Geometriska talföljder och summor

I en geometrisk talföljd ökar varje element med samma faktor. Den kan vi beräkna genom att dividera ett av talen med det föregående. Vi väljer det första och andra talet: k=24/16=3/2=1.5. Kvoten är alltså 1.5. Formeln för en geometrisk summa av de n första talen i talföljden är s_n=a(k^n-1)/k-1, där a är det första elementet och k är kvoten. Det första elementet är 16 och vi är ute efter summan av de 10 första termerna, så vi sätter in detta tillsamman med kvoten.

Summan är alltså cirka 1813.

Vi kan beräkna summan av de n första talen i en geometrisk talföljd med formeln s_n = a(k^n-1)/k-1. Detta kräver kvoten k som inte är given. Det vi däremot vet är det sjätte talet i följden, a_6 = 15 625. Eftersom elementen i en geometrisk talföljd ges av formeln a_n = a_1* k^(n-1) kan vi hitta vårt k den vägen. Vi sätter in våra värden och löser ut k.

Nu kan vi sätta in värdena i summaformeln.

Summan av de 6 första talen i talföljden är 19 530.

För att beräkna summan av en geometrisk talföljd behöver vi det första elementet och kvoten. Vi kan inte läsa av följdens första tal direkt från formeln, så vi får räkna ut det genom att sätta in n=1.

Det första talet är -2. För att bestämma kvoten behöver vi ytterligare ett element i följden, så vi beräknar det andra talet genom att sätta in n=2 i formeln.

Det andra talet blir alltså 2 och kvoten får vi sedan genom att dividera denna term med den första, vilket ger k = a_2/a_1 = 2/-2 = -1. Nu kan vi sätta in a = -2 och k = -1 tillsammans med med n = 37 i formeln för geometrisk summa för att beräkna summan av de 37 första elementen.

Summan är alltså -2.

Vi bestämde tidigare att kvoten för den geometriska talföljden är -1. Hur kommer det att påverka talföljdens element? Det första talet var -2. Nästa får man genom att multiplicera detta med -1 vilket ger 2. Dettta multipliceras sedan med -1 för att få nästa element, som är -2. Detta mönster fortsätter sedan att upprepa sig: -2, 2, -2, 2, -2, 2, ... Med hjälp av mönstret blir det lite lättare att resonera sig fram till summan. Om det finns ett jämnt antal element kommer talen att ta ut varandra när man lägger ihop dem. Det är enklare att se det om man väljer att titta på dem parvis.

Alla markerade par blir tillsammans 0 så den totala summan blir 0 för alla summor med ett jämnt antal termer. Om man istället tittar på en summa med ett udda antal termer så kan man se den som det första elementet, följt av ett jämnt antal termer.

Summan av alla de markerade paren är 0, så summan av dem är 0 och det enda som blir kvar är det första elementet. Alla summor av ett udda antal element, inklusive den som efterfrågas, s_(37), är alltså -2.

Om vi kan lista ut hur många femkronor som ligger på brädet så är pengavärdet fem gånger mer. Vi försöker därför ta reda på det totala antalet mynt, utifrån att det börjar på 1 i första rutan och sedan dubbleras i varje steg.

Eftersom antalet mynt multipliceras med samma tal i varje steg bildas en geometrisk talföljd med första elementet a_1 = 1 och kvoten k=2. Antalet mynt på brädet är då en geometrisk summa. Antalet termer i summan är lika med antalet rutor på ett schackbräde, vilket är 8* 8 = 64.

Det ligger 2^(64) -1 mynt på brädet, och varje mynt är värt 5 kr. Vi multiplicerar därför dessa för att få värdet av alla pengarna på brädet.

Om Shivani fullföljer sitt projekt ska hon alltså lägga ut ca 9.2 * 10^(19) kr i femmor på bordet. Det kan skrivas om som 92 * 10^(18), vilket är 92 miljarder miljarder kr. Det är väldigt mycket pengar! Faktiskt betydligt mer pengar än vad som finns på jorden, vilket är uppskattat till omkring 10^(15) kr.

För att beräkna summan av en geometrisk talföljd behöver vi bland annat veta kvoten som vi kan kalla k. Det första talet är a_1=4. Då blir det andra a_2=4k och det tredje a_3=4k^2. Om vi multiplicerar dessa ska produkten bli 13 824: a_1* a_2 * a_3=13 824. Vi sätter in uttrycken för de första tre elementen för att bestämma k.

Kvoten är alltså k=6. Det första elementet är 4 så nu kan vi beräkna summan av de 9 första talen.

Summan är 8 062 156.