Geometriska talföljder och summor

Begrepp

Talföljd

En talföljd är en ändlig eller oändlig följd av tal, sk. element. Talen kallas ofta

a_{1},

a_{2},

a_{3}

osv. där den nedsänkta siffran kallas för index och anger vilken position i talföljden ett element har.

Regel

Geometrisk talföljd

En geometrisk talföljd byggs upp genom att varje element multipliceras med samma tal $k$ för att få nästa element. Talet $k$ kan t.ex. vara $2,$ så att varje tal i följden är dubbelt så stort som det förra.

Precis som i andra följder brukar första talet kallas $a_{1},$ nästa $a_{2}$ osv.

Talet $k$ brukar kallas följdens kvot. Det heter så eftersom $k$ kan bestämmas genom att ta två intilliggande tal i följden och dividera dem: det senare delat på det föregående.

$k = \frac{a _{n}}{a _{n - 1}}$

Regel

Formel

Element $a_{3}$ ligger två steg bort från startvärdet $a_{1},$ och därför ska $a_{1}$ multipliceras med $k$ två gånger för att ge $a_{3} .$ Samma resonemang kan användas för vilket $a_{n}$ som helst i följden: $a_{n}$ ligger $n - 1$ steg bort från $a_{1},$ så $a_{1}$ multipliceras med $k$ precis så många gånger.

$a_{n} = a_{1} \cdot k^{n - 1}$

Beräkna det $n$ :te värdet i talföljden

fullscreen

Uppgift

Beräkna det tolfte elementet i den oändliga geometriska talföljden $4, 12, 36, 108, \dots$

Visa Lösning

Lösning

Vi börjar med att undersöka vad kvoten

k

mellan ett element och det närmast föregående är. Eftersom vi får givet att talföljden är geometrisk och kvoten i en sådan är konstant räcker det med att dividera t.ex. de två första elementen:

\frac{1 2}{4} = 3 .

Kvoten är alltså

3

och vi ska nu bestämma det tolfte elementet. Det första elementet,

a_{1}

, är känt vilket betyder att vi kan ta fram en formel för talföljden:

a_{n} = a_{1} \cdot k^{n - 1} .

Vi sätter in

a_{1} = 4,

k = 3

och

n = 12 .

a_{n} = a_{1} \cdot k^{n - 1}

SubstituteValuesSätt in värden

a_{12} = 4 \cdot 3^{12 - 1}

SubTermFörenkla termer

a_{12} = 4 \cdot 3^{11}

UseCalcSlå in på räknare

a_{12} = 708588

Det tolfte elementet i talföljden är alltså

708588 .

Regel

Geometrisk summa

Summan av de $n$ första talen i en geometrisk talföljd kallas för en geometrisk summa. Den skrivs ofta:

$s_{n} = a + a k + a k^{2} + \dots + a k^{n - 1},$ där $a$ är första talet, $k$ är kvoten mellan två intilliggande tal och $n$ är antalet termer. Ett exempel är följande geometriska summa som består av de fyra första elementen i den geometriska talföljden $a_{n} = 700 \cdot 1 . 5^{n - 1}$ : $700 + 700 \cdot 1.5 + 700 \cdot 1 . 5^{2} + 700 \cdot 1 . 5^{3} .$ Man kan beräkna summan genom att addera termerna, en i taget. Alternativt, om man känner till värdena $a,$ $k,$ och $n$ kan man använda en formel.

Regel

a + a k + \dots + a k^{n - 1} = \frac{a ( k ^{n} - 1 )}{k - 1} k \neq = 1

Man kan motivera formeln med hjälp av en geometrisk summa där t.ex. $n = 4$ :

$s_{4} = a + a k + a k^{2} + a k^{3} .$ Om man multiplicerar ekvationen med kvoten $k$ får man en ny ekvation:

$s_{4} \cdot k = a k + a k^{2} + a k^{3} + a k^{4} .$ Genom att subtrahera den första ekvationen från den andra kan man få bort ett antal termer från högerledet i ekvationen.

s_{4} = a + a k + a k^{2} + a k^{3} s_{4} \cdot k = a k + a k^{2} + a k^{3} + a k^{4} (I) (II)

SysEqnSub

(II):

Subtrahera

(I)

s_{4} = a + a k + a k^{2} + a k^{3} s_{4} \cdot k - s_{4} = a k + a k^{2} + a k^{3} + a k^{4} - (a + a k + a k^{2} + a k^{3})

RemoveParSigns

(II):

Ta bort parentes & byt tecken

s_{4} = a + a k + a k^{2} + a k^{3} s_{4} \cdot k - s_{4} = a k + a k^{2} + a k^{3} + a k^{4} - a - a k - a k^{2} - a k^{3}

SimpTerms

(II):

Förenkla termer

s_{4} = a + a k + a k^{2} + a k^{3} s_{4} \cdot k - s_{4} = a k^{4} - a

Nu kan man fokusera på den andra ekvationen och lösa ut $s_{4} .$

s_{4} \cdot k - s_{4} = a k^{4} - a

FactorOutBryt ut

s_{4}

s_{4} (k - 1) = a k^{4} - a

DivEqn

VL / (k - 1) = HL / (k - 1)

s_{4} = \frac{a k ^{4} - a}{k - 1}

FactorOutBryt ut

a

s_{4} = \frac{a ( k ^{4} - 1 )}{k - 1}

Men $s_{4}$ var ju från början definierad som $a + a k + a k^{2} + a k^{3} .$ Därför kan man skriva likheten

$a + a k + a k^{2} + a k^{3} = \frac{a ( k ^{4} - 1 )}{k - 1},$ vilket är samma sak som man får om man sätter in $n = 4$ i den generella formeln för summan. Motsvarande motivering kan också göras som ett generellt bevis för $n$ stycken termer.

Beräkna den geometriska summan

fullscreen

Uppgift

Beräkna den geometriska summan $80 + 80 \cdot 1.5 + 80 \cdot 1 . 5^{2} + 80 \cdot 1 . 5^{3} .$

Visa Lösning

Lösning

Formeln för att beräkna en geometrisk summa är: $a + a k + a k^{2} + \dots + a k^{n - 1} = \frac{a ( k ^{n} - 1 )}{k - 1} .$ Det första talet är $a = 80$ och kvoten mellan två intilliggande element är $k = 1.5 .$ I formeln står $n$ för antalet termer och om vi räknar dessa ser vi att den består av $4$ termer, så $n = 4$ . Vi sätter in våra värden i formeln och förenklar.

s_{n} = \frac{a ( k ^{n} - 1 )}{k - 1}

SubstituteValuesSätt in värden

s_{4} = \frac{8 0 ( 1 . 5 ^{4} - 1 )}{1 . 5 - 1}

SubTermFörenkla termer

s_{4} = \frac{8 0 ( 1 . 5 ^{4} - 1 )}{0 . 5}

SimpQuotFörenkla kvot

s_{4} = 160 (1 . 5^{4} - 1)

UseCalcSlå in på räknare

s_{4} = 650

Summan är alltså lika med

650 .

Geometriska talföljder och summor

Talföljd

Geometrisk talföljd

Formel

Exempel

Beräkna det $n$ :te värdet i talföljden

Geometrisk summa

Regel

Exempel

Beräkna den geometriska summan

Exempel

Beräkna det n:te värdet i talföljden

Regel

Exempel

Beräkna den geometriska summan

Beräkna det $n$ :te värdet i talföljden