Grafens utseende och derivatans tecken

En funktion är växande över de intervall där ett större x-värde ger ett minst lika stort funktionsvärde. Från teckentabellen kan vi läsa av att detta sker från och med minimipunkten. Det betyder att vi funktionen är växande för x≥ 3.

Vi gör på samma sätt och fyller i den tredje raden i teckentabellen. En negativ derivata betyder att grafen lutar nedåt, och uppåt om derivatan är positiv. Det betyder att funktionen har en minimipunkt för x=-4 och en terrasspunkt för x=9.

Funktionen ökar alltså för alla x-värden från minimipunkten. Visserligen är derivatan 0 vid terrasspunkten, men grafen växer på hela intervallet. Funktionen är därför växande för x≥ -4.

På samma sätt som tidigare kompletterar vi teckentabellen med en tredje rad.

Nu kan vi läsa av att funktionen är växande för 4≤ x≤ 17.

I en teckentabells översta rad anges de x-värden där funktionen antar stationära punkter, dvs. där funktionens derivata har sina nollställen. Genom att derivera funktionen och likställa derivatan med 0 får vi en ekvation vi kan lösa. Lösningarna på denna är de stationära punkternas x-värden.

Nu sätter vi alltså derivatan lika med 0 och löser ekvationen med nollproduktmetoden.

Nu kan vi komplettera teckentabellen. Man brukar alltid skriva x-värdena från minst till störst i en teckentabell, så vi sätter 0 på maximipunkten och 1 på minimipunkten.

Samma sak här. Genom att derivera och likställa derivatan med noll kan vi lösa ut de x-värden där funktionen antar stationära punkter.

Nu likställer vi derivatan med 0 och löser ekvationen, även denna gång med nollproduktmetoden.

Nu kan vi komplettera teckentabellen.

Vi ska göra en teckentabell över funktionens utseende med hjälp av grafen till funktionens derivata. Därför börjar vi med att fylla i det vi vet om derivatan. Den har sitt enda nollställe i x=3, vilket innebär att f(x) har en stationär punkt där.

Därefter kan vi läsa av derivatans tecken till vänster och höger om x=3. Till vänster är den negativ (-) eftersom den ligger under x-axeln och till höger är den positiv (+) eftersom den ligger över x-axeln.

Genom att fylla i derivatans tecken i teckentabellen ser man att funktionen kommer att vara avtagande till vänster och växande till höger om x=3. Det innebär att den stationära punkten är ett minimum och teckentabellen är färdig.

Vi tänker på liknande sätt även här, men nu har derivatan två nollställen. Vi börjar med att fylla i dessa, x=-2 och x=0, i en teckentabell.

Sedan avgör vi tecknet på derivatan genom att avläsa om g'(x) ligger över eller under x-axeln. Vi ser då att den först är negativ, sedan positiv och sedan negativ igen.

Genom att fylla i detta i teckentabellen och komplettera med pilar kan vi konstatera att den första stationära punkten för g(x) är ett minimum och den andra ett maximum.

Vi börjar bena ut Smarta Saras anteckningar bit för bit.

Det den första raden säger är att derivatan är 0 där x=-4 och x=6. Det innebär att funktionen f har sina stationära punkter där. Vi ställer upp en teckentabell och fyller i detta.

På rad 2 står det att derivatans värde är 17 där x=0. Eftersom 17 är ett positivt tal innebär det att vi ska skriva + i intervallet mellan -4 och 6. Samtidigt kan vi fylla i en pil som anger att grafen växer där.

På motsvarande sätt ger rad 3 oss att derivatans värde är mindre än 0, dvs. negativt, för x=-5. Därför skriver vi ett - till vänster om punkten -4. Samtidigt fyller vi i en pil som visar att funktionen avtar på intervallet, och vi kan även dra slutsatsen att funktionen har ett minimum för x=-4.

Slutligen använder vi den sista raden på kladdpappret för att fylla i grafens utseende till höger om x=6. Att f(6) > f(7)

innebär att funktionsvärdet för x=6 är större än funktionsvärdet för x=7, dvs. om vi rör oss åt höger från den stationära punkten kommer funktionen att avta. Det ger oss att derivatans tecken är negativt och att den stationära punkten vid x=6 måste vara en maximipunkt.