Extremvärden: Utforska Lokala och Globala Maximum och Minimum

Här är vi intresserade av att bestämma koordinaterna för funktionens globala extrempunkter på intervallet, inte bara av funktionens största och minsta värde. Det innebär att vi ska svara med både $x -$ och $y -$ värdena.

1. Bestäm ändpunkternas koordinater

Ändpunkterna har

x -

koordinaterna

2

och

- 5 .

Vi sätter in dem i funktionsuttrycket

f (x) = \frac{x ^{4}}{4} + x^{3} + 9,

en i taget.

f (x) = \frac{x ^{4}}{4} + x^{3} + 9

Substitute

$x = 2$

f (2) = \frac{2 ^{4}}{4} + 2^{3} + 9

CalcPow

Beräkna potens

f (2) = \frac{1 6}{4} + 8 + 9

CalcQuot

Beräkna kvot

f (2) = 4 + 8 + 9

AddTerms

Addera termer

f (2) = 21

Den högra ändpunkten har alltså koordinaterna

(2, 21) .

Nu sätter vi in

x = - 5 .

f (x) = \frac{x ^{4}}{4} + x^{3} + 9

Substitute

$x = - 5$

f (- 5) = \frac{( - 5 ) ^{4}}{4} + (- 5)^{3} + 9

UseCalc

Slå in på räknare

f (- 5) = 40, 25

De två ändpunkternas koordinater är

(2, 21)

och

(- 5; 40, 25) .

2. Bestäm extrempunkter med derivata och teckentabell

Vi börjar med att derivera funktionen.

f (x) = \frac{x ^{4}}{4} + x^{3} + 9

Derive

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (\frac{x ^{4}}{4}) + D (x^{3}) + D (9)

DeriveMonomCoDiv

$D (\frac{x ^{n}}{a}) = \frac{n x ^{n - 1}}{a}$

f^{'} (x) = \frac{4 x ^{3}}{4} + D (x^{3}) + D (9)

DeriveMonom

$D (x^{n}) = n x^{n - 1}$

f^{'} (x) = \frac{4 x ^{3}}{4} + 3 x^{2} + D (9)

DeriveConst

$D (a) = 0$

f^{'} (x) = \frac{4 x ^{3}}{4} + 3 x^{2}

SimpQuot

Förenkla kvot

f^{'} (x) = x^{3} + 3 x^{2}

Derivatan är alltså

f^{'} (x) = x^{3} + 3 x^{2} .

Nu sätter vi den till

0

för att hitta derivatans nollställen. Vi får då en ekvation som vi löser med nollproduktmetoden.

f^{'} (x) = x^{3} + 3 x^{2}

Substitute

$f^{'} (x) = 0$

0 = x^{3} + 3 x^{2}

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

x^{3} + 3 x^{2} = 0

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

x^{2} \cdot x + x^{2} \cdot 3 = 0

FactorOut

Bryt ut $x^{2}$

x^{2} (x + 3) = 0

ZeroProdProp

Använd nollproduktmetoden

x^{2} = 0 x + 3 = 0 (I) (II)

SqrtEqn

$(I):$ $VL = HL$

x = \pm 0 x + 3 = 0

SimpRadicalTerm

$(I):$ Förenkla rot & termer

x = 0 x + 3 = 0

SubEqn

$(II):$ $VL - 3 = HL - 3$

x_{1} = 0 x_{2} = - 3

Vi har alltså stationära punkter i

x = - 3

och

x = 0,

vilka båda ligger på det givna intervallet

- 5 \leq x \leq 2 .

Vi beräknar

y

-värdena för

x = 0

och

x = - 3 .

f (- 3) f (0) = \frac{( - 3 ) ^{4}}{4} + (- 3)^{3} + 9 = 2, 25 = \frac{0 ^{4}}{4} + 0^{3} + 9 = 9

Funktionen

f (x)

har alltså stationära punkter i

(- 3; 2, 25)

och

(0, 9) .

3. Jämför koordinaternas $y -$ värden

Nu har vi undersökt alla lokala extrempunkter och hittat

ändpunkterna $(2, 21)$ och $(- 5; 40, 25)$ samt
de stationära punkterna $(- 3; 2, 25)$ och $(0, 9) .$

Den globala minimipunkten för funktionen på det givna intervallet är $(- 3; 2, 25)$ eftersom $2, 25$ är det minsta $y -$ värdet. Den globala maximipunkten är $(- 5; 40, 25) .$ Vi kan kontrollera detta genom att rita upp funktionen.

{{ article.displayTitle }}

Förkunskaper

Funktioner på intervall

Koncept

Bestäm funktionens ändpunkter

Ledtråd

Lösning

Bestämma en funktions största och minsta värde på ett slutet intervall

Att hitta globala extremvärden

Hitta de globala extrempunkterna

Ledtråd

Lösning

1. Bestäm ändpunkternas koordinater

2. Bestäm extrempunkter med derivata och teckentabell

3. Jämför koordinaternas $y -$ värden

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Förkunskaper

Koncept

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

1. Bestäm ändpunkternas koordinater

2. Bestäm extrempunkter med derivata och teckentabell

3. Jämför koordinaternas y-värden

3. Jämför koordinaternas $y -$ värden