Procentuella förändringar

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Procent

Ett vanligt sätt att beskriva andelar är med procent, som skrivs med ett procenttecken, %,\%, och anger hundradelar. Förutom att använda %\% kan man även skriva procent som ett bråk eller som ett decimaltal.

Procent Bråk Decimaltal
1% 1 \, \% 1100\dfrac{1}{100} 0.01 0.01
45% 45 \, \% 45100\dfrac{45}{100} 0.45 0.45
135% 135 \, \% 135100\dfrac{135}{100} 1.35 1.35

Decimaltal kan enkelt skrivas om som procent genom att man multiplicerar dem med 100.100. Bråk kan däremot vara svårare att direkt göra om till procent. Hur många procent är t.ex. 325?\frac{3}{25}? Om det är möjligt att förlänga eller förkorta bråket så att nämnaren blir 100100 kan man dock läsa av procentsatsen direkt i täljaren: 34254=12100=12%. \dfrac{3 \cdot {\color{#0000FF}{4}}}{25 \cdot {\color{#0000FF}{4}}}=\dfrac{12}{100}= 12\, \%.

En tiondels procent kallas promille eller tusendel. En annan vanlig enhet är ppm som står för miljondel.
Uppgift

Skriv 13.5%13.5\, \% i decimalform.

Lösning

Procent anger antalet hundradelar, så 13.5%13.5\, \% är alltså 13.513.5 hundradelar, dvs. 13.51100.13.5 \cdot \frac{1}{100}. Vi multiplicerar in 13.5 i bråket och utför divisionen. 13.51100=13.5100=0.135 13.5 \cdot \dfrac{1}{100}=\dfrac{13.5}{100}=0.135 Procentsatsen 13.5%13.5\, \% är alltså samma sak som decimaltalet 0.135.0.135.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Skriv talet 1.121.12 i procentform.

Lösning

Eftersom procent anger hundradelar kan man multiplicera ett tal med 100100 för att beräkna hur många procent det motsvarar. Vi får alltså 1.12100=112, 1.12 \cdot 100=112, vilket innebär att 1.121.12 är samma sak som 112%.112\,\%.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Procentenhet

Procentenheter används för att uttrycka skillnaden mellan två procentsatser. Man använder ordet procentenheter för att undvika förvirring när man säger saker som "Partiets vljarstd kade med 4 procent."a¨o¨o¨ \text{"Partiets väljarstöd ökade med 4 procent."} Betyder det att antalet väljare ökade med 4%4\,\% jämfört med det tidigare stödet för partiet, exempelvis från 100000100\,000 väljare till 104000,104\,000, eller menar man att väljarstödet har ökat från t.ex. 5%5\,\% till 9%?9\,\%? Om man säger "Partiets vljarstd kade med 4 procentenheter,"a¨o¨o¨ \text{"Partiets väljarstöd ökade med 4 procentenheter,"}

råder det ingen tvekan om att det är den andra situationen man menar.
Regel

Förändringsfaktor

En förändringsfaktor är ett tal som beskriver hur ett värde förändras, t.ex. att det ökar med 20%20\,\% eller minskar med 35%.35\,\%. Förändringsfaktorn skrivs oftast i decimalform och kan tolkas som hur stor andel det nya värdet utgör av det gamla. Den beräknas som kvoten mellan värdet efter förändringen (nya värdet) och värdet före förändringen (gamla värdet).

Frndringsfaktoro¨a¨=Nya vrdeta¨Gamla vrdeta¨\text{Förändringsfaktor}=\dfrac{\text{Nya värdet}}{\text{Gamla värdet}}

Om förändringsfaktorn är större än 11 innebär det att värdet har ökat och om den är mindre än 11 betyder det att värdet har minskat.
Att förändringsfaktorn är 1.21.2 betyder att värdet ökar med 20%20\,\% och att det nya värdet alltså är 120%120\,\% av det gamla. På samma sätt betyder en förändringsfaktor som är 0.80.8 att värdet minskar med 20%.20\,\%. Den procentuella förändringen går alltså att läsa av i hur många hundradelar förändringsfaktorn skiljer sig från 1.1.
Uppgift
Ange förändringsfaktorn om priset på en tröja ökar respektive minskar med 35%.35\,\%.
Lösning

Vi går igenom fallen ett i taget.

