1. Geometriska talföljder och summor
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 6
1.
Geometriska talföljder och summor
Geometriska talföljder och summor är centrala koncept inom matematiken. En geometrisk talföljd byggs upp genom att varje element multipliceras med samma tal för att få nästa element. Summan av talen i en geometrisk talföljd kallas för en geometrisk summa. Att kunna räkna ut dessa summor är en viktig färdighet inom matematiken, och det finns specifika formler för att göra detta. Att förstå och kunna tillämpa dessa koncept är en viktig del av matematikundervisningen.
Inställningar & verktyg för lektion
| | 7 sidor teori |
| | 16 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Geometriska talföljder och summor
Sida av 7
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Talföljd
- Geometrisk talföljd
- Sluten formel för geometrisk talföljd
- Geometrisk summa
Förkunskaper
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Talföljd
En talserie är en följd av tal som är ordnade enligt en viss regel. Varje tal i serien kallas en term. Till exempel kan vi titta på en talserie där varje tal är 2 större än det föregående.
Här är skillnaden mellan den första och andra termen samma som skillnaden mellan den andra och tredje, och så vidare. Denna skillnad kallas för den gemensamma differensen i talserien. Den gemensamma differensen kan också vara negativ. Titta på följande sekvens där värdena minskar:
Beroende på antalet termer kan en talserie vara ändlig eller oändlig. Eftersom det inte är möjligt att lista alla element i en oändlig serie är det vanligt att sätta tre punkter efter några termer för att indikera att serien fortsätter oändligt baserat på ett specifikt mönster.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Geometrisk talföljd
En geometrisk talföljd byggs upp genom att varje element multipliceras med samma tal k för att få nästa element. Talet k kan t.ex. vara 2, så att varje tal i följden är dubbelt så stort som det förra.
Precis som i andra följder brukar första talet kallas a_1, nästa a_2 osv.
![geometrisk talföljd]]](/mediawiki/images/5/58/Mljsx_Concept_Geometrisk_talfoljd_1.svg)
Talet k brukar kallas följdens kvot. Det heter så eftersom k kan bestämmas genom att ta två intilliggande tal i följden och dividera dem: det senare delat på det föregående.
k=a_n/a_(n-1)
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Geometrisktalföljd (sluten formel)
Om a_1 är det första värdet i en geometrisk talföljd och k är kvoten, så ligger a_3 två steg bort från startvärdet a_1, och därför multipliceras a_1 med k två gånger för att ge a_3. Samma resonemang kan användas för vilket a_n som helst i följden: a_n ligger n - 1 steg bort från a_1, så a_1 multipliceras med k precis så många gånger för att ge a_n.
a_n=a_1* k^(n-1)
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Beräkna det n:te värdet i talföljden
Beräkna det tolfte elementet i den oändliga geometriska talföljden 4, 12, 36, 108,...
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"a_(12)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["708588"]}}
Ledtråd
Hitta kvoten med hjälp av två på varandra följande termer. Skriv formeln för det n:te elementet med första termen och kvoten. Sätt sedan in 12 för n.
Lösning
Vi börjar med att undersöka vad kvoten k mellan ett element och det närmast föregående är. Eftersom vi får givet att talföljden är geometrisk och kvoten i en sådan är konstant räcker det med att dividera t.ex. de två första elementen:
12/4=3.
Kvoten är alltså 3 och vi ska nu bestämma det tolfte elementet. Det första elementet, a_1, är känt vilket betyder att vi kan ta fram en formel för talföljden:
a_n=a_1* k^(n-1).
Vi sätter in a_1=4, k=3 och n=12.
a_n=a_1* k^(n-1)
SubstituteValues
Sätt in värden
a_(12)=4* 3^(12-1)
SubTerm
Subtrahera term
a_(12)=4* 3^(11)
UseCalc
Slå in på räknare
a_(12)=708 588
Det tolfte elementet i talföljden är alltså 708 588.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Geometrisk summa
Summan av de n första talen i en geometrisk talföljd kallas för en geometrisk summa. Den skrivs ofta: s_n=a+ak+ak^2+ ... +ak^(n-1), där a är första talet, k är kvoten mellan två intilliggande tal och n är antalet termer. Alternativt, om man känner till värdena a, k, och n kan man använda en formel.
a+ak+ ... +ak^(n-1)=a(k^n-1)/k-1 k ≠ 1
Bevis
Bevis för formeln för geometrisk summaVi kallar summan i vänsterledet för s_n så att vi får ekvationen:
s_n=a+ak+ak^2+ ... +ak^(n-1),
För att bevisa formeln skapar vi en till ekvation där ovanstående ekvation har multiplicerats med faktorn k. Man får då följande två ekvationer:
lc s_n= a+ak+ak^2+ ... +ak^(n-1) & (I) s_n * k=ak+ak^2+ak^3+ ... +ak^n & (II)
Jämför man dessa inser man att alla termer i summornas högerled är gemensamma förutom a och ak^n som endast finns i ekvation (I) respektive ekvation (II). Dessa gemensamma termer har nedanför markerats som gröna:
l s_n=a+ ak+ak^2+ ... +ak^(n-1) s_n * k= ak+ak^2+ak^3+ ... +ak^n.
Om man subtraherar ekvation (I) från ekvation (II) kommer de gröna termerna att ta ut varandra. Det som därefter blir kvar kan skrivas om till formeln för att bestämma en geometrisk summa.
lcs_n=a+ak+ak^2+ ... +ak^(n-1) & (I) s_n * k=ak+ak^2+ak^3+ ... +ak^n & (II)
SysEqnSub
(II): Subtrahera (I)
ls_n=a+ak+ak^2+ ... +ak^(n-1) s_n * k- s_n=ak+ak^2+ak^3 ... +ak^n- (a+ak+ak^2+ ... +ak^(n-1))
SimpTerms
(II): Förenkla termerna
ls_n=a+ak+ak^2+ ... +ak^(n-1) s_n * k-s_n=ak^n-a
Nu kan man fokusera på den andra ekvationen och lösa ut s_n.
s_n * k-s_n=ak^n-a
FactorOut
Bryt ut s_n
s_n(k-1)=ak^n-a
DivEqn
.VL /(k-1).=.HL /(k-1).
s_n=ak^n-a/k-1
FactorOut
Bryt ut a
s_n=a(k^n-1)/k-1
Men s_n var ju från början definierad som a+ak+ak^2+ ... +ak^(n-1) vilket ger likheten a+ak+ak^2+ ... +ak^(n-1)=a(k^n-1)/k-1.
Q.E.D.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Beräkna den geometriska summan
Beräkna den geometriska summan 80+80* 1,5+80* 1,5^2+80* 1,5^3.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"S_n=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["650"]}}
Ledtråd
Identifiera första termen och kvoten. Bestäm antalet termer i serien. Sätt in denna information i formeln för en geometrisk summa.
Lösning
Formeln för att beräkna en geometrisk summa är:
a+ak+ak^2+ ... +ak^(n-1)=a(k^n-1)/k-1.
Det första talet är a=80 och kvoten mellan två intilliggande element är k=1,5. I formeln står n för antalet termer och om vi räknar dessa ser vi att den består av 4 termer, så n=4. Vi sätter in våra värden i formeln och förenklar.
s_n=a(k^n-1)/k-1
SubstituteValues
Sätt in värden
s_4=80 (1,5^4-1)/1,5-1
SubTerm
Subtrahera term
s_4=80 (1,5^4-1)/0,5
SimpQuot
Förenkla kvot
s_4=160 (1,5^4-1)
UseCalc
Slå in på räknare
s_4=650
Summan är alltså lika med 650.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Geometriska talföljder och summor
Uppgift 3.1
En geometrisk talföljd kan beskrivas med formeln a_n=3* 1,5^(n-1). Vad är det minsta värdet på n så att a_n är större än 600?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"n=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["15"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi ska alltså ta reda på det minsta heltalet, n, som löser olikheten a_n > 600 ⇒ 3* 1,5^(n-1) > 600. En olikhet med potensfunktion i ena ledet kan vara lite knepig att lösa så istället löser vi ekvationen 3* 1,5^(n-1)=600 och tolkar resultatet.
Det krävs alltså lite mer än 14 för att a_n ska bli 600. Det minsta heltalet som är större än 14 är 15. Det betyder att det är det femtonde elementet, dvs. a_(15), som är det första som är större än 600.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Nio ihåliga kuber har placerats inuti en större kub som har en volym på 1 dm^3. För varje kub som placeras inuti den större minskar sidlängden med 10 % relativt föregående kub som sattes in. Vad är totalvolymen av samtliga 10 kuber? Svara med två gällande siffror.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"dm^3","answer":{"text":["3,8"]}}
security
report
code
security
report
code
När kuberna sitter i varann är deras gemensamma volym lika med den största kubens volym. När kuberna separerats har vi 10 olika volymer att lägga ihop: V = V_1 + V_2 + ... + V_(10). Om den minsta kuben (kub 1) har sidlängden x blir kubens volym V_1 = x^3. I kub 2 är sidan 1,1x, eftersom 1,1 är förändringsfaktorn som motsvarar en ökning med 10 %. Dess volym blir sidlängden upphöjt till 3.
Det här visar att när sidlängden ökar med faktorn 1,1 ökar volymen med faktorn 1,1^3, eller 1,331. Den faktorn kommer därför återkomma i varje steg, och volymerna utgör en geometrisk talföljd. Kub 10 ligger nio ökningar efter den första kuben, dvs. V_(10) = 1,331^9V_1.
Eftersom följden är geometrisk kan vi beräkna den totala volymen med formeln för geometrisk summa: s_n = a(k^n - 1)/k-1. Det är tio kuber vilket ger n=10, och vi har kommit fram till att k=1,331. Då återstår bara startvärdet a, dvs. V_1. Det kan vi bestämma med hjälp av den största kubens volym, som vi vet är 1 dm^3.
Nu har vi startvärde, kvot och antal termer. Det är allt som behövs för att använda formeln.
Kubernas sammanlagda volym är alltså ca 3,8 dm^3.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
En studsboll släpps från höjden 1m. I varje studs tappar bollen 30 % av sin höjd. Hur många studsar tar det tills bollen färdats 5,6m?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"studsar","answer":{"text":["12"]}}
security
report
code
security
report
code
Vid varje studs tappar bollen 30 % av sin maxhöjd. Det innebär att efter varje studs når bollen till 70 % av den förra studshöjden. 70 % motsvaras av förändringsfaktorn 0,7. Så först släpps bollen från 1m, sedan studsar den upp till 1* 0,7 = 0,7m. Efter andra studsen når bollen till 0,7* 0,7 = 0,49m, osv.
Men för att undersöka sträckan som bollen färdats räcker det inte med de olika höjderna. Bollen färdas ju både uppåt och nedåt om vartannat, så bollen färdas t.ex. sträckan 0,7m två gånger. Detta gäller för alla höjder utom den första, 1m. Bollen börjar med att falla, så sträckan 1m färdas bara en gång. Total sträcka s blir då: s = 1 + 2* 0,7 + 2* 0,7^2 + 2* 0,7^3 + ... Om vi flyttar ettan ser vi en geometrisk summa i högerledet, med första termen a = 2* 0,7 = 1,4 och kvoten k = 0,7: s - 1 = 2* 0,7 + 2* 0,7^2 + 2* 0,7^3 + ... Mellan varje term i summan sker en studs, och därför kan vi räkna ut antalet studsar som krävs med en ekvation där s = 5,6.
Det krävs alltså nästan 12 termer i den geometriska summan, nästan 12 färdiga hopp
. Det innebär att bollen studsat 12 gånger, eftersom varje hopp inleds med en studs. Den behöver därför inte avsluta sitt tolfte hopp för att ha studsat 12 gånger.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Geometriska talföljder och summor
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll