8. Logaritmregler
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 2
8.
Logaritmregler
Lektionenen tillhandahåller en omfattande guide om logaritmregler, vilket hjälper studenter att förstå konceptet med logaritmer och deras regler. Innehållet förklarar reglerna för logaritmer, som logaritmen av en produkt och logaritmen av en potens. Det ger också exempel på hur man löser ekvationer med hjälp av logaritmlagar. Plattformen erbjuder en mängd övningar för att öva dessa koncept, vilket gör det lättare för studenter att förstå och tillämpa logaritmregler i sina matematiska problem.
Inställningar & verktyg för lektion
| | 6 sidor teori |
| | 20 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Logaritmregler
Sida av 6
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Logaritmen av en potens
Om man logaritmerar en potens kan den skrivas om genom att flytta ner exponenten.
lg(a^b ) = b * lg(a)
Man kan visa det med potenslagar.
Regeln gäller endast för positiva a och reella b.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Tiologaritmen av 10
Tiologaritmen av 10 är 1 eftersom lg(10) är det tal man ska höja upp 10 till för att det ska bli 10:
10^1=10 ⇔ lg(10)=1.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Tiologaritmen av 1
Tiologaritmen av 1 är 0 eftersom lg(1) är det tal man ska höja upp 10 till för att det ska bli 1. Alla tal (förutom 0) upphöjt till 0 är 1 och därför är
10^0=1 ⇔ lg(1)=0.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Lös ekvationen med logaritmlagen för potenser
Vad ska stå istället för x för att följande likhet ska gälla? Lös uppgiften utan räknare. lg(32)=xlg(2)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["5"]}}
Ledtråd
Skriv om 32 som en potens med basen 2 och använd sedan logaritmlagen för potenser.
Lösning
Varken lg(32) eller lg(2) går att enkelt beräkna utan en miniräknare, men om vi kan skriva om lg(32) som
någontinggånger lg(2) kan vi lösa ekvationen utan att faktiskt behöva räkna ut någon logaritm. Vi skriver om 32 som 2^5 och använder därefter logaritmlagen för potenser.
lg(32)=x lg(2)
WritePow
Skriv som potens
lg(2^5)=x lg(2)
LgPow
lg(a^b)= b*lg(a)
5 * lg(2)=x lg(2)
DivEqn
.VL /lg(2).=.HL /lg(2).
5 = x
RearrangeEqn
Omarrangera ekvation
x = 5
Med hjälp av logaritmlagen lyckades vi bli av med alla logaritmer utan att behöva räkna ut dem och kom fram till svaret x=5.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Öva på logaritmens potensregel
Använd logaritmlagen för potenser och specialfallen av tiologaritmer för att lösa ekvationen.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Logaritmregler
Uppgift 2.1
Leonard och Sheldon har löst samma ekvation på två olika sätt och fått olika svar. Leonard har fått svaret x=3 och Sheldon fick x=2.
Vem har gjort rätt, och vad har den andra gjort för fel?
{"type":"choice","form":{"alts":["Leonard har gjort r\u00e4tt","Sheldon har gjort r\u00e4tt","B\u00e5da har gjort r\u00e4tt","Ingen har gjort r\u00e4tt"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
security
report
code
security
report
code
Om vi tittar på de båda lösningarna ser vi att de skiljer sig åt redan på andra raden. Båda har flyttat upp 2:an som exponent, men Leonard har satt den på hela logaritmen och Sheldon har satt den på argumentet inne i logaritmen. Om vi jämför med logaritmlagen alg(b)=lg(a^b), ser vi att det är Sheldon som har gjort den korrekta förflyttningen. Sheldon har alltså gjort rätt.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Givet är att lg(125) är ca 2,1, vad är då lg(5)? Lös uppgiften utan att använda räknare och svara med en decimal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":null,"answer":{"text":["0,7"]}}
security
report
code
security
report
code
Talet 125 kan skrivas som en potens med basen 5 eftersom 5 * 5 * 5 =125. Till att börja med skriver vi alltså om 125 till 5^3 och sedan använder vi logaritregeln lg(a^b)= b*lg(a). Vi kan då lösa ut lg(5).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\log(x^5)"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\log(x^{0,5})","\\log(x^{\\dfrac{1}{2}})","\\log(\\sqrt{x})"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi skriver om den vänstra termen i täljaren med logaritmlagen för potenser, b*lg(a)=lg(a^b). Sedan förenklar vi så långt som möjligt.
Vi vill få täljaren att likna nämnaren, för att se om vi kan stryka några gemensamma faktorer. Vi kommer ihåg att (lg(sqrt(x)))^3 är samma sak som lg(sqrt(x)) multiplicerat med sig självt tre gånger, dvs. (lg(sqrt(x)))^3=lg(sqrt(x))*lg(sqrt(x))*lg(sqrt(x)). Sedan skriver vi om sqrt(x) som potensen x^(0,5) och fortsätter förenkla.
Vi kan nu se att det i både täljare och nämnare finns två faktorer lg(x), Dessa kan därför förkortas bort.
Förenklingen ger resultatet lg(x^(0,5)).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Lös ekvationen. lg(12)* lg(100)=lg(x)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["144"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att förenkla logaritmerna i vänsterledet. Genom att först beräkna lg(100) och sedan använda logaritmlagen b* lg(a)=lg(a^b) kan vi slå ihop dessa till en logaritm.
Eftersom vi har en logaritm i vänsterledet och en i högerledet måste deras argument vara lika stora. Vi likställer alltså logaritmernas argument.
x=144 löser ekvationen.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["1"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["81"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["7,6"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar inifrån med att bestämma exponenten lg(100 000) till 5, eftersom 5 är det tal 10 ska upphöjas till för att få 100 000. Sedan kan man använda definitionen för tiologaritmen för omskrivningen lg(10^5)=5, och därefter är vi nästan framme.
Detta var alltså bara ett krångligare sätt att skriva 1.
För att få ett enklare uttryck beräknar vi alla tiologaritmer i täljare och nämnare samt förenklar dessa.
Genom att beräkna specialfallen och övriga logaritmer förenklas uttrycket ner till något mer hanterbart.
Uttrycket är alltså lika med 7,6.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
När en stad blir mindre, minskar befolkningen i dess gymnasium med 6 % varje år. Årskursen har 160 studenter nu. Om hur många år kommer den att ha ungefär 100 studenter? Skriv en ekvation. Lös sedan ekvationen utan att rita grafen.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"Om cirka","formTextAfter":"\u00e5r.","answer":{"text":["7,6"]}}
security
report
code
security
report
code
Eftersom gymnasieskolans population minskar med en fast procentandel varje år är en exponentiell avklingningsmodell rimlig för denna situation. A( t)= a(1+r)^t Här är A( t) mängden efter t tidsperioder, a är den initiala mängden, t är antalet tidsperioder och r > 0 är avklingningshastigheten, skriven som ett decimaltal. I vårt fall är a= 160 och r=- 0,06. Låt oss sätta in dessa värden i formeln. A( t)= 160(1+(- 0,06))^t ⇕ A(t)=160(0,94)^t Här representerar A(t) antalet elever i avgångsklassen efter t år. Vi vill bestämma efter hur många år avgångsklassen kommer att ha cirka 100 elever. Det betyder att vi vill hitta värdet på t som motsvarar A(t)=100. 100=160(0,94)^t Låt oss lösa den erhållna ekvationen med hjälp av logaritmer.
Härnäst kommer vi att använda logaritmernas potensregel.
Vi har att t är ungefär 7,6. Därför kommer det om cirka 7,6 år att finnas cirka 100 elever i avgångsklassen.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Logaritmregler
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll