Logaritmregler

Ur definitionen av logaritmer följer några räkneregler som underlättar vid beräkningar.

Regel
$\lg\left(a^b\right)=b\cdot\lg(a)$

Regel

Logaritmen av en potens

Om man logaritmerar en potens kan den skrivas om genom att flytta ner exponenten. Man kan visa det med potenslagar.

\lg\left(7^4\right)

a=10^{\lg(a)}

\lg\left(\left(10^{\lg 7}\right)^4\right)

\left(a^{b}\right)^{c}=a^{b\cdot c}

\lg\left(10^{\lg(7)\cdot4}\right)

\lg\left(10^a\right)=a

\lg(7)\cdot4

Omarrangera faktorer

4 \cdot \lg(7)

Regeln gäller endast för positiva

a

och reella

b.

Regel
$\lg(10)=1$

Regel

Tiologaritmen av 10

Tiologaritmen av $10$ är $1$ eftersom $\lg(10)$ är det tal man ska höja upp $10$ till för att det ska bli $10$ :

10^1=10 \quad \Leftrightarrow \quad \lg(10)=1.

Regel
$\lg(1)=0$

Regel

Tiologaritmen av 1

Tiologaritmen av $1$ är $0$ eftersom $\lg(1)$ är det tal man ska höja upp $10$ till för att det ska bli $1$ . Alla tal (förutom $0$ ) upphöjt till $0$ är $1$ och därför är

10^0=1 \quad \Leftrightarrow \quad \lg(1)=0.

Lös ekvationen med logaritmlagen för potenser

Uppgift

Vad ska stå istället för $x$ för att följande likhet ska gälla? Lös uppgiften utan räknare. $\lg(32)=x\lg(2)$

Lösning

Varken

\lg(32)

eller

\lg(2)

går att enkelt beräkna utan en miniräknare, men om vi kan skriva om

\lg(32)

som "någonting" gånger

\lg(2)

kan vi lösa ekvationen utan att faktiskt behöva räkna ut någon logaritm. Vi skriver om

32

som

2^5

och använder därefter logaritmlagen för potenser.

\lg(32)=x \lg(2)

Skriv som potens

\lg(2^5)=x \lg(2)

\lg\left(a^b\right)= b\cdot\lg(a)

5 \cdot \lg(2)=x \lg(2)

\left.\text{VL}\middle/\lg(2)\right.=\left.\text{HL}\middle/\lg(2)\right.

5 = x

Omarrangera ekvation

x = 5

Med hjälp av logaritmlagen lyckades vi bli av med alla logaritmer utan att behöva räkna ut dem och kom fram till svaret $x=5.$

Visa lösning

Logaritmregler

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Regel

Logaritmen av en potens

Regel

Tiologaritmen av 10

Regel

Tiologaritmen av 1

Exempel

Lös ekvationen med logaritmlagen för potenser

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Algebra och icke-linjära ekvationer

Regel

Regel

Regel

Exempel

Lös ekvationen med logaritmlagen för potenser

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}