2. Procentuella förändringar
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 2
2.
Procentuella förändringar
Innehållet förklarar de matematiska begreppen relaterade till procentuella förändringar, inklusive hur man beräknar ökningar och minskningar i procent. Det täcker olika aspekter som förändringsfaktor, procentuell ökning och minskning, och hur man räknar ut dessa värden. Innehållet är utformat för att lära läsaren att förstå och tillämpa dessa begrepp i olika verkliga situationer, som att beräkna löneökningar, prisförändringar eller någon situation där förståelse för procentuell förändring är väsentlig. Det ger exempel och förklaringar för att göra dessa matematiska begrepp tillgängliga för en bred publik.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 12 sidor teori |
| | 36 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Procentuella förändringar
Sida av 12
Utforska
En speciell sorts andel
En centimeter är en längdenhet som motsvarar en hundradel av en meter. På samma sätt är ett öre en hundradel av en krona när det gäller pengar. Ett århundrade består av hundra år. Med detta i åtanke betyder ordet procent just per hundra. Föreställ dig en kvadrat nedan, som är uppdelad i 100 mindre rutor.
Skriv förhållandet mellan antalet färgade rutor och det totala antalet rutor som ett bråk.
Teori
Procent
Ett vanligt sätt att beskriva andelar är med procent, som skrivs med ett procenttecken, %, och anger hundradelar. Förutom att använda % kan man även skriva procent som ett bråk eller som ett decimaltal.
| Procent | Bråk | Decimaltal |
|---|---|---|
| 1 % | 1/100 | 0,01 |
| 45 % | 45/100 | 0,45 |
| 135 % | 135/100 | 1,35 |
Decimaltal kan enkelt skrivas om som procent genom att man multiplicerar dem med 100. Bråk kan däremot vara svårare att direkt göra om till procent. Hur många procent är t.ex. 325? Om det är möjligt att förlänga eller förkorta bråket så att nämnaren blir 100 kan man dock läsa av procentsatsen direkt i täljaren: 3 * 4/25 * 4=12/100= 12 %.
En tiondels procent kallas promille eller tusendel. En annan vanlig enhet är ppm som står för miljondel.Exempel
Omvandla från procent till decimalform
Skriv 13,5 % i decimalform.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["0.135"]}}
Ledtråd
Skriv procenten som hundradelar.
Lösning
Procent anger antalet hundradelar, så 13,5 % är alltså 13,5 hundradelar, dvs. 13,5 * 1/100. Vi multiplicerar in 13,5 i bråket och utför divisionen. 13,5 * 1/100=13,5/100=0,135 Procentsatsen 13,5 % är alltså samma sak som decimaltalet 0,135.
Exempel
Omvandla från decimalform till procent
Skriv talet 1,12 i procentform.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"%","answer":{"text":["112"]}}
Ledtråd
Procent anger hundradelar.
Lösning
Eftersom procent anger hundradelar kan man multiplicera ett tal med 100 för att beräkna hur många procent det motsvarar. Vi får alltså 1,12 * 100=112, vilket innebär att 1,12 är samma sak som 112 %.
Övning
Att omvandla mellan decimaltal och procent
Fyll i luckorna med rätt procent, angiven som ett heltal, eller decimaltal.
Teori
Procentenhet
Procentenheter används för att uttrycka skillnaden mellan två procenttal. Till exempel kan 10 000 kronor lånas för att köpa en spelkonsol till en räntesats på 4 %. Om räntesatsen stiger till 5 %, har räntan ökat med 1 procentenhet.
Öka 5- 4 = 1procentenhet
Extra
Procentpoäng och procentuell förändring
Ökningen i procent av räntan kan beräknas med hjälp av formeln för procentuell förändring och de givna räntesatserna. Observera att i detta fall är förändringsbeloppet lika med ökningen i procentenheter.
Procentuell förändring=Beloppsändring/Ursprungligt belopp
SubstituteValues
Sätt in värden
Procentuell förändring=5 %- 4 %/4 %
SubTerm
Subtrahera term
Procentuell förändring=1/4
ExpandFrac
Förläng med 25
Procentuell förändring=25/100
WritePercent
Skriv i procent
Procentuell förändring=25 %
Detta innebär att ökningen av räntan kan uttryckas som 1 procentenhet eller 25 %.
Teori
Förändringsfaktor
En förändringsfaktor är ett tal som beskriver hur ett värde förändras, t.ex. att det ökar med 20 % eller minskar med 35 %. Förändringsfaktorn skrivs oftast i decimalform och kan tolkas som hur stor andel det nya värdet utgör av det gamla. Den beräknas som kvoten mellan värdet efter förändringen (nya värdet) och värdet före förändringen (gamla värdet).
Förändringsfaktor=Nya värdet/Gamla värdet
Exempel
Vad blir förändringsfaktorn?
a Ange förändringsfaktorn om priset på en tröja ökar med 35 %.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["1.35"]}}
b Ange förändringsfaktorn om priset på en tröja minskar med 35 %.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["0.65"]}}
Ledtråd
a En ökning med 35 % motsvarar en förändringsfaktor större än 1.
b En minskning med 35 % motsvarar en förändringsfaktor mindre än 1.
Lösning
a Om priset på tröjan ökar med 35 % blir slutpriset 135 % av det gamla eftersom man adderar 35 % till de ursprungliga 100 %. Man delar sedan med 100 vilket ger oss förändringsfaktorn.
135%=135/100=1,35
b Om priset istället minskar med 35 % måste vi dra bort procentsatsen från 100 %. 100 %-35 %=65 %
Vi delar sedan med 100 för att få förändringsfaktorn.
