{{ option.label }} add
menu_book {{ printedBook.name}}
arrow_left {{ state.menu.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
arrow_left {{ state.menu.current.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
Mathleaks
Använd offline
Expandera meny menu_open
Ekonomi och matematik

Geometriska talföljder och summor

{{ 'ml-article-collection-answers-hints-solutions' | message }}
tune
{{ topic.label }}
{{tool}}
{{ result.displayTitle }}
{{ result.subject.displayTitle }}
navigate_next

Kanaler

Direktmeddelanden

Begrepp

Talföljd

En talföljd är en ändlig eller oändlig följd av tal, sk. element. Talen kallas ofta a1, a2, a3 osv. där den nedsänkta siffran kallas för index och anger vilken position i talföljden ett element har.

Regel

Geometrisk talföljd

En geometrisk talföljd byggs upp genom att varje element multipliceras med samma tal k för att få nästa element. Talet k kan t.ex. vara 2, så att varje tal i följden är dubbelt så stort som det förra.

geometrisk talföljd

Precis som i andra följder brukar första talet kallas a1, nästa a2 osv.

geometrisk talföljd

Talet k brukar kallas följdens kvot. Det heter så eftersom k kan bestämmas genom att ta två intilliggande tal i följden och dividera dem: det senare delat på det föregående.

Regel

Formel

Element a3 ligger två steg bort från startvärdet a1, och därför ska a1 multipliceras med k två gånger för att ge a3. Samma resonemang kan användas för vilket som helst i följden: ligger n1 steg bort från a1,a1 multipliceras med k precis så många gånger.

Exempel

Beräkna det n:te värdet i talföljden

fullscreen

Beräkna det tolfte elementet i den oändliga geometriska talföljden
Visa Lösning expand_more
Vi börjar med att undersöka vad kvoten k mellan ett element och det närmast föregående är. Eftersom vi får givet att talföljden är geometrisk och kvoten i en sådan är konstant räcker det med att dividera t.ex. de två första elementen:
Kvoten är alltså 3 och vi ska nu bestämma det tolfte elementet. Det första elementet, a1, är känt vilket betyder att vi kan ta fram en formel för talföljden:
Vi sätter in a1=4, k=3 och n=12.
Det tolfte elementet i talföljden är alltså 708588.

Regel

Geometrisk summa

Summan av de n första talen i en geometrisk talföljd kallas för en geometrisk summa. Den skrivs ofta:

där a är första talet, k är kvoten mellan två intilliggande tal och n är antalet termer. Ett exempel är följande geometriska summa som består av de fyra första elementen i den geometriska talföljden :
700+7001.5+7001.52+7001.53.
Man kan beräkna summan genom att addera termerna, en i taget. Alternativt, om man känner till värdena a, k, och n kan man använda en formel.

Regel


Man kan motivera formeln med hjälp av en geometrisk summa där t.ex. n=4:

s4=a+ak+ak2+ak3.
Om man multiplicerar ekvationen med kvoten k får man en ny ekvation:
s4k=ak+ak2+ak3+ak4.
Genom att subtrahera den första ekvationen från den andra kan man få bort ett antal termer från högerledet i ekvationen.

Nu kan man fokusera på den andra ekvationen och lösa ut s4.

s4ks4=ak4a
s4(k1)=ak4a


Men s4 var ju från början definierad som a+ak+ak2+ak3. Därför kan man skriva likheten

vilket är samma sak som man får om man sätter in n=4 i den generella formeln för summan. Motsvarande motivering kan också göras som ett generellt bevis för n stycken termer.

Exempel

Beräkna den geometriska summan

fullscreen
Beräkna den geometriska summan
80+801.5+801.52+801.53.
Visa Lösning expand_more
Formeln för att beräkna en geometrisk summa är:
Det första talet är a=80 och kvoten mellan två intilliggande element är k=1.5. I formeln står n för antalet termer och om vi räknar dessa ser vi att den består av 4 termer, så n=4. Vi sätter in våra värden i formeln och förenklar.
Summan är alltså lika med 650.
arrow_left
arrow_right
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward
arrow_left arrow_right
close
Community