2b
Kurs 2b Visa detaljer
10. Exponentialekvationer
Lektion
Övningar
Tester
Kapitel 2
10. 

Exponentialekvationer

Denna lektion fokuserar på att förklara och lösa exponentialekvationer, där variabeln finns i exponenten i en potens. Den beskriver hur man kan använda logaritmer för att lösa dessa ekvationer, både med basen 10 och med godtycklig bas. Dessutom förklaras hur exponentialfunktioner kan användas för att beskriva procentuella förändringar i olika sammanhang, som mängden av ett ämne som sönderfaller eller antalet utrotningshotade djur. Exempel ges på hur man kan ställa upp en exponentialfunktion för att beskriva en specifik situation, som antalet tofspingviner på en ö nära Nya Zeeland. Lektionenen är användbar för studenter som vill förstå och tillämpa dessa matematiska koncept.
Visa mer expand_more
Inställningar & verktyg för lektion
6 sidor teori
32 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Exponentialekvationer
Sida av 6

En ekvation där variabeln finns i en exponent kallas för exponentialekvation.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

  • Exponentialekvation
  • Lösa exponentialekvationer med logaritmer
  • Exponentialfunktioner som modeller
Koncept

Exponentialekvation

Exponentialekvationer är ekvationer på formen

Exponentiella ekvationer kan lösas algebraiskt, grafiskt eller numeriskt.
Metod

Lösa exponentialekvationer med logaritmer

För att lösa exponentialekvationer algebraiskt använder man sig av logaritmer.

Exponentialekvationer med basen

Följande metod används för att lösa exponentialekvationer där potensen har basen exempelvis

1
Lös ut tiopotensen
expand_more

Lös ut potensen med den okända variabeln så att den står ensam i antingen höger- eller vänsterledet.

2
Logaritmera båda led
expand_more
Genom att ta logaritmen av båda led och förenkla får man variabeln ensam i ett led.
Detta är den exakta lösningen för ekvationen, men om inte det efterfrågas kan man få ett ungefärligt värde genom att slå in på räknare:

Generella exponentialekvationer

Exponentialekvationer med godtycklig bas, t.ex. kan lösas med logaritmlagen för potenser.

1
Lös ut potensen med den okända variabeln
expand_more
Lös ut potensen med den okända variabeln så att den står ensam i något led.
2
Logaritmera båda led
expand_more
Ta logaritmen av vänster- och högerledet.
3
Flytta ner exponenten
expand_more
Flytta ner exponenten framför logaritmen.
4
Lös ut variabeln
expand_more
Lös ut variabeln genom att dividera med logaritmen som finns i det ledet.
Detta är svaret på exakt form, och om det slås in på en räknare får man det ungefärliga svaret
Exempel

Lös exponentialekvationen med logaritmer

Lös ekvationen Avrunda svaret till närmaste tiondel.

Ledtråd

Isolera potensen. Ta sedan logaritmer av båda sidor.

Lösning

För att lösa exponentialekvationer använder vi logaritmer. Men för att kunna göra det måste vi först lösa ut
Nu när potensen står ensam i vänsterledet kan vi lösa ut genom att logaritmera båda leden och sedan använda logaritmlagen för potenser.
Ekvationens lösning är alltså
Koncept

Exponentialfunktioner som modeller

Exponentialfunktioner kan användas för att beskriva procentuella förändringar. Då tolkas koefficienten som startvärdet och basen som en förändringsfaktor. Grafiskt kan tolkas som funktionsvärdet där grafen skär axeln.

Allmän exponentialfunktion
Genom att tolka och identifiera startvärde och förändringsfaktor kan många processer i naturen och vardagslivet beskrivas med exponentialfunktioner, t.ex. mängden av ett ämne som sönderfaller, pengar på banken och temperaturen hos något som svalnar. Om dessa fenomen beskrivs med exponentialfunktioner kan man göra förutsägelser om hur de kommer se ut i framtiden, men också hur de kan ha sett ut tidigare.
Exempel

Ställ upp en exponentialfunktion

På en ö nära Nya Zeeland bor idag tofspingviner. Tofspingvinen är utrotningshotad, och man beräknar att antalet på ön kommer att minska med varje år. Ställ upp en exponentialfunktion som beskriver hur antalet tofspingviner, kommer att minska, och låt vara antal år efter idag.

Ledtråd

Hitta startvärdet och förändringsfaktorn. Sätt sedan in dem i den exponentiella modellen.

Lösning

En exponentialfunktion kan skrivas på formen
där är startvärdet och är förändringsfaktorn. Vårt startvärde är antalet tofspingviner idag, dvs. Detta ger
En minskning på innebär att det varje år finns kvar av pingvinerna från föregående år. Förändringsfaktorn är alltså vilket ger oss funktionen
där är antal tofspingviner år efter idag.
Exponentialekvationer
Övningar
Laddar innehåll