6. Deriveringsregler för exponentialfunktioner
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 3
6.
Deriveringsregler för exponentialfunktioner
Innehållet handlar om deriveringsregler för exponentialfunktioner. Den förklarar hur man kan derivera olika former av exponentialfunktioner, inklusive de med basen e. Det framhävs att derivatan av en exponentialfunktion på formen e^x är densamma som funktionen själv. Detta illustreras med grafer som visar att funktionen och dess derivata sammanfaller när basen är e. Sidan förklarar också hur man kan använda derivatans definition för att visa varför detta är fallet. Dessutom beskrivs hur man kan derivera funktioner på formen a^x, där a är något annat än e, genom att skriva om basen a enligt ett visst samband och sedan använda deriveringsreglerna för exponentialfunktioner med basen e.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 8 sidor teori |
| | 14 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Deriveringsregler för exponentialfunktioner
Sida av 8
En exponentialfunktion som står på formen f(x)=a^x har i de flesta fall en derivata som inte är lika med funktionen själv. Det finns dock ett undantag och det är när funktionens bas är lika med talet e, dvs. ungefär 2,72. Då är derivatan och funktionen samma för alla x. Den blå grafen visar funktionen f(x)=a^x medan den röda visar derivatan f'(x). Väljer man basen a till e ser man att funktionens och derivatans graf sammanfaller.
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Derivatan av e^x
- Derivatan av e^(kx)
- Derivatan av a^x
- Derivatan av a^(kx)
Förkunskaper
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Derivatan av e^x
Exponentialfunktionen f(x)=e^x är sin egen derivata.
Härledning
D(e^x) = e^xFör att visa varför derivatan till e^x är e^x kan man använda derivatans definition.
f'(x) =lim _(h → 0)f(x+h) - f(x)/h
SubstituteII
f(x+h)= e^(x+h) och f(x)= e^x
f'(x) = lim _(h → 0) e^(x+h) - e^x/h
SumInExponent
a^(b+c)=a^b*a^c
f'(x) = lim _(h → 0) e^x * e^h - e^x/h
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
f'(x) = lim _(h → 0) e^x * e^h- e^x* 1/h
FactorOut
Bryt ut e^x
f'(x) = lim _(h → 0) e^x(e^h - 1)/h
MovePartNumLeft
a* b/c=a*b/c
f'(x) = lim _(h → 0) (e^x * e^h - 1/h)
Eftersom e^x inte påverkas av att h går mot 0 kan man placera e^x utanför gränsvärdet: f'(x) = e^x * lim _(h → 0) e^h - 1/h. Man kan visa att gränsvärdet lim _(h → 0) e^h - 1h är lika med 1 (detta är ett så kallat standardgränsvärde). Det medför att f'(x)=e^x* 1=e^x.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Derivatan av e^(kx)
Derivatan av en exponentialfunktion på formen f(x)=e^(kx) är lika med funktionsuttrycket multiplicerat med koefficienten framför x.
Härledning
D(e^(kx)) = ke^(kx)Man kan visa denna derivata med hjälp av derivatans definition:
f'(x)=lim_(h→ 0)f(x+h)-f(x)/h.
Uttrycket f(x+h) får vi genom att ersätta x med x+h i funktionsuttrycket.
f'(x) =lim _(h → 0)f(x+h) - f(x)/h
SubstituteII
f(x+h)= e^(k(x+h)) och f(x)= e^(kx)
f'(x) = lim _(h → 0) e^(k(x+h)) - e^(kx)/h
Distr
Multiplicera in k
f'(x) = lim _(h → 0) e^(kx+kh) - e^(kx)/h
SumInExponent
a^(b+c)=a^b*a^c
f'(x) = lim _(h → 0) e^(kx) * e^(kh) - e^(kx)/h
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
f'(x) = lim _(h → 0) e^(kx) * e^(kh) - e^(kx)* 1/h
FactorOut
Bryt ut e^(kx)
f'(x) = lim _(h → 0) e^(kx)(e^(kh) - 1)/h
MovePartNumLeft
a* b/c=a*b/c
f'(x) = lim _(h → 0)( e^(kx) * e^(kh) - 1/h)
Eftersom e^(kx) inte innehåller något h påverkas inte denna faktor av att h går mot 0. Man kan därför lyfta ut det från gränsvärdet, vilket ger f'(x) = e^(kx) * lim _(h → 0) e^(kh) - 1/h. Man kan visa att gränsvärdet lim _(h → 0) e^(kh) - 1h är lika med k (detta är ett så kallat standardgränsvärde). Det medför att f'(x)=e^(kx)* k=ke^(kx).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Derivera exponentialfunktioner med bas e
Derivera följande funktioner.
a f(x)=e^x
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["e"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"f'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["e^x"]}}
b g(x)=e^(6x)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["e"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"g'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["6e^{6x}"]}}
Lösning
a Eftersom derivatan av e^x alltid är sin egen derivata är alltså
f'(x)=e^x.
b Funktionen g(x)=e^(6x) är på formen e^(kx) och eftersom D(e^(kx))=ke^(kx) multiplicerar vi funktionen med koefficienten 6 för att få derivatan:
g'(x)=6e^(6x).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Derivatan av a^x
Derivatan till exponentialfunktioner på formen f(x)=a^x, dvs. när a är något annat än talet e, är funktionsuttrycket multiplicerat med ln(a).
Härledning
D(a^x ) = a^x * ln(a)För att visa varför regeln gäller kan man skriva om basen a i exponentialfunktionen f(x)=a^x enligt sambandet a=e^(ln(a)). Sedan använder man deriveringsreglerna för exponentialfunktioner med basen e.
Uttrycken a^x och e^(ln(a)* x) är alltså ekvivalenta och man kan nu använda deriveringsregeln D(e^(kx))=ke^(kx) för att derivera a^x. Därefter skrivs e^(ln(a)) om till a igen.
f(x)= e^(ln(a)* x)
Derive
Derivera funktion
f'(x) =D(e^(ln(a)* x))
DeriveECo
D( e^(kx)) = ke^(kx)
f'(x) =ln(a)* e^(ln(a)* x)
ProdInExponent
a^(b* c)=(a^b)^c
f'(x) =ln(a)* (e^(ln(a)))^x
LnIdII
e^(ln(a))= a
f'(x) =ln(a)* a^x
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Derivatan av a^(kx)
Funktioner på formen f(x)=a^(kx) deriveras på nästan samma sätt som f(x)=a^x. Men utöver att multiplicera funktionsuttrycket med ln(a) multipliceras det även med koefficienten k.
Härledning
D(a^(kx)) = a^(kx)* k * ln(a)För att visa varför regeln gäller kan man skriva om basen a i exponentialfunktionen f(x)=a^(kx) enligt a=e^(ln(a)). Sedan använder man deriveringsreglerna för exponentialfunktioner med basen e.
f(x)=a^(kx)
NumberToBaseE
a = e^(ln(a))
f(x)=(e^(ln(a)))^(kx)
PowPow
(a^b)^c=a^(b* c)
f(x)=e^(ln(a)* k* x)
Uttrycken a^(kx) och e^(ln(a)* k * x) är alltså ekvivalenta och man kan nu använda regeln D( e^(kx)) = ke^(kx).
f(x)= e^(ln(a)* k * x)
Derive
Derivera funktion
f'(x) =D(e^(ln(a)* k * x))
DeriveECo
D( e^(kx)) = ke^(kx)
f'(x) =ln(a) * k * e^(ln(a)* k * x)
ProdInExponent
a^(b* c)=(a^b)^c
f'(x) =ln(a)* k* (e^(ln(a)))^(kx)
LnIdII
e^(ln(a))= a
f'(x) =ln(a)* k* a^(kx)
RearrangeFac
Omarrangera faktorer
f'(x) = a^(kx) * k * ln(a)
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Derivera exponentialfunktioner med generell bas
Derivera följande funktioner.
a f(x)=5^x
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["e"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"f'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["5^x * \\ln {5}"]}}
b g(x)=5^(2x)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["e"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"g'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["5^{2x} *2* \\ln {5}"]}}
Lösning
a Vi kan derivera f(x) = 5^x med hjälp av regeln D(a^x)=a^x* ln(a). Vi multiplicerar alltså funktionen med den naturliga logaritmen av basen 5. Derivatan blir då
f'(x)=5^x* ln(5).
b Funktionen g(x)=5^(2x) skiljer sig från f(x) genom att x har koefficienten 2. Vi använder därför deriveringsregeln D(a^(kx))=a^(kx)* k * ln(a) och multiplicerar funktionen med både 2 och ln(5):
g'(x)=5^(2x) * 2 * ln(5).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Träna på derivator av exponentialfunktioner
Använd reglerna för derivering av exponentialfunktioner för att avgöra vilket alternativ som är derivatan av den givna funktionen.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Deriveringsregler för exponentialfunktioner
Uppgifter
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"y'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["e^x"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"f'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["2e^{2x}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"g'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["15e^{3x}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"h'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["e^{7x}"]}}
security
report
code
security
report
code
Deriverar vi en exponentialfunktion på formen y=e^x blir derivatan samma som funktionen. Alltså blir y'(x)=e^x.
När funktionsuttrycket är e^(kx) måste vi multiplicera funktionen med koefficienten till x, här 2, för att beräkna derivatan. Exponenten ändras inte efter deriveringen.
Även här deriverar vi enligt D( e^(kx)) = ke^(kx). Koefficienten 5 hänger bara med och multipliceras med derivatan 3e^(3x).
Vi skriver om bråket som en multiplikation mellan en koefficient och en potens och deriverar på samma sätt.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"f'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["e^x-14x"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"g'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["4e^{4x}+2x^{-2}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"h'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{e^{x}}{5}"]}}
security
report
code
security
report
code
e^x är sin egen derivata och 7x^2 deriveras med reglerna för att derivera en potensfunktion.
e^(4x) deriveras genom att multiplicera e^(4x) med koefficienten till x, dvs. 4. För att derivera 2x skriver vi först om bråket.
Om man vill kan man stanna här. Alternativt kan vi skriva om den sista termen som ett bråk.
Vi skriver om bråket och kan därefter derivera enligt regeln D( ae^x) = a* e^x. Kom ihåg att e är en konstant, så derivatan av den är 0.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"y'=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["3^x\\cdot\\ln(3)"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"y'=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["5^{2x} \\cdot 2 \\cdot \\ln(5)"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"y'=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["28 \\cdot 3^{4x} \\cdot \\ln(3)"]}}
security
report
code
security
report
code
När man deriverar exponentialfunktioner på formen y=a^x så ska potensen multipliceras med naturliga logaritmen av potensens bas, här 3.
Vi skulle kunna slå in ln(3) på räknaren, men eftersom vi ska svara exakt behåller vi uttrycket som det ser ut. Alltså är y'=3^x * ln(3).
Nu har x i exponenten en koefficient, dvs. funktionen står på formen a^(kx). När vi deriverar måste vi multiplicera potensen med både naturliga logaritmen av basen, dvs. ln(5), och med koefficienten till x som är 2.
Högerledet går inte att förenkla mer, så det exakta svaret är att y'=5^(2x) * 2 * ln(5).
Funktionen deriveras på samma sätt som funktioner på formen y=a^(kx). Potensen har visserligen en koefficient framför sig men enligt en av de generella deriveringsreglerna hänger den bara med
.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"y'=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["2\\ln(10)\\cdot 10^{2x}+2"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"y'=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-2\\ln(11)\\cdot 11^{-2x}-6x"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"y'=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["4\\ln(7)\\cdot7^{4x}-2e^{2x}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi deriverar term för term, och tänker på att en term på formen a^(kx) deriveras genom att vi multiplicerar a^(kx) med både ln(a) och koefficienten k.
Vi deriverar term för term igen. Tänk på att bara första termen har variabeln i exponenten. Den andra deriveras med deriveringsregeln för potensfunktioner.
Även här deriverar vi term för term. Kom ihåg att en term på formen e^(kx) deriveras genom att vi multiplicerar e^(kx) med koefficienten k.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"g'(1)\u2248","formTextAfter":null,"answer":{"text":["11,73"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"g'(1)\u2248","formTextAfter":null,"answer":{"text":["5,73"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"g'(1)\u2248","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-7652,00"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi ska beräkna derivatans värde för x=1, så vi börjar med att derivera funktionen. Det gör vi term för term med deriveringsreglerna för exponentialfunktioner.
Nu sätter vi in x=1 i derivatan.
Vi börjar med att derivera term för term även nu.
Vi sätter nu in x=1 i derivatan.
Vi gör på samma sätt igen.
Till sist sätter vi in x=1 och beräknar.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Deriveringsregler för exponentialfunktioner
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll