Geometriska talföljder och summor

Begrepp

Talföljd

En talföljd är en ändlig eller oändlig följd av tal, sk. element. Talen kallas ofta a1, a2, a3 osv. där den nedsänkta siffran kallas för index och anger vilken position i talföljden ett element har.

Regel

Geometrisk talföljd

En geometrisk talföljd byggs upp genom att varje element multipliceras med samma tal k för att få nästa element. Talet k kan t.ex. vara 2, så att varje tal i följden är dubbelt så stort som det förra.

Precis som i andra följder brukar första talet kallas a1, nästa a2 osv.

Talet k brukar kallas följdens kvot. Det heter så eftersom k kan bestämmas genom att ta två intilliggande tal i följden och dividera dem: det senare delat på det föregående.

Regel

Formel

Element a3 ligger två steg bort från startvärdet a1, och därför ska a1 multipliceras med k två gånger för att ge a3. Samma resonemang kan användas för vilket

a_{n}

som helst i följden:

a_{n}

ligger n−1 steg bort från a1, så a1 multipliceras med k precis så många gånger.

Beräkna det n:te värdet i talföljden

fullscreen

Beräkna det tolfte elementet i den oändliga geometriska talföljden

Visa Lösning

Vi börjar med att undersöka vad kvoten k mellan ett element och det närmast föregående är. Eftersom vi får givet att talföljden är geometrisk och kvoten i en sådan är konstant räcker det med att dividera t.ex. de två första elementen:

Kvoten är alltså 3 och vi ska nu bestämma det tolfte elementet. Det första elementet, a1, är känt vilket betyder att vi kan ta fram en formel för talföljden:

Vi sätter in a1=4, k=3 och n=12.

a_{n} = a_{1} \cdot k^{n - 1}

SubstituteValues

Sätt in värden

a_{12} = 4 \cdot 3^{12 - 1}

SubTerm

Förenkla termer

a_{12} = 4 \cdot 3^{11}

UseCalc

Slå in på räknare

a_{12} = 708588

Det tolfte elementet i talföljden är alltså 708588.

Regel

Geometrisk summa

Summan av de n första talen i en geometrisk talföljd kallas för en geometrisk summa. Den skrivs ofta:

där a är första talet, k är kvoten mellan två intilliggande tal och n är antalet termer. Ett exempel är följande geometriska summa som består av de fyra första elementen i den geometriska talföljden

a_{n} = 700 \cdot 1 . 5^{n - 1}

:

700+700⋅1.5+700⋅1.52+700⋅1.53.

Man kan beräkna summan genom att addera termerna, en i taget. Alternativt, om man känner till värdena a, k, och n kan man använda en formel.

Regel

a + a k + \dots + a k^{n - 1} = \frac{a ( k ^{n} - 1 )}{k - 1} k \neq = 1

Man kan motivera formeln med hjälp av en geometrisk summa där t.ex. n=4:

s4=a+ak+ak2+ak3.

Om man multiplicerar ekvationen med kvoten k får man en ny ekvation:

s4⋅k=ak+ak2+ak3+ak4.

Genom att subtrahera den första ekvationen från den andra kan man få bort ett antal termer från högerledet i ekvationen.

s_{4} = a + a k + a k^{2} + a k^{3} s_{4} \cdot k = a k + a k^{2} + a k^{3} + a k^{4} (I) (II)

SysEqnSub

(II): Subtrahera (I)

s_{4} = a + a k + a k^{2} + a k^{3} s_{4} \cdot k - s_{4} = a k + a k^{2} + a k^{3} + a k^{4} - (a + a k + a k^{2} + a k^{3})

RemoveParSigns

(II): Ta bort parentes & byt tecken

s_{4} = a + a k + a k^{2} + a k^{3} s_{4} \cdot k - s_{4} = a k + a k^{2} + a k^{3} + a k^{4} - a - a k - a k^{2} - a k^{3}

SimpTerms

(II): Förenkla termer

s_{4} = a + a k + a k^{2} + a k^{3} s_{4} \cdot k - s_{4} = a k^{4} - a

Nu kan man fokusera på den andra ekvationen och lösa ut s4.

s4⋅k−s4=ak4−a

FactorOut

Bryt ut s4

s4(k−1)=ak4−a

DivEqn

$VL / (k - 1) = HL / (k - 1)$

s_{4} = \frac{a k ^{4} - a}{k - 1}

FactorOut

Bryt ut a

s_{4} = \frac{a ( k ^{4} - 1 )}{k - 1}

Men s4 var ju från början definierad som a+ak+ak2+ak3. Därför kan man skriva likheten

vilket är samma sak som man får om man sätter in n=4 i den generella formeln för summan. Motsvarande motivering kan också göras som ett generellt bevis för n stycken termer.

Beräkna den geometriska summan

fullscreen

Beräkna den geometriska summan

80+80⋅1.5+80⋅1.52+80⋅1.53.

Visa Lösning

Formeln för att beräkna en geometrisk summa är:

Det första talet är a=80 och kvoten mellan två intilliggande element är k=1.5. I formeln står n för antalet termer och om vi räknar dessa ser vi att den består av 4 termer, så n=4. Vi sätter in våra värden i formeln och förenklar.

s_{n} = \frac{a ( k ^{n} - 1 )}{k - 1}

SubstituteValues

Sätt in värden

s_{4} = \frac{8 0 ( 1 . 5 ^{4} - 1 )}{1 . 5 - 1}

SubTerm

Förenkla termer

s_{4} = \frac{8 0 ( 1 . 5 ^{4} - 1 )}{0 . 5}

SimpQuot

Förenkla kvot

s_{4} = 160 (1 . 5^{4} - 1)

UseCalc

Slå in på räknare

s_{4} = 650

Summan är alltså lika med 650.

Geometriska talföljder och summor

Begrepp

Talföljd

Regel

Geometrisk talföljd

Regel

Formel

Exempel

Beräkna det n:te värdet i talföljden

Regel

Geometrisk summa

Regel

Exempel

Beräkna den geometriska summan