65 %=65/100=0,65Exempel
Vad blir den procentuella förändringen?
Priset på en lampa ökar från 125 kr till 150 kr. Vad är den procentuella ökningen?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"%","answer":{"text":["20"]}}
Ledtråd
Procentuell ökning beräknas genom att dividera det nya priset med det gamla priset.
Lösning
För att ange den procentuella ökningen bestämmer vi först förändringsfaktorn. Denna beräknas genom att dividera det nya priset med det gamla.
Förändringsfaktor=Nya värdet/Gamla värdet
Det nya priset är 150 kr och det gamla är 125. Vi sätter in dessa i formeln.
Förändringsfaktorn är 1,2 eller 1,20. Den ligger alltså 20 hundradelar, dvs. 20 %, över 1. Den procentuella ökningen är alltså 20 %.
Förändringsfaktor=Nya värdet/Gamla värdet
SubstituteII
Nytt värde= 150 och Gammalt värde= 125
Förändringsfaktor=150/125
ReduceFrac
Förkorta med 25
Förändringsfaktor=6/5
WriteDec
Skriv i decimalform
Förändringsfaktor=1,2
Teori
Upprepade procentuella förändringar
För att beräkna en procentuell förändring av ett värde multiplicerar man det en förändringsfaktor. Om värdet sedan ökar eller minskar igen multiplicerar man resultatet av den första förändringen med förändringsfaktorn för den andra ändringen. Ett exempel på en sådan upprepad procentuell förändring är om priset på en liter mjölk, x, först ökar med 10 %, x * 1.10, för att sedan öka igen med 20 %. Då multiplicerar man resultatet från första ökningen med den nya förändringsfaktorn, 1,20: x * 1,10 * 1,20. Multiplicerar man ihop de två förändringsfaktorerna får man 1,10 * 1,20 = 1,32, vilket kan tolkas som en total förändringsfaktor för båda ändringarna. Det är alltså möjligt att bestämma att priset totalt ökar med 32 % utan att veta det ursprungliga priset på mjölken.
Extra
Lika stora procentuella förändringarÄr de procentuella förändringarna lika stora kan man skriva den totala förändringen som en potens. Exempelvis kan en ökning med 45 % tre år i rad skrivas som 1,45 * 1,45 * 1,45 vilket är samma sak som 1,45^3.
Exempel
Vad blir den totala förändringsfaktorn?
Priset på en begagnad byrå är 1 000 kr. Under en rea sänks priset först med 20 % och sedan en gång till med 30 % på reapriset. Ägaren får inte byrån såld så han målar om den och höjer priset med 50 %. Vad är det slutliga priset?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"kr","answer":{"text":["840"]}}
Ledtråd
Beskriva de procentuella förändringarna som förändringsfaktorer.
Lösning
Det sker tre procentuella förändringar: två sänkningar och en ökning. Vi börjar med att beskriva de procentuella förändringarna som förändringsfaktorer.
| Procentuell förändring | Förändringsfaktor |
|---|---|
| - 20 % | 0,8 |
| - 30 % | 0,7 |
| +50 % | 1,5 |
Genom att multiplicera de tre förändringsfaktorerna med varandra får vi den totala förändringsfaktorn: 0,8* 0,7* 1,5=0,84. Den totala förändringsfaktorn är 0,84. Slutpriset ligger alltså 0,16 under 1 så totalt sett har priset sänkts med 16 %. Det slutliga priset blir 0,84* 1 000=840 kr.
Procentuella förändringar
Uppgift 4.1
Den erfarna aktiehandlaren Gordon har två portföljer där han blandat tre olika aktietyper.
| Portfölj | Aktie A | Aktie B | Aktie C |
|---|---|---|---|
| 1 | 15 % | 85 % | 0 % |
| 2 | 40,5 % | 49,5 % | 10 % |
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"%","answer":{"text":["9"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"%","answer":{"text":["20"]}}
security
report
code
security
report
code
Låt oss kalla den totala mängden aktier i den ursprungliga portföljen för x. Det betyder att det finns 0,15x av aktie A och 0,85x av aktie B.
| Portfölj | Aktie A | Aktie B | Aktie C | Totalt |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0,15x | 0,85x | 0x | x |
Nu kompletterar vi portföljen med aktie C så att andelen av den nya aktien utgör 40 %. Om vi kallar det nya antalet aktier för X finns det 0.4X av aktie C. Av de övriga 60 procenten (0,6X) är 15 % aktie A och 85 % aktie B.
| Portfölj | Aktie A | Aktie B | Aktie C | Totalt |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0,15* 0,6X | 0,85 * 0,6X | 0,4X | X |
Nu kan vi beräkna hur stor andel aktie A utgör.
| Portfölj | Aktie A | Aktie B | Aktie C | Totalt |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0,09X | 0,51X | 0,4X | X |
Aktie A utgör 9 %.
Vi ska alltså föra över ett okänt antal aktier från portfölj 2 till portfölj 1. Vi kallar detta antal för y. Det totala antalet aktier i portfölj 1 blir då
X+y.
Eftersom portfölj 2 innehåller 10 % av aktie C så kommer de aktier vi för över från portfölj 2 också innehålla 10 % av aktie C. dvs 0,1y aktier. Totalt finns det alltså 0,4X+0,1y aktie C. Vi delar antalet av aktie C med det totala antalet aktier i portföljen, likställer med 0,35 och löser ut y.
Antalet aktier som ska föras över är 0,2X. Det är 20 % av det totala antalet i portfölj 1. Portföljen blir alltså 20 % större.
security
report
code
Procentuella förändringar
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll