7. Kvadrat- och kubikrot
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 1
9.
Kvadrat- och kubikrot
Denna lektion ger en omfattande förståelse för koncepten kvadratrot och kubikrot. Den förklarar hur man beräknar kvadratroten och kubroten av tal, vilket ger en tydlig förståelse för dessa matematiska operationer. Den ger också vägledning om hur man använder en miniräknare för att utföra dessa operationer. Lektionenen är utformad för att hjälpa studenter, lärare och alla som är intresserade av matematik att bättre förstå dessa koncept. Den ger praktiska exempel på hur dessa operationer används i verkliga scenarier, vilket gör det lättare att greppa dessa komplicerade matematiska koncept.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 5 sidor teori |
| | 15 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Kvadrat- och kubikrot
Sida av 5
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Kvadratrot
- Kubikrot
Förkunskaper
Teori
Kvadrat- och kubikrot
Om man multiplicerar ett tal med sig självt, t.ex. 3⋅3, säger man att man beräknar talet i kvadrat, 32=9. Om man gör motsatsen, alltså svarar på frågan
Vilket positivt tal multiplicerat med sig självt är lika med 9?säger man att man drar kvadratroten ur 9, eller bara roten ur 9. För att skriva detta använder man ett rottecken.
9=3.
På samma sätt drar man kubikroten, eller tredje roten, ur ett tal om man bestämmer det värde som multiplicerat med sig självt tre gånger blir talet, t.ex. är
38=2,
eftersom 23=8. Det kan vara svårt att bestämma rötter med huvudräkning eftersom det inte är säkert att de blir snälla heltal, vilket innebär att man kan behöva använda en räknare. Extra
Kvadrat- och kubikrot ur negativa talDet finns inga reella tal som upphöjt till 2 blir negativa, vilket innebär att det inte är möjligt att dra kvadratroten ur ett negativt tal. Däremot finns det tal som upphöjt till 3 blir negativa, och därför är det möjligt att dra kubikroten ur negativa tal.
Teori
Rotuttryck på räknare
Räknaren har inbyggda funktioner för både kvadratroten och kubroten.
För att beräkna kvadratroten ur ett tal på räknaren skriver man först symbolen , vilken kan skrivas genom att trycka på 2ND och sedan x2. Då skrivs startparentesen ut automatiskt. Därefter skriver man det tal man vill dra roten ur följt av slutparentes.
På motsvarande sätt kan man beräkna tredje roten ur ett tal genom att trycka på knappen MATH
och välja 3 (
följt av talet och slutparentes.
Exempel
Beräkna längden med kvadratrot
Donald ska bygga ett staket längs med ena sidan av en kvadratisk åker. Om åkerns area är 3890 m2, hur långt måste staketet vara? Avrunda till hela meter.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"Ungef\u00e4r","formTextAfter":"meter","answer":{"text":["62"]}}
Ledtråd
Kom ihåg formeln för arean av en kvadrat.
Lösning
För att beräkna arean av en kvadrat upphöjer man längden på sidan till 2, och för att beräkna sidlängden gör man tvärtom: man drar kvadratroten ur arean.
Staketet kommer alltså att bli ungefär 62 meter långt.
A=s2⇔s=A
För Donald är arean 3890 m2, så vi drar roten ur det och avrundar till hela meter.
s=A
Substitute
A=3890
s=3890
UseCalc
Slå in på räknare
s=62,369864…
RoundInt
Avrunda till närmaste heltal
s≈62
Övning
Beräkna rötter
Kvadrat- och kubikrot
Övningar
Beräkna värdet av uttrycket med räknare. Svara med två decimaler.
34
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["5.83"]}}
5+2
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2.65"]}}
5+2
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3.65"]}}
2⋅17+2
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["10.25"]}}
security
report
code
security
report
code
Roten sqrt(34) går inte att räkna ut exakt i decimalform, så vi måste slå in den på en räknare. För att slå in ett rotentecken trycker vi på 2ND och x^2 och därefter talet vi ska dra roten ur. Kom ihåg högerparentesen.
Roten ur 34 är alltså ungefär 5,83.
Vi adderar först talen innanför roten så vi får uttrycket sqrt(7) och beräknar sedan detta med hjälp av räknare.
Vi vet nu att sqrt(7) är ca 2,65.
Det går inte att förenkla uttrycket, så vi blir tvungna att slå in båda rötterna på miniräknare.
På displayen ser vi att svaret är ca 3,65.
Vi slår in uttrycket på miniräknaren och avrundar sedan till två värdesiffror.
Uttrycket vi beräknat är alltså lika med ca 10,25.
security
report
code
Beräkna utan räknare.
3⋅3
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3"]}}
(53)2
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["53"]}}
security
report
code
security
report
code
Roten ur 3 anger det tal som multiplicerat med sig själv ger 3.
Roten ur 53 anger det tal som multiplicerat med sig själv ger 53. Vi skriver potensen som en produkt enligt a^2=a* a och kan därefter använda samma metod som tidigare.
(sqrt(53))^2 är alltså lika med 53. Man kan säga att roten ur
och upphöjt till 2
tar ut varandra. De är vad man kallar inverser.
security
report
code
Beräkna rotuttrycken.
16
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["4"]}}
25
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["5"]}}
1
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["1"]}}
security
report
code
security
report
code
Kvadratroten ur 16 är det positiva tal som multiplicerat med sig själv blir lika med 16. Eftersom 4* 4=16 måste sqrt(16)=4.
