Förändringsfaktor och procentuell ökning: Räkna ut ökning i procent

Videolektion

Mathleaks

Minispelare aktiv

Begrepp

Procent

Ett vanligt sätt att beskriva andelar är med procent, som skrivs med ett procenttecken, $%,$ och anger hundradelar. Förutom att använda $%$ kan man även skriva procent som ett bråk eller som ett decimaltal.

Procent	Bråk	Decimaltal
$1 %$	$\frac{1}{1 0 0}$	$0.01$
$45 %$	$\frac{4 5}{1 0 0}$	$0.45$
$135 %$	$\frac{1 3 5}{1 0 0}$	$1.35$

Decimaltal kan enkelt skrivas om som procent genom att man multiplicerar dem med

100 .

Bråk kan däremot vara svårare att direkt göra om till procent. Hur många procent är t.ex.

\frac{3}{2 5} ?

Om det är möjligt att förlänga eller förkorta bråket så att nämnaren blir

100

kan man dock läsa av procentsatsen direkt i täljaren:

\frac{3 \cdot 4}{2 5 \cdot 4} = \frac{1 2}{1 0 0} = 12 % .

En tiondels procent kallas promille eller tusendel. En annan vanlig enhet är ppm som står för miljondel.

Omvandla från procent till decimalform

fullscreen

Skriv $13.5 %$ i decimalform.

Visa Lösning

Procent anger antalet hundradelar, så

13.5 %

är alltså

13.5

hundradelar, dvs.

13.5 \cdot \frac{1}{1 0 0} .

Vi multiplicerar in 13.5 i bråket och utför divisionen.

13.5 \cdot \frac{1}{1 0 0} = \frac{1 3 . 5}{1 0 0} = 0.135

Procentsatsen

13.5 %

är alltså samma sak som decimaltalet

0.135 .

Omvandla från decimalform till procent

fullscreen

Skriv talet $1.12$ i procentform.

Visa Lösning

Eftersom procent anger hundradelar kan man multiplicera ett tal med

100

för att beräkna hur många procent det motsvarar. Vi får alltså

1.12 \cdot 100 = 112,

vilket innebär att

1.12

är samma sak som

112 % .

Begrepp

Procentenhet

Procentenheter används för att uttrycka skillnaden mellan två procentsatser. Man använder ordet procentenheter för att undvika förvirring när man säger saker som

" Partiets v \ddot{a} ljarst \ddot{o} d \ddot{o} kade med 4 procent ."

Betyder det att antalet väljare ökade med

4 %

jämfört med det tidigare stödet för partiet, exempelvis från

100000

väljare till

104000,

eller menar man att väljarstödet har ökat från t.ex.

5 %

till

9 % ?

Om man säger

" Partiets v \ddot{a} ljarst \ddot{o} d \ddot{o} kade med 4 procentenheter,"

råder det ingen tvekan om att det är den andra situationen man menar.

Regel

Förändringsfaktor

En förändringsfaktor är ett tal som beskriver hur ett värde förändras, t.ex. att det ökar med $20 %$ eller minskar med $35 % .$ Förändringsfaktorn skrivs oftast i decimalform och kan tolkas som hur stor andel det nya värdet utgör av det gamla. Den beräknas som kvoten mellan värdet efter förändringen (nya värdet) och värdet före förändringen (gamla värdet).

$F \ddot{o} r \ddot{a} ndringsfaktor = \frac{Nya v a ¨ rdet}{Gamla v a ¨ rdet}$

Om förändringsfaktorn är större än

1

innebär det att värdet har ökat och om den är mindre än

1

betyder det att värdet har minskat.

Att förändringsfaktorn är

1.2

betyder att värdet ökar med

20 %

och att det nya värdet alltså är

120 %

av det gamla. På samma sätt betyder en förändringsfaktor som är

0.8

att värdet minskar med

20 % .

Den procentuella förändringen går alltså att läsa av i hur många hundradelar förändringsfaktorn skiljer sig från

1 .

Vad blir förändringsfaktorn?

fullscreen

Ange förändringsfaktorn om priset på en tröja ökar respektive minskar med

35 % .

Visa Lösning

Vi går igenom fallen ett i taget.

Exempel

Priset ökar med $35 %$

Om priset på tröjan ökar med

35 %

blir slutpriset

135 %

av det gamla eftersom man adderar

35 %

till de ursprungliga

100 % .

