Geometriska talföljder och summor

Det finns en formel för beräkning av en geometrisk summa, men den fungerar inte här. Eftersom k=1 får man s_n=a(1^n-1)/1-1 ⇔ s_n=a(1^n-1)/0 Nämnaren blir 0 så kvoten blir odefinierad. Betyder det att man inte kan beräkna summan? Jo, det kan man. Kvoten 1 betyder att man ska multiplicera föregående element med 1 för att få nästa. Eftersom a_1=7 blir exempelvis de sex nästkommande talen & a_2=7* 1=7 & a_3=7* 1* 1=7 & a_4=7* 1* 1* 1=7 & a_5=7* 1* 1* 1* 1=7 & a_6=7* 1* 1* 1* 1* 1=7 & a_7=7* 1* 1* 1* 1* 1* 1=7 & ... Eftersom man bara multiplicerar föregående tal med 1 kommer alla element i talföljden att vara 7. De 500 första talen kommer alltså att vara summan av 500 st. sjuor: s_(500)=500* 7=3 500.

Vi ska alltså ta reda på det minsta heltalet, n, som löser olikheten a_n > 600 ⇒ 3* 1,5^(n-1) > 600. En olikhet med potensfunktion i ena ledet kan vara lite knepig att lösa så istället löser vi ekvationen 3* 1,5^(n-1)=600 och tolkar resultatet.

Det krävs alltså lite mer än 14 för att a_n ska bli 600. Det minsta heltalet som är större än 14 är 15. Det betyder att det är det femtonde elementet, dvs. a_(15), som är det första som är större än 600.

När kuberna sitter i varann är deras gemensamma volym lika med den största kubens volym. När kuberna separerats har vi 10 olika volymer att lägga ihop: V = V_1 + V_2 + ... + V_(10). Om den minsta kuben (kub 1) har sidlängden x blir kubens volym V_1 = x^3. I kub 2 är sidan 1,1x, eftersom 1,1 är förändringsfaktorn som motsvarar en ökning med 10 %. Dess volym blir sidlängden upphöjt till 3.

Det här visar att när sidlängden ökar med faktorn 1,1 ökar volymen med faktorn 1,1^3, eller 1,331. Den faktorn kommer därför återkomma i varje steg, och volymerna utgör en geometrisk talföljd. Kub 10 ligger nio ökningar efter den första kuben, dvs. V_(10) = 1,331^9V_1.

Eftersom följden är geometrisk kan vi beräkna den totala volymen med formeln för geometrisk summa: s_n = a(k^n - 1)/k-1. Det är tio kuber vilket ger n=10, och vi har kommit fram till att k=1,331. Då återstår bara startvärdet a, dvs. V_1. Det kan vi bestämma med hjälp av den största kubens volym, som vi vet är 1 dm^3.

Nu har vi startvärde, kvot och antal termer. Det är allt som behövs för att använda formeln.

Kubernas sammanlagda volym är alltså ca 3,8 dm^3.

Vid varje studs tappar bollen 30 % av sin maxhöjd. Det innebär att efter varje studs når bollen till 70 % av den förra studshöjden. 70 % motsvaras av förändringsfaktorn 0,7. Så först släpps bollen från 1m, sedan studsar den upp till 1* 0,7 = 0,7m. Efter andra studsen når bollen till 0,7* 0,7 = 0,49m, osv.

Men för att undersöka sträckan som bollen färdats räcker det inte med de olika höjderna. Bollen färdas ju både uppåt och nedåt om vartannat, så bollen färdas t.ex. sträckan 0,7m två gånger. Detta gäller för alla höjder utom den första, 1m. Bollen börjar med att falla, så sträckan 1m färdas bara en gång. Total sträcka s blir då: s = 1 + 2* 0,7 + 2* 0,7^2 + 2* 0,7^3 + ... Om vi flyttar ettan ser vi en geometrisk summa i högerledet, med första termen a = 2* 0,7 = 1,4 och kvoten k = 0,7: s - 1 = 2* 0,7 + 2* 0,7^2 + 2* 0,7^3 + ... Mellan varje term i summan sker en studs, och därför kan vi räkna ut antalet studsar som krävs med en ekvation där s = 5,6.

Det krävs alltså nästan 12 termer i den geometriska summan, nästan 12 färdiga hopp. Det innebär att bollen studsat 12 gånger, eftersom varje hopp inleds med en studs. Den behöver därför inte avsluta sitt tolfte hopp för att ha studsat 12 gånger.