För att bestämma sqrt(25) funderar vi på vilket tal som multiplicerat med sig själv ger 25? Eftersom 5* 5=25 måste alltså
sqrt(25)=5.
Det enda talet multiplicerat med sig själv som ger produkten 1 är 1. Detta betyder alltså att
sqrt(1)=1.
security
report
code
Beräkna värdet av uttrycket utan räknare.
7⋅4−3
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["5"]}}
7+258
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["6"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att beräkna det som står under rottecknet.
Uttryckets värde är 5.
Som tidigare förenklar vi uttrycket under rottecknet först.
Uttryckets värde är 6.
security
report
code
En kubs volym är 216 cm3. Hur lång är kubens sida?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"cm","answer":{"text":["6"]}}
security
report
code
security
report
code
En kubs volym beräknas genom att multiplicerar sidan tre gånger. Om kubens sida är s är volymen V=s^3. Vi sätter in den kända volymen 216 cm^3 och löser sedan ut sidan s genom att dra kubikroten ur båda led.
Kubens sida är 6cm.
security
report
code
Najma har beräknat sidlängden av en kvadrat med arean 9 cm2 genom att ta kvadratroten ur 9 och fått resultatet 3 cm. Leonard säger då:
Du har glömt −3. Vet du inte att −3 gånger −3 också är 9?Varför det positiva värdet är att föredra?
{"type":"choice","form":{"alts":["Negativa tal \u00e4r otill\u00e5tna i kvadratr\u00f6tter.","Det g\u00e5r inte att kvadrera ett negativt tal.","En l\u00e4ngd m\u00e5ste ha ett positivt v\u00e4rde.","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:1.04em;vertical-align:-0.13278em;\"><\/span><span class=\"mord sqrt\"><span class=\"vlist-t vlist-t2\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.90722em;\"><span class=\"svg-align\" style=\"top:-3em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"><\/span><span class=\"mord\" style=\"padding-left:0.833em;\"><span class=\"mord\">9<\/span><\/span><\/span><span style=\"top:-2.86722em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"><\/span><span class=\"hide-tail\" style=\"min-width:0.853em;height:1.08em;\"><svg width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702\nc-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14\nc0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54\nc44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10\ns173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429\nc69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221\nl0 -0\nc5.3,-9.3,12,-14,20,-14\nH400000v40H845.2724\ns-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7\nc-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z\nM834 80h400000v40h-400000z'\/><\/svg><\/span><\/span><\/span><span class=\"vlist-s\">\u200b<\/span><\/span><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.13278em;\"><span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.64444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\">3<\/span><\/span><\/span><\/span> som \u00e4r ett positivt tal."],"noSort":false},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":2}
security
report
code
security
report
code
Precis som Leonard säger finns det två tal som multiplicerat med sig själv blir 9 eftersom 3*3=9 och (-3)*(-3)=9. Däremot har han inte tänkt på det är en sidlängd man ska beräkna. En längd kan inte vara negativ utan måste anges med ett positivt värde. Därför är kvadratens sidlängd är 3cm och inte -3cm.
security
report
code
Utför beräkningen.
(−2)⋅(−2)⋅(−2)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["-8"]}}
Tredje roten ur −8
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["-2"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi utför beräkningen ett steg i taget och börjar med att multiplicera ihop de två första talen. Eftersom produkten av två negativa tal är positiv får vi följande. (-2)*(-2)*(-2)=4*(-2) Till sist använder vi att produkten av ett positivt och ett negativt tal är negativ. 4*(-2)=-8 Vi kan alltså konstatera att (-2)*(-2)*(-2) är lika med -8.
Nu ska vi beräkna tredje roten ur -8. Det innebär att vi ska bestämma vilket tal som upphöjt till 3 blir just -8. I föregående deluppgift såg vi att (-2)*(-2)*(-2)=-8. Tredje roten ur -8 måste därför vara lika med -2. Det kan vi skriva
sqrt(-8)=-2.
security
report
code
Vilket ungefärligt värde har 880? Välj bland följande svar.
{"type":"choice","form":{"alts":["<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.64444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\">3<\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.64444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\">3<\/span><span class=\"mord\">0<\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.64444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\">6<\/span><span class=\"mord\">0<\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.64444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\">3<\/span><span class=\"mord\">0<\/span><span class=\"mord\">0<\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.64444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\">4<\/span><span class=\"mord\">4<\/span><span class=\"mord\">0<\/span><\/span><\/span><\/span>"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
Nationella provet VT10 MaA
security
report
code
security
report
code
Kvadratroten ur ett tal beräknar vad som ska kvadreras för att få talet man drar kvadratroten ur, dvs. sqrt(a^2)=a Vi kvadrerar ett några tiotal så att vi kan avgöra vilket värde sqrt(880) kan ha.
| a | 10 | 20 | 30 | 40 |
|---|---|---|---|---|
| a^2 | 10^2 | 20^2 | 30^2 | 40^2 |
| = | 100 | 400 | 900 | 1 600 |
Från tabellen ser vi att sqrt(900)=30 och eftersom 880 är lite mindre än 900 måste sqrt(880) vara lite mindre än 30. Det bästa närmevärdet är alltså 30.
security
report
code
Kvadrat- och kubikrot
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll