8. Logaritmregler
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 2
8.
Logaritmregler
Lektionenen tillhandahåller en omfattande guide om logaritmregler, vilket hjälper studenter att förstå konceptet med logaritmer och deras regler. Innehållet förklarar reglerna för logaritmer, som logaritmen av en produkt och logaritmen av en potens. Det ger också exempel på hur man löser ekvationer med hjälp av logaritmlagar. Plattformen erbjuder en mängd övningar för att öva dessa koncept, vilket gör det lättare för studenter att förstå och tillämpa logaritmregler i sina matematiska problem.
Inställningar & verktyg för lektion
| | 6 sidor teori |
| | 20 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Logaritmregler
Sida av 6
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Logaritmen av en potens
Om man logaritmerar en potens kan den skrivas om genom att flytta ner exponenten.
lg(a^b ) = b * lg(a)
Man kan visa det med potenslagar.
Regeln gäller endast för positiva a och reella b.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Tiologaritmen av 10
Tiologaritmen av 10 är 1 eftersom lg(10) är det tal man ska höja upp 10 till för att det ska bli 10:
10^1=10 ⇔ lg(10)=1.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Tiologaritmen av 1
Tiologaritmen av 1 är 0 eftersom lg(1) är det tal man ska höja upp 10 till för att det ska bli 1. Alla tal (förutom 0) upphöjt till 0 är 1 och därför är
10^0=1 ⇔ lg(1)=0.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Lös ekvationen med logaritmlagen för potenser
Vad ska stå istället för x för att följande likhet ska gälla? Lös uppgiften utan räknare. lg(32)=xlg(2)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["5"]}}
Ledtråd
Skriv om 32 som en potens med basen 2 och använd sedan logaritmlagen för potenser.
Lösning
Varken lg(32) eller lg(2) går att enkelt beräkna utan en miniräknare, men om vi kan skriva om lg(32) som
någontinggånger lg(2) kan vi lösa ekvationen utan att faktiskt behöva räkna ut någon logaritm. Vi skriver om 32 som 2^5 och använder därefter logaritmlagen för potenser.
lg(32)=x lg(2)
WritePow
Skriv som potens
lg(2^5)=x lg(2)
LgPow
lg(a^b)= b*lg(a)
5 * lg(2)=x lg(2)
DivEqn
.VL /lg(2).=.HL /lg(2).
5 = x
RearrangeEqn
Omarrangera ekvation
x = 5
Med hjälp av logaritmlagen lyckades vi bli av med alla logaritmer utan att behöva räkna ut dem och kom fram till svaret x=5.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Öva på logaritmens potensregel
Använd logaritmlagen för potenser och specialfallen av tiologaritmer för att lösa ekvationen.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Logaritmregler
Uppgifter
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\log(9)"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\log(32)"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\log(3)"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi kan flytta upp tvåan som exponent i logaritmen.
Här sätter vi femman som exponent.
Vi fortsätter på samma sätt.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2*\\log(5)","2\\log(5)"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3*\\log(11)","3\\log(11)"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2*\\log(7)","2\\log(7)"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi kan flytta ner tvåan framför logaritmen enligt lg(a^b)= b*lg(a). Det ger lg(5^2)=2*lg(5).
Vi använder samma regel och flyttar ner trean framför logaritmen:
lg(11^3)=3*lg(11).
Här står det ingen potens i logaritmen, men vi kan skriva 49 som 7^2. Sedan använder vi samma regel igen.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["2"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["1,5"]}}
security
report
code
security
report
code
Varken lg(6) eller lg(36) är enkla att beräkna i huvudet, så vi får göra omskrivningar för att lösa uppgiften. I högerledet är logaritmens argument en perfekt kvadrat vilket betyder att den kan skrivas om som en potens med exponenten 2. Vi utnyttjar alltså att 36 =6^2 och använder därefter logaritmlagarna.
