Geometriska talföljder och summor

Begrepp

Talföljd

En talföljd är en ändlig eller oändlig följd av tal, sk. element. Talen kallas ofta

a_1,

a_2,

a_3

osv. där den nedsänkta siffran kallas för index och anger vilken position i talföljden ett element har.

Regel

Geometrisk talföljd

En geometrisk talföljd byggs upp genom att varje element multipliceras med samma tal $k$ för att få nästa element. Talet $k$ kan t.ex. vara $2,$ så att varje tal i följden är dubbelt så stort som det förra.

Precis som i andra följder brukar första talet kallas $a_1,$ nästa $a_2$ osv.

Talet $k$ brukar kallas följdens kvot. Det heter så eftersom $k$ kan bestämmas genom att ta två intilliggande tal i följden och dividera dem: det senare delat på det föregående.

$k=\dfrac{a_n}{a_{n-1}}$

Regel

Formel

Element $a_3$ ligger två steg bort från startvärdet $a_1,$ och därför ska $a_1$ multipliceras med $k$ två gånger för att ge $a_3.$ Samma resonemang kan användas för vilket $a_n$ som helst i följden: $a_n$ ligger $n-1$ steg bort från $a_1,$ så $a_1$ multipliceras med $k$ precis så många gånger.

$a_n=a_1\cdot k^{n-1}$

Beräkna det $n$ :te värdet i talföljden

Uppgift

Beräkna det tolfte elementet i den oändliga geometriska talföljden $4,\, 12,\, 36,\, 108,\ldots$

Lösning

Vi börjar med att undersöka vad kvoten $k$ mellan ett element och det närmast föregående är. Eftersom vi får givet att talföljden är geometrisk och kvoten i en sådan är konstant räcker det med att dividera t.ex. de två första elementen: $\dfrac{12}{4}=3.$ Kvoten är alltså $3$ och vi ska nu bestämma det tolfte elementet. Det första elementet, $a_1$ , är känt vilket betyder att vi kan ta fram en formel för talföljden: $a_n=a_1\cdot k^{n-1}.$ Vi sätter in $a_1=4,$ $k=3$ och $n=12.$

a_n=a_1\cdot k^{n-1}

Sätt in värden

a_{12}=4\cdot 3^{12-1}

Förenkla termer

a_{12}=4\cdot 3^{11}

Slå in på räknare

a_{12}=708\,588

Det tolfte elementet i talföljden är alltså $708\,588.$

Visa lösning

Regel

Geometrisk summa

Summan av de $n$ första talen i en geometrisk talföljd kallas för en geometrisk summa. Den skrivs ofta: $s_n=a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1},$ där $a$ är första talet, $k$ är kvoten mellan två intilliggande tal och $n$ är antalet termer. Ett exempel är följande geometriska summa som består av de fyra första elementen i den geometriska talföljden $a_n=700 \cdot 1.5^{n-1}$ : $700+700\cdot 1.5 + 700\cdot 1.5^2 + 700\cdot 1.5^3.$ Man kan beräkna summan genom att addera termerna, en i taget. Alternativt, om man känner till värdena $a,$ $k,$ och $n$ kan man använda en formel.

Regel
$a+ak+ \ldots +ak^{n-1}=\dfrac{a\left(k^n-1\right)}{k-1} \qquad k \neq 1$

Man kan motivera formeln med hjälp av en geometrisk summa där t.ex. $n=4$ : $s_4=a+ak+ak^2+ak^3.$ Om man multiplicerar ekvationen med kvoten $k$ får man en ny ekvation: $s_4 \cdot k=ak+ak^2+ak^3+ak^4.$ Genom att subtrahera den första ekvationen från den andra kan man få bort ett antal termer från högerledet i ekvationen.

\begin{array}{lc}s_4=a+ak+ak^2+ak^3 & \text{(I)}\\ s_4 \cdot k=ak+ak^2+ak^3+ak^4 & \text{(II)}\end{array}

{\color{#8C8C8C}{\text{(II): }}}

Subtrahera

{\color{#0000FF}{\text{(I)}}}

\begin{array}{l}s_4=a+ak+ak^2+ak^3 \\ s_4 \cdot k-{\color{#0000FF}{s_4}}=ak+ak^2+ak^3+ak^4-\left({\color{#0000FF}{a+ak+ak^2+ak^3}}\right) \end{array}

{\color{#8C8C8C}{\text{(II): }}}

Ta bort parentes & byt tecken

\begin{array}{l}s_4=a+ak+ak^2+ak^3 \\ s_4 \cdot k-s_4=ak+ak^2+ak^3+ak^4-a-ak-ak^2-ak^3 \end{array}

{\color{#8C8C8C}{\text{(II): }}}

Förenkla termer

\begin{array}{l}s_4=a+ak+ak^2+ak^3 \\ s_4 \cdot k-s_4=ak^4-a \end{array}

Nu kan man fokusera på den andra ekvationen och lösa ut $s_4.$

s_4 \cdot k-s_4=ak^4-a

Bryt ut

s_4

s_4(k-1)=ak^4-a

\left.\text{VL}\middle/(k-1)\right.=\left.\text{HL}\middle/(k-1)\right.

s_4=\dfrac{ak^4-a}{k-1}

Bryt ut

a

s_4=\dfrac{a\left(k^4-1\right)}{k-1}

Men $s_4$ var ju från början definierad som $a+ak+ak^2+ak^3.$ Därför kan man skriva likheten $a+ak+ak^2+ak^3=\dfrac{a\left(k^4-1\right)}{k-1},$ vilket är samma sak som man får om man sätter in $n=4$ i den generella formeln för summan. Motsvarande motivering kan också göras som ett generellt bevis för $n$ stycken termer.

Beräkna den geometriska summan

Uppgift

Beräkna den geometriska summan $80+80\cdot 1.5+80\cdot 1.5^2+80\cdot 1.5^3.$

Lösning

Formeln för att beräkna en geometrisk summa är: $a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1}=\dfrac{a\left(k^n-1\right)}{k-1}.$ Det första talet är $a=80$ och kvoten mellan två intilliggande element är $k=1.5.$ I formeln står $n$ för antalet termer och om vi räknar dessa ser vi att den består av $4$ termer, så $n=4$ . Vi sätter in våra värden i formeln och förenklar.

s_n=\dfrac{a\left(k^n-1\right)}{k-1}

Sätt in värden

s_{4}=\dfrac{80 \left(1.5^4-1\right)}{1.5-1}

Förenkla termer

s_{4}=\dfrac{80 \left(1.5^4-1\right)}{0.5}

Förenkla kvot

s_{4}=160 \left(1.5^4-1\right)

Slå in på räknare

s_{4}=650

Summan är alltså lika med $650.$

Visa lösning

Geometriska talföljder och summor

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Talföljd

Geometrisk talföljd

Formel

Exempel

Beräkna det $n$ :te värdet i talföljden

Geometrisk summa

Regel

Exempel

Beräkna den geometriska summan

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Ekonomi och matematik

Exempel

Beräkna det nnn:te värdet i talföljden

Regel

Exempel

Beräkna den geometriska summan

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Beräkna det $n$ :te värdet i talföljden