Exempel

Priset ökar med 35%35\, \%

Om priset på tröjan ökar med 35%35\,\% blir slutpriset 135%135\,\% av det gamla eftersom man adderar 35%35\,\% till de ursprungliga 100%.100\,\%. Man delar sedan med 100100 vilket ger oss förändringsfaktorn. 135%=135100=1.35 135\,\%=\dfrac{135}{100}=1.35

Exempel

Priset minskar med 35%35\, \%

Om priset istället minskar med 35%35\,\% måste vi dra bort procentsatsen från 100%.100\,\%. 100%35%=65% 100\,\%-35 \, \%=65\,\% Vi delar sedan med 100100 för att få förändringsfaktorn. 65%=65100=0.65 65\,\%=\dfrac{65}{100}=0.65

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Priset på en lampa ökar från 125125 kr till 150150 kr. Vad är den procentuella ökningen?

Lösning
För att ange den procentuella ökningen bestämmer vi först förändringsfaktorn. Denna beräknas genom att dividera det nya priset med det gamla. Frndringsfaktoro¨a¨=Nya vrdeta¨Gamla vrdeta¨. \text{Förändringsfaktor}=\dfrac{\text{Nya värdet}}{\text{Gamla värdet}}. Det nya priset är 150150 kr och det gamla är 125.125. Vi sätter in dessa i formeln.
Frndringsfaktoro¨a¨=Nya vrdeta¨Gamla vrdeta¨\text{Förändringsfaktor}=\dfrac{\text{Nya värdet}}{\text{Gamla värdet}}
Frndringsfaktoro¨a¨=150125\text{Förändringsfaktor}=\dfrac{{\color{#0000FF}{150}}}{{\color{#009600}{125}}}
Frndringsfaktoro¨a¨=65\text{Förändringsfaktor}=\dfrac{6}{5}
Frndringsfaktoro¨a¨=1.2\text{Förändringsfaktor}=1.2
Förändringsfaktorn är 1.2,1.2, eller 1.20.1.20. Den ligger alltså 2020 hundradelar, dvs. 20%20\,\%, över 11. Den procentuella ökningen är alltså 20%20\, \%.
Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Upprepade procentuella förändringar

För att beräkna en procentuell förändring av ett värde multiplicerar man det en förändringsfaktor. Om värdet sedan ökar eller minskar igen multiplicerar man resultatet av den första förändringen med förändringsfaktorn för den andra ändringen. Ett exempel på en sådan upprepad procentuell förändring är om priset på en liter mjölk, x,x, först ökar med 10%,10\,\%, x1.10, x \cdot 1.10, för att sedan öka igen med 20%.20\,\%. Då multiplicerar man resultatet från första ökningen med den nya förändringsfaktorn, 1.201.20: x1.101.20. x \cdot 1.10 \cdot 1.20. Multiplicerar man ihop de två förändringsfaktorerna får man 1.101.20=1.32,1.10 \cdot 1.20 = 1.32, vilket kan tolkas som en total förändringsfaktor för båda ändringarna. Det är alltså möjligt att bestämma att priset totalt ökar med 32%32\,\% utan att veta det ursprungliga priset på mjölken.

Begrepp

Lika stora procentuella förändringar

Är de procentuella förändringarna lika stora kan man skriva den totala förändringen som en potens. Exempelvis kan en ökning med 45 % tre år i rad skrivas som 1.451.451.451.45\cdot1.45\cdot1.45 vilket är samma sak som 1.453.1.45^3.
Uppgift

Priset på en begagnad byrå är 10001000 kr. Under en rea sänks priset först med 20%20 \, \% och sedan en gång till med 30%30 \, \% på reapriset. Ägaren får inte byrån såld så han målar om den och höjer priset med 50%.50 \, \%. Vad är det slutliga priset och med hur många procent har det ändrats totalt?

Lösning

Det sker tre procentuella förändringar: två sänkningar och en ökning. Vi börjar med att beskriva de procentuella förändringarna som förändringsfaktorer.

Procentuell förändring Förändringsfaktor
-20%\text{-} 20 \, \% 0.8
-30% \text{-} 30 \, \% 0.7
+50%+50 \, \% 1.5

Genom att multiplicera de tre förändringsfaktorerna med varandra får vi den totala förändringsfaktorn: 0.80.71.5=0.84. 0.8\cdot 0.7\cdot 1.5=0.84. Den totala förändringsfaktorn är 0.84.0.84. Slutpriset ligger alltså 0.160.16 under 11 så totalt sett har priset sänkts med 16%.16\,\%. Det slutliga priset blir 0.841000=840 kr. 0.84\cdot 1000=840 \text{ kr.}


Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}