I vänster- och högerled har vi produkter där ena faktorn är lg(6) i båda led. Genom att dela med lg(6) får vi x ensamt i vänsterledet.
x=2 löser alltså ekvationen.
I högerledet är argumentet 125, dvs. en perfekt kub. Vi gör på samma sätt som tidigare och skriver om argumentet i högerledet som en potens och använder sedan samma logaritmlag igen.
x=1,5 löser ekvationen.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["0"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["0"]}}
security
report
code
security
report
code
Vad är tiologaritmen av 10, alltså lg(10)? Det är det tal som 10 ska upphöjas till för att få 10. Och eftersom 10^1=10 så är lg(10)= 1. På motsvarande sätt kan man resonera med lg(1). Eftersom 10^0=1 så är lg(1)= 0. Vi använder dessa samband för att utföra beräkningen.
Även här använder vi sambanden som motiverades ovan.
Här börjar vi inifrån med att beräkna lg(10). Därefter tar vi den yttre logaritmen.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\log(3^{11})"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\log(8^{2})"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\log(2^{0,5})"]}}
security
report
code
security
report
code
Med hjälp av logaritmlagen för potenser, b * lg(a)=lg(a^b), ser vi att talet som står multiplicerat med logaritmen kan placeras som en exponent istället. Det innebär alltså att 11*lg(3) kan skrivas om som lg(3^(11)).
Potenslagen ovan ger ännu en gång att lg(8)* 2 kan skrivas om som lg(8^2).
Innan vi använder logaritmlagen skriver vi om lg(2)2 som en produkt.
Vi kan alltså skriva om lg(2)2 som lg(2^(0,5)).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["1"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["9"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att bestämma värdet av lg(10) och lg(1). Eftersom lg(10) är lika med det tal man ska upphöja 10 med för att få just 10 kommer resultatet vara lika med 1. Och när det gäller lg(1) kommer resultatet istället bli 0 eftersom 10 upphöjt till 0 är just lika med 1.
Här är det enklast att först förenkla det som står inuti parenteserna, och därefter använda samma resonemang som i föregående deluppgift.
Vi använder logaritmlagen för potenser på första faktorn och förenklar sedan.
Vi hade även kunnat använda definitionen av tiologaritmer för att se direkt att
lg(10^(4,5))*2=4,5 * 2 =9.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{2}{\\log(20)}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{2\\log(7)}{\\log(35)}"]}}
security
report
code
security
report
code
Genom att använda regeln lg(a^b)=b* lg(a) kan vi lösa ut x.
Vi behåller detta uttryck eftersom vi enligt uppgiften ska svara exakt.
Vi använder samma regel igen fast på högerledet.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2\\log(4)","4\\log(2)"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2\\log(0,5)","2\\log(\\dfrac{1}{2})"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3\\log(5)"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi skriver om argumentet som en potens. Talet 16 har samma värde som potenserna 4^2 och 2^4 så lg(16) kan skrivas om på två sätt: lg(4^2) och lg(2^4). Enligt logaritmlagen för potenser, b*lg(a), kan vi nu flytta ner exponenten framför logaritmen så vi får 2*lg(4) och 4*lg(2).
Vi använder samma metod som i föregående deluppgift. Omskrivning till potens ger lg(0,5^2) och logaritmlagen ger resultatet 2*lg(0,5).
Samma metod används ännu en gång. Vi får då att lg(125)=lg(5^3)=3*lg(5).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["y"],"constants":["z"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\log(y^z)"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["z"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\log(z^x)"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\log(2^x)"]}}
security
report
code
security
report
code
Här kan vi använda logaritmlagen för potenser direkt, b* lg(a)=lg(a^b), vilket ger att z sätts som exponent på y. Vi får då z*lg(y)=lg(y^z).
Till att börja med förenklar vi lg(10) till 1. Därefter använder vi samma logaritmlag som i föregående deluppgift.
Även här förenklar vi logaritmen och använder logaritmlagen för potenser.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Logaritmregler
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll