Exponentialekvationer: Med belysande grafiska exempel

Videolektion

Mathleaks

Minispelare aktiv

En ekvation där variabeln sitter i exponenten i en potens, t.ex.

4^{x} = 9,

kallas för exponentialekvation.

Metod

Lösa exponentialekvationer med logaritmer

För att lösa exponentialekvationer algebraiskt använder man sig av logaritmer.

Metod

Exponentialekvationer med basen 10

Följande metod används för att lösa exponentialekvationer där potensen har basen 10, exempelvis

2 \cdot 1 0^{x} = 62 .

Lös ut tiopotensen

Lös ut potensen med den okända variabeln så att den står ensam i antingen höger- eller vänsterledet.

2 \cdot 1 0^{x} = 62

DivEqn

$VL / 2 = HL / 2$

1 0^{x} = 31

Logaritmera båda led

Genom att ta logaritmen av båda led och förenkla får man variabeln ensam i ett led.

1 0^{x} = 31

LgEqn

$l g (VL) = l g (HL)$

l g (1 0^{x}) = l g (31)

LgId

$l g (1 0^{a}) = a$

x = l g (31)

Detta är den exakta lösningen för ekvationen, men om inte det efterfrågas kan man få ett ungefärligt värde genom att slå in

l g (31)

på räknare:

l g (31) \approx 1.49 .

Metod

Generella exponentialekvationer

Exponentialekvationer med godtycklig bas, t.ex.

2^{x} - 1 = 98,

kan lösas med logaritmlagen för potenser.

Lös ut potensen med den okända variabeln

Lös ut potensen med den okända variabeln så att den står ensam i något led.

2^{x} - 1 = 98

AddEqn

$VL + 1 = HL + 1$

2^{x} = 99

Logaritmera båda led

Ta logaritmen av vänster- och högerledet.

2^{x} = 99

LgEqn

$l g (VL) = l g (HL)$

l g (2^{x}) = l g (99)

Flytta ner exponenten

Flytta ner exponenten framför logaritmen.

l g (2^{x}) = l g (99)

LgPow

$l g (a^{b}) = b \cdot l g (a)$

x \cdot l g (2) = l g (99)

Lös ut variabeln

Lös ut variabeln genom att dividera med logaritmen som finns i det ledet.

x \cdot l g (2) = l g (99)

DivEqn

$VL / l g (2) = HL / l g (2)$

x = \frac{l g ( 9 9 )}{l g ( 2 )}

Detta är svaret på exakt form, och om det slås in på en räknare får man det ungefärliga svaret

x \approx 6.63 .

Lös exponentialekvationen med logaritmer

fullscreen

Lös ekvationen $250 \cdot 1 . 2^{x} = 500 .$

Visa Lösning

För att lösa exponentialekvationer använder vi logaritmer. Men för att kunna göra det måste vi först lösa ut $1 . 2^{x} .$

250 \cdot 1 . 2^{x} = 500

DivEqn

$VL / 250 = HL / 250$

1 . 2^{x} = 2

Nu när potensen står ensam i vänsterledet kan vi lösa ut

x

genom att logaritmera båda leden och sedan använda logaritmlagen för potenser.

1 . 2^{x} = 2

LgEqn

$l g (VL) = l g (HL)$

l g (1 . 2^{x}) = l g (2)

LgPow

$l g (a^{b}) = b \cdot l g (a)$

x \cdot l g (1.2) = l g (2)

DivEqn

$VL / l g (1.2) = HL / l g (1.2)$

x = \frac{l g ( 2 )}{l g ( 1 . 2 )}

UseCalc

Slå in på räknare

x = 3.80178 \dots

RoundDec

Avrunda till $1$ decimal(er)

x \approx 3.8

Ekvationens lösning är alltså $x \approx 3.8 .$

Begrepp

Exponentialfunktioner som modeller

Exponentialfunktioner kan användas för att beskriva procentuella förändringar. Då tolkas koefficienten $C$ som startvärdet och basen $a$ som en förändringsfaktor. Grafiskt kan $C$ tolkas som funktionsvärdet där grafen skär $y$ -axeln.

Genom att tolka och identifiera startvärde och förändringsfaktor kan många processer i naturen och vardagslivet beskrivas med exponentialfunktioner, t.ex. mängden av ett ämne som sönderfaller, pengar på banken och temperaturen hos något som svalnar. Om dessa fenomen beskrivs med exponentialfunktioner kan man göra förutsägelser om hur de kommer se ut i framtiden, men också hur de kan ha sett ut tidigare.

Ställ upp en exponentialfunktion

fullscreen

På en ö nära Nya Zeeland bor idag 1250 tofspingviner. Tofspingvinen är utrotningshotad, och man beräknar att antalet på ön kommer att minska med 11.5 % varje år. Ställ upp en exponentialfunktion som beskriver hur antalet tofspingviner, $y,$ kommer att minska, och låt $x$ vara antal år efter idag.

Visa Lösning

En exponentialfunktion kan skrivas på formen

y = C \cdot a^{x},

där

C

är startvärdet och

a

är förändringsfaktorn. Vårt startvärde är antalet tofspingviner idag, dvs.

C = 1250 .

Detta ger

y = 1250 \cdot a^{x} .

En minskning på

11.5 %

innebär att det varje år finns kvar

100 - 11.5 = 88.5 %

av pingvinerna från föregående år. Förändringsfaktorn är alltså

a = 0.885

vilket ger oss funktionen

y = 1250 \cdot 0.88 5^{x},

där

y

är antal tofspingviner

x

år efter idag.

{{ article.displayTitle }}

Mathleaks

Lösa exponentialekvationer med logaritmer

Exponentialekvationer med basen 10

Generella exponentialekvationer

Exempel

Lös exponentialekvationen med logaritmer

Exponentialfunktioner som modeller

Exempel

Ställ upp en exponentialfunktion

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}