7. Kvadrat- och kubikrot
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 1
7.
Kvadrat- och kubikrot
Denna lektion ger en omfattande förståelse för koncepten kvadratrot och kubikrot. Den förklarar hur man beräknar kvadratroten och kubroten av tal, vilket ger en tydlig förståelse för dessa matematiska operationer. Den ger också vägledning om hur man använder en miniräknare för att utföra dessa operationer. Lektionenen är utformad för att hjälpa studenter, lärare och alla som är intresserade av matematik att bättre förstå dessa koncept. Den ger praktiska exempel på hur dessa operationer används i verkliga scenarier, vilket gör det lättare att greppa dessa komplicerade matematiska koncept.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 5 sidor teori |
| | 15 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Kvadrat- och kubikrot
Sida av 5
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Kvadratrot
- Kubikrot
Förkunskaper
Teori
Kvadrat- och kubikrot
Om man multiplicerar ett tal med sig självt, t.ex. 3⋅3, säger man att man beräknar talet i kvadrat, 32=9. Om man gör motsatsen, alltså svarar på frågan
Vilket positivt tal multiplicerat med sig självt är lika med 9?säger man att man drar kvadratroten ur 9, eller bara roten ur 9. För att skriva detta använder man ett rottecken.
9=3.
På samma sätt drar man kubikroten, eller tredje roten, ur ett tal om man bestämmer det värde som multiplicerat med sig självt tre gånger blir talet, t.ex. är
38=2,
eftersom 23=8. Det kan vara svårt att bestämma rötter med huvudräkning eftersom det inte är säkert att de blir snälla heltal, vilket innebär att man kan behöva använda en räknare. Extra
Kvadrat- och kubikrot ur negativa talDet finns inga reella tal som upphöjt till 2 blir negativa, vilket innebär att det inte är möjligt att dra kvadratroten ur ett negativt tal. Däremot finns det tal som upphöjt till 3 blir negativa, och därför är det möjligt att dra kubikroten ur negativa tal.
Teori
Rotuttryck på räknare
Räknaren har inbyggda funktioner för både kvadratroten och kubroten.
För att beräkna kvadratroten ur ett tal på räknaren skriver man först symbolen , vilken kan skrivas genom att trycka på 2ND och sedan x2. Då skrivs startparentesen ut automatiskt. Därefter skriver man det tal man vill dra roten ur följt av slutparentes.
På motsvarande sätt kan man beräkna tredje roten ur ett tal genom att trycka på knappen MATH
och välja 3 (
följt av talet och slutparentes.
Exempel
Beräkna längden med kvadratrot
Donald ska bygga ett staket längs med ena sidan av en kvadratisk åker. Om åkerns area är 3890 m2, hur långt måste staketet vara? Avrunda till hela meter.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"Ungef\u00e4r","formTextAfter":"meter","answer":{"text":["62"]}}
Ledtråd
Kom ihåg formeln för arean av en kvadrat.
Lösning
För att beräkna arean av en kvadrat upphöjer man längden på sidan till 2, och för att beräkna sidlängden gör man tvärtom: man drar kvadratroten ur arean.
Staketet kommer alltså att bli ungefär 62 meter långt.
A=s2⇔s=A
För Donald är arean 3890 m2, så vi drar roten ur det och avrundar till hela meter.
s=A
Substitute
A=3890
s=3890
UseCalc
Slå in på räknare
s=62,369864…
RoundInt
Avrunda till närmaste heltal
s≈62
Övning
Beräkna rötter
Kvadrat- och kubikrot
Uppgift 3.1
Sortera följande tal från minst till störst utan att använda räknare.
A: C: 8,5 3,965B: D: 0,24 1+80
{"type":"sort","form":{"alts":[{"id":0,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.7109375em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Bold textbf\">B<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":1,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.7109375em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Bold textbf\">A<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":2,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.73046875em;vertical-align:-0.009765625em;\"><\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Bold textbf\">C<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":3,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.7109375em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Bold textbf\">D<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>"}]},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[0,1,2,3]}
security
report
code
security
report
code
Vi uppskattar talens storlek genom lämpliga resonemang.
Tal A
Vi söker det tal som gånger sig självt blir 8,5. Eftersom 3*3=9 innebär det att sqrt(8,5) borde vara något mindre än 3.
Tal B
0,24 är ungefär lika 0,25. Det betyder att sqrt(0,24) är ungefär sqrt(0,25) som är 0,5.
Tal C
Här kan vi uppskatta sqrt(65) och sqrt(3,9) var för sig. sqrt(64) är lika med 8 så sqrt(65) ≈ 8. Med samma resonemang kan vi uppskatta sqrt(3,9) till ungefär 2. Tal C är alltså: sqrt(65)/sqrt(3.9)≈8/2=4.
Tal D
Även här behandlar vi sqrt(1) och sqrt(80) var för sig. Kvadratroten ur 1 är lika med 1. sqrt(80) är ungefär 9 eftersom 9 * 9 är 81. Tal D är alltså ungefär 1 + 9 =10. Nu kan vi placera talen i storleksordning.
| Alternativ | Uttryck | Uppskattat värde | |
|---|---|---|---|
| A | sqrt(8,5) | 3 | |
| B | sqrt(0,24) | 0,5 | |
| C | sqrt(65)/sqrt(3,9) | 4 | |
| D | sqrt(1)+sqrt(80) | 10 | |
| Från minst till störst: B, A, C, D | |||
security
report
code
Ett företag producerar tre olika bowlingklot. Bilden visar hur de ser ut innan man borrat hål för fingrar och viktmarkerat dem.
r3=4π3V,
där V är klotets volym. Avrunda till en decimal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"g\u00e5nger st\u00f6rre","answer":{"text":["1.6"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi ska bestämma hur många gånger större det blå klotets radie är jämfört med det gula klotets radie. Då måste vi först beräkna dessa klots respektive radie. Till vår hjälp har vi formeln r^3=3V/4π. För att få en formel som beskriver hur man räknar ut själva radien, r, och inte radien i kubik, r^3, kan vi dra tredje roten ur båda led. Det ger oss r=sqrt(3V/4π). Vi kan se att det enda som krävs för att använda formeln är volymen, V, för klotet vi vill beräkna radien på. Så vi börjar med att räkna ut volymerna för det gula och blå klotet.
Klotens volymer
För att bestämma volymerna använder vi att de tre klotens totala volym är 12,6 dm^3 samt att vi vet hur deras volymer förhåller sig till varandra: det blå klotet har dubbelt så stor volym som det gröna klotet och det gröna klotet dubbelt så stor volym som det gula klotet. Om vi kallar det gula klotets volym för V_1 innebär det att det gröna klotets volym är V_2=2V_1 och det blå klotets volym V_3=2V_2=4V_1. Det betyder att V_1+V_2+V_3=V_1+2V_1+4V_1=12,6dm^3. Vi förenklar denna ekvation och löser ut V_1.
Det gula klotets volym är alltså 1,8 dm^3. Det innebär att det blå klotets volym är 4* 1,8=7,2 dm^3. Nu kan vi räkna ut radien för respektive klot.
Klotens radier
Vi börjar med det gula klotets radie och sätter in V_1=1,8 i formeln för radien av ett klot.
Nu bestämmer vi det blå klotets radie genom att sätta in V_3=7,2 i formeln.
Vi kan konstatera att det gula klotets radie är ca 0,7546 dm och att det blå klotets radie är ca 1,1979 dm. Vi behåller ganska många decimaler för att undvika avrundningsfel i sista beräkningen.
Jämförelse av radier
Nu återstår bara att avgöra hur många gånger större det blå klotets radie är jämfört med det gula klotets. Vi frågar oss alltså vilket tal ska multipliceras med det gula klotets radie för att produkten ska bli lika med det blå klotets radie?
Om vi kallar detta okända tal x kan vi formulera frågan som följande ekvation:
0,7546* x=1,1979.
Vi dividerar båda led med 0,7546 för att bestämma x.
Nu vet vi att man måste multiplicera gula klotets radie med ca 1,6 för att få blå klotets radie. Det innebär alltså att det blå klotet har en radie som är ca 1,6 gånger större än det gula klotet.
security
report
code
Kvadrat- och kubikrot
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll