lösning

För att ange den procentuella ökningen bestämmer vi först förändringsfaktorn. Denna beräknas genom att dividera det nya priset med det gamla.
Det nya priset är kr och det gamla är Vi sätter in dessa i formeln.
Förändringsfaktorn är eller Den ligger alltså hundradelar, dvs. , över . Den procentuella ökningen är alltså .
Teori

Upprepade procentuella förändringar

För att beräkna en procentuell förändring av ett värde multiplicerar man det en förändringsfaktor. Om värdet sedan ökar eller minskar igen multiplicerar man resultatet av den första förändringen med förändringsfaktorn för den andra ändringen. Ett exempel på en sådan upprepad procentuell förändring är om priset på en liter mjölk, först ökar med
för att sedan öka igen med Då multiplicerar man resultatet från första ökningen med den nya förändringsfaktorn, :
Multiplicerar man ihop de två förändringsfaktorerna får man vilket kan tolkas som en total förändringsfaktor för båda ändringarna. Det är alltså möjligt att bestämma att priset totalt ökar med utan att veta det ursprungliga priset på mjölken.


Extra

Lika stora procentuella förändringar

Är de procentuella förändringarna lika stora kan man skriva den totala förändringen som en potens. Exempelvis kan en ökning med tre år i rad skrivas som vilket är samma sak som

Exempel

Vad blir den totala förändringsfaktorn?

Priset på en begagnad byrå är kr. Under en rea sänks priset först med och sedan en gång till med på reapriset. Ägaren får inte byrån såld så han målar om den och höjer priset med Vad är det slutliga priset?

Ledtråd

Beskriva de procentuella förändringarna som förändringsfaktorer.

Lösning

Det sker tre procentuella förändringar: två sänkningar och en ökning. Vi börjar med att beskriva de procentuella förändringarna som förändringsfaktorer.

Procentuell förändring Förändringsfaktor
Genom att multiplicera de tre förändringsfaktorerna med varandra får vi den totala förändringsfaktorn:
Den totala förändringsfaktorn är Slutpriset ligger alltså under så totalt sett har priset sänkts med Det slutliga priset blir


Avslut

Sammanfattning

I den här lektionen har det utforskats olika begrepp relaterade till procentuella förändringar. Tabellen nedan ger en kortfattad sammanfattning av dessa begrepp, tillsammans med tydliga definitioner och illustrativa exempel.

Concept Definition Example
Procent Ett sätt att beskriva delar av en helhet, uttryckt som hundradelar och skrivet med symbolen.
Procentenhet Skillnaden mellan två procenttal, används för att belysa en absolut förändring. En ökning från till är en förändring med procentenhet.
Förändringsfaktor Ett tal som beskriver hur ett värde förändras (ökar eller minskar), beräknat som
En förändringsfaktor på indikerar en ökning med medan indikerar en minskning med
Upprepade procentuella förändringar Beräkning av den kumulativa effekten av flera procentuella förändringar genom att multiplicera deras respektive förändringsfaktorer. Om priset på mjölk ökar med och sedan med blir den totala förändringsfaktorn vilket motsvarar en total ökning på


Procentuella förändringar
Uppgift 1.1