En geometrisk talföljd byggs upp genom att varje element multipliceras med samma tal k för att få nästa element. Talet k kan t.ex. vara 2, så att varje tal i följden är dubbelt så stort som det förra.
Precis som i andra följder brukar första talet kallas a1, nästa a2 osv.
Talet k brukar kallas följdens kvot. Det heter så eftersom k kan bestämmas genom att ta två intilliggande tal i följden och dividera dem: det senare delat på det föregående.
k=an−1an
Element a3 ligger två steg bort från startvärdet a1, och därför ska a1 multipliceras med k två gånger för att ge a3. Samma resonemang kan användas för vilket an som helst i följden: an ligger n−1 steg bort från a1, så a1 multipliceras med k precis så många gånger.
an=a1⋅kn−1
Beräkna det tolfte elementet i den oändliga geometriska talföljden
4,12,36,108,…
Summan av de n första talen i en geometrisk talföljd kallas för en geometrisk summa. Den skrivs ofta:
sn=a+ak+ak2+…+akn−1, där a är första talet, k är kvoten mellan två intilliggande tal och n är antalet termer. Ett exempel är följande geometriska summa som består av de fyra första elementen i den geometriska talföljden an=700⋅1.5n−1: 700+700⋅1.5+700⋅1.52+700⋅1.53. Man kan beräkna summan genom att addera termerna, en i taget. Alternativt, om man känner till värdena a, k, och n kan man använda en formel.
Man kan motivera formeln med hjälp av en geometrisk summa där t.ex. n=4:
s4=a+ak+ak2+ak3. Om man multiplicerar ekvationen med kvoten k får man en ny ekvation:
s4⋅k=ak+ak2+ak3+ak4. Genom att subtrahera den första ekvationen från den andra kan man få bort ett antal termer från högerledet i ekvationen.
Nu kan man fokusera på den andra ekvationen och lösa ut s4.
Men s4 var ju från början definierad som a+ak+ak2+ak3. Därför kan man skriva likheten
a+ak+ak2+ak3=k−1a(k4−1), vilket är samma sak som man får om man sätter in n=4 i den generella formeln för summan. Motsvarande motivering kan också göras som ett generellt bevis för n stycken termer.
Beräkna den geometriska summan 80+80⋅1.5+80⋅1.52+80⋅1.53.
Formeln för att beräkna en geometrisk summa är: a+ak+ak2+…+akn−1=k−1a(kn−1). Det första talet är a=80 och kvoten mellan två intilliggande element är k=1.5. I formeln står n för antalet termer och om vi räknar dessa ser vi att den består av 4 termer, så n=4. Vi sätter in våra värden i formeln och förenklar.