Geometriska talföljder och summor

De tre första elementen i den geometriska talföljden är a_1, a_2 och a_3. Vi beräknar dem genom att sätta in 1, 2 och 3 istället för n i a_n = 3* 5^(n-1).

Talföljden inleds alltså med 3, 15 och 75, d.v.s. alternativ B är rätt.

För att bestämma de sökta elementen sätter vi in n=6 i formeln och beräknar.

Talet är alltså a_6=96.

I en geometrisk talföljd är kvoten mellan två på varandra följande element konstant. Därför plockar vi ett par av intilliggande element, t.ex. de två första, och delar det senare på det föregående.

Talföljdens kvot är alltså 0,8.

Varje tal i en geometrisk talföljd ligger något antal multiplikationer av k bort från startvärdet a_1. Antalet multiplikationer är alltid ett mindre än elementets platsnummer, och därför kan följden beskrivas med formeln a_n = a_1 * k^(n-1). I det här fallet är första elementet 2 500, och i förra deluppgiften fick vi fram kvoten k=0,8. Vi sätter in detta i formeln.

Talföljden kan därför beskrivas med formeln a_n = 2 500 * 0,8^(n-1).

För att beskriva en geometrisk talföljd med en formel behöver vi det första talet och kvoten mellan varje element. Det första talet, a_1, är 6. Kvoten kan vi beräkna genom att dividera ett av talen med det föregående. Vi väljer det första och andra elementet: k=24/6=4. Nu sätter vi in dessa värden i formeln för en geometrisk talföljd vilket ger a_n=a_1* k^(n-1) ⇒ a_n=6*4^(n-1).

När man lägger ihop element i en geometrisk talföljd bildas en geometrisk summa. Att lägga ihop alla 10 termer en i taget är för besvärligt, så istället använder vi formeln: s_n = a(k^n - 1)/k-1. För att beräkna summan behöver vi veta antalet element som ska summeras, n, värdet av det första elementet, a, samt kvoten, k. Vi ska summera de första 10 elementen, så n=10. Sedan ser vi i talföljdens formel att a=3 och k=4.

Summan av de 10 första talen i talföljden är 1 048 575.

Vi vet att det första elementet är a_1 = 2 och att summan av de två första elementen är 8: a_1 + a_2 = 8. Eftersom vi vet värdet på a_1 kan vi använda detta för att beräkna a_2.

Nu har vi två på varandra följande element, och då kan vi beräkna talföljdens kvot.

Nu har vi talföljdens första element och dess kvot, och det är allt som behövs till en formel för element a_n: a_n = a_1 * k^(n-1). Vi sätter in våra värden samt n=6 för att beräkna det sjätte elementet i följden.

Det sjätte elementet i serien är alltså 486.

I en geometrisk summa multiplicerar man ett element med en faktor k för att få nästa element. Från den geometriska summan ser vi att det första talet är 2, det andra är 2* 3 och det tredje är 2* 3^2. Faktorn man multiplicerar med är alltså 3 så för att få nästa tal ska man multiplicera 2* 3^2 med 3: 2* 3^2* 3 = 2* 3^3.