Utforska Teckentabell och Derivata: Funktioners Grafiska Utseende

$x$		$- 2$		$1$
$f^{'} (x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f (x)$	$↗$	Max	$↘$	Min	$↗$

x

- 2

1

f^{'} (x)

+

0

-

0

+

f (x)

↗

Max

↘

Min

↗

$x$		$- 2$		$1$
$f^{'} (x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f (x)$	$↗$	Max	$↘$	Min	$↗$

x

- 2

1

f^{'} (x)

+

0

-

0

+

f (x)

↗

Max

↘

Min

↗

$x$		$- 2$		$5$		$9$
$f^{'} (x)$		$0$		$0$		$0$
$f (x)$	$↗$	Max	$↘$	Ter.	$↘$	Min	$↗$

x

- 2

5

9

f^{'} (x)

0

0

0

f (x)

↗

Max

↘

Ter.

↘

Min

↗

$x$		$- 2$		$5$		$9$
$f^{'} (x)$		$0$		$0$		$0$
$f (x)$	$↗$	Max	$↘$	Ter.	$↘$	Min	$↗$

x

- 2

5

9

f^{'} (x)

0

0

0

f (x)

↗

Max

↘

Ter.

↘

Min

↗

$x$		$- 2$		$5$		$9$
$f^{'} (x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f (x)$	$↗$	Max	$↘$	Ter.	$↘$	Min	$↗$

x

- 2

5

9

f^{'} (x)

+

0

-

0

-

0

+

f (x)

↗

Max

↘

Ter.

↘

Min

↗

$x$		$- 2$
$y^{'} (x)$	$-$	$0$	$+$
$y (x)$	$↘$	Min	$↗$

x

- 2

y^{'} (x)

-

0

+

y (x)

↘

Min

↗

$x$		$- 2$
$y^{'} (x)$		$0$
$y (x)$	$↗$	Min	$↘$

x

- 2

y^{'} (x)

0

y (x)

↗

Min

↘

$x$		$- 2$
$y^{'} (x)$	$-$	$0$	$+$
$y (x)$	$↘$	Min	$↗$

x

- 2

y^{'} (x)

-

0

+

y (x)

↘

Min

↗

Kan denna teckentabell tillhöra funktionen $f (x) = 6 x^{5} - 45 x^{4} + 80 x^{3} ?$ Motivera.

$x$		$0$		$2$		$4$
$f^{'} (x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$+$
$f (x)$	$↗$	Max	$↘$	Min	$↗$	Ter.	$↗$

Vi kontrollerar först om x-värdena för de stationära punkterna är korrekta. Eftersom derivatan är 0 i en stationär punkt kan vi avgöra detta genom att derivera f(x) och sätta in respektive x i derivatan. Om derivatans värde blir 0 finns det en stationär punkt i det x-värdet.

Nu sätter vi in x-värdena 0, 2 och 4 i derivatan och beräknar dess värde.

x	30x^4- 180x^3 + 240x^2	f'(x)
0	30* 0^4- 180* 0^3 + 240* 0^2	0
2	30* 2^4- 180* 2^3 + 240* 2^2	0
4	30* 4^4- 180* 4^3 + 240* 4^2	0

Derivatan är 0 för de tre x-värdena, så det finns alltså stationära punkter där. Än så länge stämmer den givna teckentabellen. Vi måste även kontrollera om funktionen är växande och avtagande på de intervall som tabellen anger. Vi kan göra det genom att studera derivatans tecken omkring de stationära punkterna, t.ex. för x-värdena - 1, 1, 3 och 5.

x	30x^4- 180x^3 + 240x^2	f'(x)	Tecken
- 1	30( - 1)^4- 180( - 1)^3 + 240( - 1)^2	450	+
1	30* 1^4- 180* 1^3 + 240* 1^2	90	+
3	30* 3^4- 180* 3^3 + 240* 3^2	- 270	-
5	30* 5^4- 180* 5^3 + 240* 5^2	2250	+

Vi sammanfattar derivatans tecken i en egen teckentabell, och anger hur funktionens graf ser ut baserat på det.

x		0		2		4
f'(x)	+	0	+	0	-	0	+
f(x)	↗	Ter.	↗	Max	↘	Min	↗

Vi ser nu att f(x) har en terrasspunkt i x=0, en maxpunkt i x=2 och en minpunkt i x=4. Det stämmer inte med vad den givna teckentabellen påstår, där t.ex. x=0 ska vara en maxpunkt. Den givna teckentabellen kan alltså inte tillhöra funktionen f(x)=6x^5-45x^4+80x^3.

Teckentabellen tillhör funktionen

h (x) = - 3 x^{4} + 8 x^{3} + 6 x^{2} - 24 x + 3 .

$x$		$- 1$		$1$		$2$
$h^{'} (x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

Vilket är funktionens största värde?

Vi börjar med att fylla i funktionens utseende. Där derivatan är positiv är funktionen växande, och avtagande där derivatan är negativ.

x		-1		1		2
h'(x)	+	0	-	0	+	0	-
h(x)	↗		↘		↗		↘

Där funktionen går från att luta uppåt till nedåt finns det maximipunkter, och minimipunkter där funktionen går från att luta nedåt till uppåt.

x		-1		1		2
h'(x)	+	0	-	0	+	0	-
h(x)	↗	Max	↘	Min	↗	Max	↘

Vi ska hitta funktionens största värde, så vi fokuserar på maximipunkterna. Vi beräknar funktionsvärdena i dem genom att sätta in x=-1 och x=2 i funktionen.

Nu sätter vi in det andra x-värdet.

Punkten (-1,22) ger alltså det största funktionsvärdet av maximipunkterna. Kan vi vara säkra på att grafen inte går mot större värden för x-värden utanför de som ges i tabellen? Ja, det kan vi. Vi kan läsa av från teckentabellen att till vänster om den vänstra maximipunkten kommer grafen från mindre funktionsvärden.

På samma sätt går grafen nedåt till höger om den andra maximipunkten.

Funktionen antar alltså inte större funktionsvärden än vad den gör i den högsta maximipunkten. Funktionens största värde är därför 22.

Grafens utseende och derivatans tecken

Förkunskaper

Växande funktion

Avtagande funktion

Bestäm växande och avtagande intervall utifrån grafen

Svar

Ledtråd

Lösning

Teckentabell

Stationära punkter och derivatans nollställen

Teckentabell

Göra en teckentabell utifrån graf

Gör en teckentabell utifrån grafen

Svar

Ledtråd

Lösning

Träna på att klassificera punkter på en funktion

Grafens utseende och derivatans tecken

Rekommenderade uppgifter

	10 sidor teori
	12 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.