mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
Expandera meny menu_open Minimera
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
Ekonomi och matematik

Geometriska talföljder och summor

Begrepp

Talföljd

En talföljd är en ändlig eller oändlig följd av tal, sk. element. Talen kallas ofta osv. där den nedsänkta siffran kallas för index och anger vilken position i talföljden ett element har.
Regel

Geometrisk talföljd

En geometrisk talföljd byggs upp genom att varje element multipliceras med samma tal för att få nästa element. Talet kan t.ex. vara så att varje tal i följden är dubbelt så stort som det förra.

geometrisk talföljd

Precis som i andra följder brukar första talet kallas nästa osv.

geometrisk talföljd

Talet brukar kallas följdens kvot. Det heter så eftersom kan bestämmas genom att ta två intilliggande tal i följden och dividera dem: det senare delat på det föregående.

Regel

Formel

Element ligger två steg bort från startvärdet och därför ska multipliceras med två gånger för att ge Samma resonemang kan användas för vilket som helst i följden: ligger steg bort från multipliceras med precis så många gånger.

fullscreen
Uppgift


Beräkna det tolfte elementet i den oändliga geometriska talföljden

Visa Lösning
Lösning
Vi börjar med att undersöka vad kvoten mellan ett element och det närmast föregående är. Eftersom vi får givet att talföljden är geometrisk och kvoten i en sådan är konstant räcker det med att dividera t.ex. de två första elementen: Kvoten är alltså och vi ska nu bestämma det tolfte elementet. Det första elementet, , är känt vilket betyder att vi kan ta fram en formel för talföljden: Vi sätter in och
Det tolfte elementet i talföljden är alltså
Regel

Geometrisk summa

Summan av de första talen i en geometrisk talföljd kallas för en geometrisk summa. Den skrivs ofta:

där är första talet, är kvoten mellan två intilliggande tal och är antalet termer. Ett exempel är följande geometriska summa som består av de fyra första elementen i den geometriska talföljden : Man kan beräkna summan genom att addera termerna, en i taget. Alternativt, om man känner till värdena och kan man använda en formel.

Regel


Man kan motivera formeln med hjälp av en geometrisk summa där t.ex. :

Om man multiplicerar ekvationen med kvoten får man en ny ekvation:

Genom att subtrahera den första ekvationen från den andra kan man få bort ett antal termer från högerledet i ekvationen.

Nu kan man fokusera på den andra ekvationen och lösa ut


Men var ju från början definierad som Därför kan man skriva likheten

vilket är samma sak som man får om man sätter in i den generella formeln för summan. Motsvarande motivering kan också göras som ett generellt bevis för stycken termer.

fullscreen
Uppgift

Beräkna den geometriska summan

Visa Lösning
Lösning

Formeln för att beräkna en geometrisk summa är: Det första talet är och kvoten mellan två intilliggande element är I formeln står för antalet termer och om vi räknar dessa ser vi att den består av termer, så . Vi sätter in våra värden i formeln och förenklar.

Summan är alltså lika med
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward