Logaritmregler: Förstå Logaritmer och deras Regler

Leonard och Sheldon har löst samma ekvation på två olika sätt och fått olika svar. Leonard har fått svaret $x = 3$ och Sheldon fick $x = 2 .$

Vem har gjort rätt, och vad har den andra gjort för fel?

Om vi tittar på de båda lösningarna ser vi att de skiljer sig åt redan på andra raden. Båda har flyttat upp 2:an som exponent, men Leonard har satt den på hela logaritmen och Sheldon har satt den på argumentet inne i logaritmen. Om vi jämför med logaritmlagen alg(b)=lg(a^b), ser vi att det är Sheldon som har gjort den korrekta förflyttningen. Sheldon har alltså gjort rätt.

Givet är att

l g (125)

är ca

2, 1,

vad är då

l g (5) ?

Lös uppgiften utan att använda räknare och svara med en decimal.

Talet 125 kan skrivas som en potens med basen 5 eftersom 5 * 5 * 5 =125. Till att börja med skriver vi alltså om 125 till 5^3 och sedan använder vi logaritregeln lg(a^b)= b*lg(a). Vi kan då lösa ut lg(5).

Förenkla uttrycket så det står på formen $l g (a^{b}) .$

\frac{5 \cdot l g ( x ) + l g ( x ^{5} )}{2}

\frac{( l g ( x ) ) ^{3}}{0 , 2 5 \cdot ( l g ( x ) ) ^{2}}

Vi skriver om den vänstra termen i täljaren med logaritmlagen för potenser, b*lg(a)=lg(a^b). Sedan förenklar vi så långt som möjligt.

Vi vill få täljaren att likna nämnaren, för att se om vi kan stryka några gemensamma faktorer. Vi kommer ihåg att (lg(sqrt(x)))^3 är samma sak som lg(sqrt(x)) multiplicerat med sig självt tre gånger, dvs. (lg(sqrt(x)))^3=lg(sqrt(x))*lg(sqrt(x))*lg(sqrt(x)). Sedan skriver vi om sqrt(x) som potensen x^(0,5) och fortsätter förenkla.

Vi kan nu se att det i både täljare och nämnare finns två faktorer lg(x), Dessa kan därför förkortas bort.

Förenklingen ger resultatet lg(x^(0,5)).

Lös ekvationen.

l g (12) \cdot l g (100) = l g (x)

Vi börjar med att förenkla logaritmerna i vänsterledet. Genom att först beräkna lg(100) och sedan använda logaritmlagen b* lg(a)=lg(a^b) kan vi slå ihop dessa till en logaritm.

Eftersom vi har en logaritm i vänsterledet och en i högerledet måste deras argument vara lika stora. Vi likställer alltså logaritmernas argument.

x=144 löser ekvationen.

Beräkna utan räknare.

l g (2 \cdot l g (1 0^{l g (100000)}))

\frac{( l g ( 1 0 0 0 ) ^{l g (100)} ) ^{l g (100)}}{l g ( 1 0 )}

7, 6 \cdot l g (l g (1) + l g (10) + l g (100) + l g (1000) + l g (10000))

Vi börjar inifrån med att bestämma exponenten lg(100 000) till 5, eftersom 5 är det tal 10 ska upphöjas till för att få 100 000. Sedan kan man använda definitionen för tiologaritmen för omskrivningen lg(10^5)=5, och därefter är vi nästan framme.

Detta var alltså bara ett krångligare sätt att skriva 1.

För att få ett enklare uttryck beräknar vi alla tiologaritmer i täljare och nämnare samt förenklar dessa.

Genom att beräkna specialfallen och övriga logaritmer förenklas uttrycket ner till något mer hanterbart.

Uttrycket är alltså lika med 7,6.

Logaritmregler

Förkunskaper

Logaritmen av en potens

Tiologaritmen av $10$

Tiologaritmen av $1$

Lös ekvationen med logaritmlagen för potenser

Ledtråd

Lösning

Practicing the Logarithm Power Rule

Logaritmregler

Rekommenderade uppgifter

	6 sidor teori
	19 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.