Man delar sedan med

100

vilket ger oss förändringsfaktorn.

135 % = \frac{1 3 5}{1 0 0} = 1.35

Exempel

Priset minskar med $35 %$

Om priset istället minskar med

35 %

måste vi dra bort procentsatsen från

100 % .

100 % - 35 % = 65 %

Vi delar sedan med

100

för att få förändringsfaktorn.

65 % = \frac{6 5}{1 0 0} = 0.65

Vad blir den procentuella förändringen?

fullscreen

Priset på en lampa ökar från $125$ kr till $150$ kr. Vad är den procentuella ökningen?

Visa Lösning

För att ange den procentuella ökningen bestämmer vi först förändringsfaktorn. Denna beräknas genom att dividera det nya priset med det gamla.

F \ddot{o} r \ddot{a} ndringsfaktor = \frac{Nya v a ¨ rdet}{Gamla v a ¨ rdet}

Det nya priset är

150

kr och det gamla är

125 .

Vi sätter in dessa i formeln.

F \ddot{o} r \ddot{a} ndringsfaktor = \frac{Nya v a ¨ rdet}{Gamla v a ¨ rdet}

SubstituteII

$Nytt v \ddot{a} rde = 150$ och $Gammalt v \ddot{a} rde = 125$

F \ddot{o} r \ddot{a} ndringsfaktor = \frac{1 5 0}{1 2 5}

ReduceFrac

Förkorta med $25$

F \ddot{o} r \ddot{a} ndringsfaktor = \frac{6}{5}

WriteDec

Skriv i decimalform

F \ddot{o} r \ddot{a} ndringsfaktor = 1.2

Förändringsfaktorn är

1.2,

eller

1.20 .

Den ligger alltså

20

hundradelar, dvs.

20 %

, över

1

. Den procentuella ökningen är alltså

20 %

Begrepp

Upprepade procentuella förändringar

För att beräkna en procentuell förändring av ett värde multiplicerar man det en förändringsfaktor. Om värdet sedan ökar eller minskar igen multiplicerar man resultatet av den första förändringen med förändringsfaktorn för den andra ändringen. Ett exempel på en sådan upprepad procentuell förändring är om priset på en liter mjölk,

x,

först ökar med

10 %,

x \cdot 1.10,

för att sedan öka igen med

20 % .

Då multiplicerar man resultatet från första ökningen med den nya förändringsfaktorn,

1.20

x \cdot 1.10 \cdot 1.20 .

Multiplicerar man ihop de två förändringsfaktorerna får man

1.10 \cdot 1.20 = 1.32,

vilket kan tolkas som en total förändringsfaktor för båda ändringarna. Det är alltså möjligt att bestämma att priset totalt ökar med

32 %

utan att veta det ursprungliga priset på mjölken.

Begrepp

Lika stora procentuella förändringar

Är de procentuella förändringarna lika stora kan man skriva den totala förändringen som en potens. Exempelvis kan en ökning med 45 % tre år i rad skrivas som

1.45 \cdot 1.45 \cdot 1.45

vilket är samma sak som

1.4 5^{3} .

Vad blir den totala förändringsfaktorn?

fullscreen

Priset på en begagnad byrå är $1000$ kr. Under en rea sänks priset först med $20 %$ och sedan en gång till med $30 %$ på reapriset. Ägaren får inte byrån såld så han målar om den och höjer priset med $50 % .$ Vad är det slutliga priset och med hur många procent har det ändrats totalt?

Visa Lösning

Det sker tre procentuella förändringar: två sänkningar och en ökning. Vi börjar med att beskriva de procentuella förändringarna som förändringsfaktorer.

Procentuell förändring	Förändringsfaktor
$- 20 %$	0.8
$- 30 %$	0.7
$+ 50 %$	1.5

Genom att multiplicera de tre förändringsfaktorerna med varandra får vi den totala förändringsfaktorn:

0.8 \cdot 0.7 \cdot 1.5 = 0.84 .

Den totala förändringsfaktorn är

0.84 .

Slutpriset ligger alltså

0.16

under

1

så totalt sett har priset sänkts med

16 % .

Det slutliga priset blir

0.84 \cdot 1000 = 840 kr .

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Exempel

Omvandla från procent till decimalform

Exempel

Omvandla från decimalform till procent

Exempel

Vad blir förändringsfaktorn?

Exempel

Vad blir den procentuella förändringen?

Exempel

Vad blir den totala förändringsfaktorn?