body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Df

Deriveringsregler för exponentialfunktioner Visa detaljer

Innehållsförteckning

Kapitel

6.

Deriveringsregler för exponentialfunktioner

Innehållet handlar om deriveringsregler för exponentialfunktioner. Den förklarar hur man kan derivera olika former av exponentialfunktioner, inklusive de med basen e. Det framhävs att derivatan av en exponentialfunktion på formen e^x är densamma som funktionen själv. Detta illustreras med grafer som visar att funktionen och dess derivata sammanfaller när basen är e. Sidan förklarar också hur man kan använda derivatans definition för att visa varför detta är fallet. Dessutom beskrivs hur man kan derivera funktioner på formen a^x, där a är något annat än e, genom att skriva om basen a enligt ett visst samband och sedan använda deriveringsreglerna för exponentialfunktioner med basen e.

Inställningar & verktyg för lektion

	8 sidor teori
	14 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

En exponentialfunktion som står på formen

f (x) = a^{x}

har i de flesta fall en derivata som inte är lika med funktionen själv. Det finns dock ett undantag och det är när funktionens bas är lika med talet

e

, dvs. ungefär

2, 72 .

Då är derivatan och funktionen samma för alla

x .

Den blå grafen visar funktionen

f (x) = a^{x}

medan den röda visar derivatan

f^{'} (x) .

Väljer man basen

a

till

e

ser man att funktionens och derivatans graf sammanfaller.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Derivatan av $e^{x}$
Derivatan av $e^{k x}$
Derivatan av $a^{x}$
Derivatan av $a^{k x}$

Förkunskaper

Derivata
Exponentialfunktion
Talet $e$

Regel

Derivatan av $e^{x}$

Exponentialfunktionen $f (x) = e^{x}$ är sin egen derivata.

Härledning

D (e^{x}) = e^{x}

För att visa varför derivatan till

e^{x}

är

e^{x}

kan man använda derivatans definition.

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

$f (x + h) = e^{x + h}$ och $f (x) = e^{x}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{x + h} - e ^{x}}{h}

$a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{x} \cdot e ^{h} - e ^{x}}{h}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{x} \cdot e ^{h} - e ^{x} \cdot 1}{h}

Bryt ut $e^{x}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{x} ( e ^{h} - 1 )}{h}

MovePartNumLeft

$\frac{a \cdot b}{c} = a \cdot \frac{b}{c}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim (e^{x} \cdot \frac{e ^{h} - 1}{h})

Eftersom

e^{x}

inte påverkas av att

h

går mot

0

kan man placera

e^{x}

utanför gränsvärdet:

f^{'} (x) = e^{x} \cdot h \to 0 lim \frac{e ^{h} - 1}{h} .

Man kan visa att gränsvärdet

h \to 0 lim \frac{e ^{h} - 1}{h}

är lika med

1

(detta är ett så kallat standardgränsvärde). Det medför att

f^{'} (x) = e^{x} \cdot 1 = e^{x} .

Regel

Derivatan av $e^{k x}$

Derivatan av en exponentialfunktion på formen $f (x) = e^{k x}$ är lika med funktionsuttrycket multiplicerat med koefficienten framför $x .$

Härledning

D (e^{k x}) = k e^{k x}

Man kan visa denna derivata med hjälp av derivatans definition:

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} .

Uttrycket

f (x + h)

får vi genom att ersätta

x

med

x + h

i funktionsuttrycket.

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

$f (x + h) = e^{k (x + h)}$ och $f (x) = e^{k x}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{k (x + h)} - e ^{k x}}{h}

Multiplicera in $k$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{k x + k h} - e ^{k x}}{h}

$a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{k x} \cdot e ^{k h} - e ^{k x}}{h}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{k x} \cdot e ^{k h} - e ^{k x} \cdot 1}{h}

Bryt ut $e^{k x}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{k x} ( e ^{k h} - 1 )}{h}

MovePartNumLeft

$\frac{a \cdot b}{c} = a \cdot \frac{b}{c}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim (e^{k x} \cdot \frac{e ^{k h} - 1}{h})

Eftersom

e^{k x}

inte innehåller något

h

påverkas inte denna faktor av att

h

går mot

0 .

Man kan därför lyfta ut det från gränsvärdet, vilket ger

f^{'} (x) = e^{k x} \cdot h \to 0 lim \frac{e ^{k h} - 1}{h} .

Man kan visa att gränsvärdet

h \to 0 lim \frac{e ^{k h} - 1}{h}

är lika med

k

(detta är ett så kallat standardgränsvärde). Det medför att

f^{'} (x) = e^{k x} \cdot k = k e^{k x} .

Exempel

Derivera exponentialfunktioner med bas $e$

Derivera följande funktioner.

a

f (x) = e^{x}

b

g (x) = e^{6 x}

Ledtråd

a Använd regeln för derivatan av

e^{x} .

b Använd regeln för derivatan av

e^{k x} .

