Expandera meny menu_open Minimera Gå till startsidan home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu
{{ courseTrack.displayTitle }} {{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

play_circle_outline
Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

play_circle_outline
Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

play_circle_outline

Formelsamling

Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

looks_two

Kurs 2

looks_3

Kurs 3

looks_4

Kurs 4

looks_5

Kurs 5

Logga in account_circle menu_open

Geometriska talföljder och summor

Begrepp

Talföljd

En talföljd är en ändlig eller oändlig följd av tal, sk. element. Talen kallas ofta a1,a_1, a2,a_2, a3a_3 osv. där den nedsänkta siffran kallas för index och anger vilken position i talföljden ett element har.
Regel

Geometrisk talföljd

En geometrisk talföljd byggs upp genom att varje element multipliceras med samma tal kk för att få nästa element. Talet kk kan t.ex. vara 2,2, så att varje tal i följden är dubbelt så stort som det förra.

geometrisk talföljd

Precis som i andra följder brukar första talet kallas a1,a_1, nästa a2a_2 osv.

geometrisk talföljd

Talet kk brukar kallas följdens kvot. Det heter så eftersom kk kan bestämmas genom att ta två intilliggande tal i följden och dividera dem: det senare delat på det föregående.

k=anan1k=\dfrac{a_n}{a_{n-1}}

Regel

Formel

Element a3a_3 ligger två steg bort från startvärdet a1,a_1, och därför ska a1a_1 multipliceras med kk två gånger för att ge a3.a_3. Samma resonemang kan användas för vilket ana_n som helst i följden: ana_n ligger n1n-1 steg bort från a1,a_1,a1a_1 multipliceras med kk precis så många gånger.

an=a1kn1a_n=a_1\cdot k^{n-1}

Uppgift


Beräkna det tolfte elementet i den oändliga geometriska talföljden 4,12,36,108, 4,\, 12,\, 36,\, 108,\ldots

Lösning
Vi börjar med att undersöka vad kvoten kk mellan ett element och det närmast föregående är. Eftersom vi får givet att talföljden är geometrisk och kvoten i en sådan är konstant räcker det med att dividera t.ex. de två första elementen: 124=3. \dfrac{12}{4}=3. Kvoten är alltså 33 och vi ska nu bestämma det tolfte elementet. Det första elementet, a1a_1, är känt vilket betyder att vi kan ta fram en formel för talföljden: an=a1kn1. a_n=a_1\cdot k^{n-1}. Vi sätter in a1=4,a_1=4, k=3k=3 och n=12.n=12.
an=a1kn1a_n=a_1\cdot k^{n-1}
a12=43121a_{12}=4\cdot 3^{12-1}
a12=4311a_{12}=4\cdot 3^{11}
a12=708588a_{12}=708\,588
Det tolfte elementet i talföljden är alltså 708588.708\,588.
info Visa lösning Visa lösning
Regel

Geometrisk summa

Summan av de nn första talen i en geometrisk talföljd kallas för en geometrisk summa. Den skrivs ofta:

sn=a+ak+ak2++akn1, s_n=a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1}, där aa är första talet, kk är kvoten mellan två intilliggande tal och nn är antalet termer. Ett exempel är följande geometriska summa som består av de fyra första elementen i den geometriska talföljden an=7001.5n1a_n=700 \cdot 1.5^{n-1}: 700+7001.5+7001.52+7001.53. 700+700\cdot 1.5 + 700\cdot 1.5^2 + 700\cdot 1.5^3. Man kan beräkna summan genom att addera termerna, en i taget. Alternativt, om man känner till värdena a,a, k,k, och nn kan man använda en formel.

Regel

info
a+ak++akn1=a(kn1)k1k1a+ak+ \ldots +ak^{n-1}=\dfrac{a\left(k^n-1\right)}{k-1} \qquad k \neq 1


Man kan motivera formeln med hjälp av en geometrisk summa där t.ex. n=4n=4:

s4=a+ak+ak2+ak3. s_4=a+ak+ak^2+ak^3. Om man multiplicerar ekvationen med kvoten kk får man en ny ekvation:

s4k=ak+ak2+ak3+ak4. s_4 \cdot k=ak+ak^2+ak^3+ak^4. Genom att subtrahera den första ekvationen från den andra kan man få bort ett antal termer från högerledet i ekvationen.

s4=a+ak+ak2+ak3(I)s4k=ak+ak2+ak3+ak4(II)\begin{array}{lc}s_4=a+ak+ak^2+ak^3 & \text{(I)}\\ s_4 \cdot k=ak+ak^2+ak^3+ak^4 & \text{(II)}\end{array}
s4=a+ak+ak2+ak3s4ks4=ak+ak2+ak3+ak4(a+ak+ak2+ak3)\begin{array}{l}s_4=a+ak+ak^2+ak^3 \\ s_4 \cdot k-{\color{#0000FF}{s_4}}=ak+ak^2+ak^3+ak^4-\left({\color{#0000FF}{a+ak+ak^2+ak^3}}\right) \end{array}
s4=a+ak+ak2+ak3s4ks4=ak+ak2+ak3+ak4aakak2ak3\begin{array}{l}s_4=a+ak+ak^2+ak^3 \\ s_4 \cdot k-s_4=ak+ak^2+ak^3+ak^4-a-ak-ak^2-ak^3 \end{array}
s4=a+ak+ak2+ak3s4ks4=ak4a\begin{array}{l}s_4=a+ak+ak^2+ak^3 \\ s_4 \cdot k-s_4=ak^4-a \end{array}

Nu kan man fokusera på den andra ekvationen och lösa ut s4.s_4.

s4ks4=ak4as_4 \cdot k-s_4=ak^4-a
s4(k1)=ak4as_4(k-1)=ak^4-a
s4=ak4ak1s_4=\dfrac{ak^4-a}{k-1}
s4=a(k41)k1s_4=\dfrac{a\left(k^4-1\right)}{k-1}


Men s4s_4 var ju från början definierad som a+ak+ak2+ak3.a+ak+ak^2+ak^3. Därför kan man skriva likheten

a+ak+ak2+ak3=a(k41)k1, a+ak+ak^2+ak^3=\dfrac{a\left(k^4-1\right)}{k-1}, vilket är samma sak som man får om man sätter in n=4n=4 i den generella formeln för summan. Motsvarande motivering kan också göras som ett generellt bevis för nn stycken termer.

Uppgift

Beräkna den geometriska summan 80+801.5+801.52+801.53. 80+80\cdot 1.5+80\cdot 1.5^2+80\cdot 1.5^3.

Lösning

Formeln för att beräkna en geometrisk summa är: a+ak+ak2++akn1=a(kn1)k1. a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1}=\dfrac{a\left(k^n-1\right)}{k-1}. Det första talet är a=80a=80 och kvoten mellan två intilliggande element är k=1.5.k=1.5. I formeln står nn för antalet termer och om vi räknar dessa ser vi att den består av 44 termer, så n=4n=4. Vi sätter in våra värden i formeln och förenklar.

sn=a(kn1)k1s_n=\dfrac{a\left(k^n-1\right)}{k-1}
s4=80(1.541)1.51s_{4}=\dfrac{80 \left(1.5^4-1\right)}{1.5-1}
s4=80(1.541)0.5s_{4}=\dfrac{80 \left(1.5^4-1\right)}{0.5}
s4=160(1.541)s_{4}=160 \left(1.5^4-1\right)
s4=650s_{4}=650
Summan är alltså lika med 650.650.
info Visa lösning Visa lösning
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward