Logaritmregler

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Ur definitionen av logaritmer följer några räkneregler som underlättar vid beräkningar.

Regel

lg(ab)=blg(a)\lg\left(a^b\right)=b\cdot\lg(a)
Regel

Logaritmen av en potens

Om man logaritmerar en potens kan den skrivas om genom att flytta ner exponenten. Man kan visa det med potenslagar.

lg(74)\lg\left(7^4\right)
lg((10lg7)4)\lg\left(\left(10^{\lg 7}\right)^4\right)
lg(10lg(7)4)\lg\left(10^{\lg(7)\cdot4}\right)
lg(10a)=a \lg\left(10^a\right)=a
lg(7)4\lg(7)\cdot4
4lg(7)4 \cdot \lg(7)
Regeln gäller endast för positiva aa och reella b.b.

Regel

lg(10)=1\lg(10)=1
Regel

Tiologaritmen av 10

Tiologaritmen av 1010 är 11 eftersom lg(10)\lg(10) är det tal man ska höja upp 1010 till för att det ska bli 1010:

101=10lg(10)=1. 10^1=10 \quad \Leftrightarrow \quad \lg(10)=1.

Regel

lg(1)=0\lg(1)=0
Regel

Tiologaritmen av 1

Tiologaritmen av 11 är 00 eftersom lg(1)\lg(1) är det tal man ska höja upp 1010 till för att det ska bli 11. Alla tal (förutom 00) upphöjt till 00 är 11 och därför är

100=1lg(1)=0. 10^0=1 \quad \Leftrightarrow \quad \lg(1)=0.
Uppgift

Vad ska stå istället för xx för att följande likhet ska gälla? Lös uppgiften utan räknare.lg(32)=xlg(2) \lg(32)=x\lg(2)

Lösning
Varken lg(32)\lg(32) eller lg(2)\lg(2) går att enkelt beräkna utan en miniräknare, men om vi kan skriva om lg(32)\lg(32) som "någonting" gånger lg(2)\lg(2) kan vi lösa ekvationen utan att faktiskt behöva räkna ut någon logaritm. Vi skriver om 3232 som 252^5 och använder därefter logaritmlagen för potenser.
lg(32)=xlg(2)\lg(32)=x \lg(2)
lg(25)=xlg(2)\lg(2^5)=x \lg(2)
5lg(2)=xlg(2)5 \cdot \lg(2)=x \lg(2)
5=x5 = x
x=5x = 5

Med hjälp av logaritmlagen lyckades vi bli av med alla logaritmer utan att behöva räkna ut dem och kom fram till svaret x=5.x=5.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv som en tiologaritm av ett heltal.


a

2lg(3)2\lg(3)

b

5lg(2)5\lg(2)

c

lg(9)2\dfrac{\lg(9)}{2}

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv på formen blg(a).b\cdot\lg(a).


a

lg(52)\lg\left(5^2\right)

b

lg(113)\lg\left(11^3\right)

c

lg(49)\lg(49)

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna utan räknare.

a

xlg(6)=lg(36)x \cdot \lg(6)=\lg(36)

b

lg(5)2x=lg(125)\lg(5)\cdot 2x=\lg(125)

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna utan räknare.


a

2lg(10)+5lg(1)2\lg(10)+5\lg(1)

b

lg(1)lg(10)\dfrac{\lg(1)}{\lg(10)}

c

lg(lg(10))\lg(\lg(10))

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv på formen lg(ab).\lg\left(a^b\right).

a

11lg(3)11\cdot\lg(3)

b

lg(8)2\lg(8)\cdot 2

c

lg(2)2\dfrac{\lg(2)}{2}

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna utan räknare.

a

lg(10)2+5lg(1)\lg(10)^2+5\cdot\lg(1)

b

3lg(25)lg(11000)3\cdot\lg(2\cdot5)-\lg\left(1^{1000}\right)

c

lg(104.5)2\lg\left(10^{4.5}\right)\cdot2

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna och svara exakt.

a

lg(20x)=2\lg\left(20^x\right)=2

b

2lg(35)x=lg(74)2\lg\left(35\right)\cdot x=\lg\left(7^4\right)

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv på formen blg(a).b\cdot\lg(a).

a

lg(16)\lg(16)

b

lg(0.25)\lg(0.25)

c

lg(125)\lg(125)

1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv som logaritmen av en potens.

a

zlg(y)z\cdot\lg(y)

b

xlg(10)lg(z)x\cdot\lg(10)\cdot\lg(z)

c

xlg(lg(100))x\cdot\lg(\lg(100))

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Leonard och Sheldon har löst samma ekvation på två olika sätt och fått olika svar. Leonard har fått svaret x=3x=3 och Sheldon fick x=2.x=2.

Uppg1079 1.svg

Vem har gjort rätt, och vad har den andra gjort för fel?

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Givet är att lg(125)\lg(125) är ca 2.1,2.1, vad är då lg(5)?\lg(5)? Lös uppgiften utan att använda räknare.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla uttrycket så det står på formen lg(ab).\lg(a^b).

a

5lg(x)+lg(x5)2\dfrac{5\cdot\lg(x)+\lg\left(x^5\right)}{2}

b

(lg(x))30.25(lg(x))2\dfrac{\left(\lg\left(\sqrt{x}\right)\right)^3}{0.25\cdot\left(\lg(x)\right)^2}

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen. lg(12)lg(100)=lg(x) \lg(12)\cdot \lg(100)=\lg(x)

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna utan räknare.

a

lg(2lg(10lg(100000)))\lg \left(2 \cdot \lg\left(10^{\lg(100\,000)}\right)\right)

b

(lg(1000)lg(100))lg(100)lg(10)\dfrac{\left(\lg(1000)^{\lg(100)}\right)^{\lg(100)}}{\lg(10)}

c

7.6lg(lg(1)+lg(10)+lg(100)+lg(1000)+lg(10000))7.6\cdot \lg(\lg(1)+\lg(10)+\lg(100)+\lg(1000)+\lg(10000))

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att lg(x)=lg(x)2.\lg\left( \sqrt{x} \right) = \dfrac{\lg(x)}{2}.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa följande likheter.

a

lg(1xy)=-ylg(x)\lg\left(\dfrac{1}{x^y}\right)=\text{-} y\lg(x)

b

lg(x)+lg(x)+...+lg(x)y st.=lg(xy)\underbrace{\lg(x)+\lg(x)+...+\lg(x)}_{y \text{ st.}}=\lg\left(x^y\right)

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa logaritmlagen lg(xy)=ylg(x).\lg\left(x^y\right)=y\lg(x).

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Karl-Albin har löst en logaritmekvation.

Exercise1082 1.svg

Men när han prövar sina rötter visar det sig att x=-5x=\text{-}5 inte löser ursprungsekvationen. Varifrån kommer denna falska rot?

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ut xx ur följande samband.


a

p+lg(x)=qp+\lg(x)=q

b

rt=lg(xu)hr-t=\dfrac{\lg\left(x^u\right)}{h}

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}