Lösning

a Eftersom derivatan av

e^{x}

alltid är sin egen derivata är alltså

f^{'} (x) = e^{x} .

b Funktionen

g (x) = e^{6 x}

är på formen

e^{k x}

och eftersom

D (e^{k x}) = k e^{k x}

multiplicerar vi funktionen med koefficienten

6

för att få derivatan:

g^{'} (x) = 6 e^{6 x} .

Regel

Derivatan av $a^{x}$

Derivatan till exponentialfunktioner på formen $f (x) = a^{x},$ dvs. när $a$ är något annat än talet $e$ , är funktionsuttrycket multiplicerat med $ln (a) .$

Härledning

D (a^{x}) = a^{x} \cdot ln (a)

För att visa varför regeln gäller kan man skriva om basen

a

i exponentialfunktionen

f (x) = a^{x}

enligt sambandet

a = e^{l n (a)}

. Sedan använder man deriveringsreglerna för exponentialfunktioner med basen

e .

f (x) = a^{x}

$a = e^{l n (a)}$

f (x) = (e^{l n (a)})^{x}

$(a^{b})^{c} = a^{b \cdot c}$

f (x) = e^{l n (a) \cdot x}

Uttrycken

a^{x}

och

e^{l n (a) \cdot x}

är alltså ekvivalenta och man kan nu använda deriveringsregeln

D (e^{k x}) = k e^{k x}

för att derivera

a^{x} .

Därefter skrivs

e^{l n (a)}

om till

a

igen.

f (x) = e^{l n (a) \cdot x}

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (e^{l n (a) \cdot x})

$D (e^{k x}) = k e^{k x}$

f^{'} (x) = ln (a) \cdot e^{l n (a) \cdot x}

$a^{b \cdot c} = (a^{b})^{c}$

f^{'} (x) = ln (a) \cdot (e^{l n (a)})^{x}

$e^{l n (a)} = a$

f^{'} (x) = ln (a) \cdot a^{x}

Regel

Derivatan av $a^{k x}$

Funktioner på formen $f (x) = a^{k x}$ deriveras på nästan samma sätt som $f (x) = a^{x} .$ Men utöver att multiplicera funktionsuttrycket med $ln (a)$ multipliceras det även med koefficienten $k .$

Härledning

D (a^{k x}) = a^{k x} \cdot k \cdot ln (a)

För att visa varför regeln gäller kan man skriva om basen

a

i exponentialfunktionen

f (x) = a^{k x}

enligt

a = e^{l n (a)}

. Sedan använder man deriveringsreglerna för exponentialfunktioner med basen

e .

f (x) = a^{k x}

$a = e^{l n (a)}$

f (x) = (e^{l n (a)})^{k x}

$(a^{b})^{c} = a^{b \cdot c}$

f (x) = e^{l n (a) \cdot k \cdot x}

Uttrycken

a^{k x}

och

e^{l n (a) \cdot k \cdot x}

är alltså ekvivalenta och man kan nu använda regeln

D (e^{k x}) = k e^{k x}

.

f (x) = e^{l n (a) \cdot k \cdot x}

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (e^{l n (a) \cdot k \cdot x})

$D (e^{k x}) = k e^{k x}$

f^{'} (x) = ln (a) \cdot k \cdot e^{l n (a) \cdot k \cdot x}

$a^{b \cdot c} = (a^{b})^{c}$

f^{'} (x) = ln (a) \cdot k \cdot (e^{l n (a)})^{k x}

$e^{l n (a)} = a$

f^{'} (x) = ln (a) \cdot k \cdot a^{k x}

Omarrangera faktorer

f^{'} (x) = a^{k x} \cdot k \cdot ln (a)

Exempel

Derivera exponentialfunktioner med generell bas

Derivera följande funktioner.

a

f (x) = 5^{x}

b

g (x) = 5^{2 x}

Ledtråd

a Använd regeln för derivatan av

a^{x} .

b Använd regeln för derivatan av

a^{k x} .

Lösning

a Vi kan derivera

f (x) = 5^{x}

med hjälp av regeln

D (a^{x}) = a^{x} \cdot ln (a)

. Vi multiplicerar alltså funktionen med den naturliga logaritmen av basen

5 .

Derivatan blir då

f^{'} (x) = 5^{x} \cdot ln (5) .

b Funktionen

g (x) = 5^{2 x}

skiljer sig från

f (x)

genom att

x

har koefficienten

2 .

Vi använder därför deriveringsregeln

D (a^{k x}) = a^{k x} \cdot k \cdot ln (a)

och multiplicerar funktionen med både

2

och

ln (5) :

g^{'} (x) = 5^{2 x} \cdot 2 \cdot ln (5) .

Övning

Träna på derivator av exponentialfunktioner

Använd reglerna för derivering av exponentialfunktioner för att avgöra vilket alternativ som är derivatan av den givna funktionen.

Deriveringsregler för exponentialfunktioner

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.