body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Dd

Derivatans definition Visa detaljer

Innehållsförteckning

Kapitel

4.

Derivatans definition

Innehållet handlar om derivatans definition, ett grundläggande koncept inom matematik. Det förklaras hur derivatan i en viss punkt för en funktion kan tolkas som tangentens lutning i den punkten. Det kan vara svårt att rita in en tangent med exakt samma lutning som funktionens graf har just där, men genom att utgå från principen att en tangents lutning är derivatan i punkten kan man algebraiskt definiera derivatans värde där. Sidan ger också en förståelse för hur man kan närma sig derivatans värde genom att krympa avståndet mellan punkterna som en sekant skär igenom. Detta är användbart för att få en bättre approximation av derivatan i tangeringspunkten.

Inställningar & verktyg för lektion

	6 sidor teori
	15 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Derivatans definition

Sida av 6

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Derivatans definition
Derivatans värde
Beräkna derivatans värde

Förkunskaper

Funktion
Tangent
Sekant
Gränsvärde

Utforska

Från sekant till tangent

Om man drar en sekant genom en kurva kan man låta den övergå i en tangent genom att krympa avståndet mellan punkterna som sekanten skär igenom.

Är denna metod användbar för att hitta derivatan i en viss punkt?
Hur kan vi hitta det exakta värdet av derivatan utan att orsaka division med noll?

Koncept

Derivatans definition

Derivatan i en viss punkt för en funktion kan grafiskt tolkas som tangentens lutning i den punkten. I praktiken kan det dock vara svårt att rita in en tangent med exakt samma lutning som funktionens graf har just där. Men genom att utgå ifrån principen att en tangents lutning är derivatan i punkten kan man algebraiskt definiera derivatans värde där. Numerisk derivering kan användas för att algebraiskt definiera derivatan för en funktion $f (x)$ i punkten där $x = a .$ Punkten som ligger på avståndet $h$ från denna blir då $x = a + h .$

f (a)

är funktionsvärdet för

f (x)

i punkten där

x = a

och på motsvarande sätt är

f (a + h)

funktionsvärdet där

x = a + h .

Avståndet i

y

-led mellan punkterna,

y_{2} - y_{1},

kan därför uttryckas

f (a + h) - f (a) .

Ändringskvoten mellan

x = a

och

x = a + h

kan alltså skrivas

\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{a + h - a} = \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h} .

När

h

går mot

0

blir uttrycket för derivatan i den godtyckliga punkten

x = a

det gränsvärde som är derivatans definition.

$f^{'} (a) = h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$

Definitionen säger att derivatan för en funktion $f (x)$ där $x = a$ bestäms algebraiskt genom att man låter avståndet mellan punkterna som en sekant skär igenom krympa så att sekanten övergår i en tangent. Definitionen gör det alltså möjligt att bl.a. bestämma derivatans värde i en punkt utan att tangenter behöver ritas ut.

Extra

Numerisk derivering

Om man drar en sekant genom en kurva kan man låta den övergå i en tangent genom att krympa avståndet mellan punkterna som sekanten skär igenom. När avståndet blir

0

kommer sekanten alltså att sammanfalla med tangenten till kurvan i en av punkterna.

Då avståndet mellan punkterna går mot ett mycket litet tal brukar man ibland kalla det för

h

istället för

Δ x .

Om man ställer upp en ändringskvot som motsvarar sekantens lutning kan den därför skrivas

k = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y _{2} - y _{1}}{h} .

Ju mindre

h

blir, desto bättre blir approximation av derivatan i tangeringspunkten, som man kan låta ha

x -

värdet

a .

Då kommer ändringskvoten ovan att ge

f^{'} (a) \approx \frac{y _{2} - y _{1}}{h} .

Den streckade tangenten till kurvan i punkten

a = 0, 4

nedan har lutningen

k = 0, 56,

vilket innebär att

f^{'} (0, 4) = 0, 56 .

Genom att låta avståndet

h

bli mindre och mindre ser man att sekantens riktningskoefficient närmar sig detta värde.

Med denna metod får man ett närmevärde till derivatan som blir bättre ju närmare punkterna är varandra. För att få det exakta värdet skulle man vilja låta avståndet vara

0,

men då får man nolldivision. Derivatans värde bestäms därför med gränsvärdet för ändringskvoten då

h \to 0

:

f^{'} (a) = h \to 0 lim \frac{y _{2} - y _{1}}{h} .

Metod

Beräkna derivatans värde med derivatans definition

För att bestämma derivatan för t.ex. funktionen

f (x) = x^{2} + 2 x + 5

i punkten där

x = 3

kan man använda derivatans definition

f^{'} (a) = h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h},

där

a

är

x -

värdet i punkten man vill beräkna derivatan för. För

x = 3

får man alltså gränsvärdet

f^{'} (3) = h \to 0 lim \frac{f ( 3 + h ) - f ( 3 )}{h},

som man bestämmer genom att beräkna varje term i täljaren för sig, förenkla ändringskvoten och till sist låta

h

gå mot

0 .

1

Beräkna

f (a)

Först beräknar man täljarens andra term, $f (3),$ genom att sätta in $x -$ värdet i funktionen.

f (x) = x^{2} + 2 x + 5

$x = 3$

f (3) = 3^{2} + 2 \cdot 3 + 5

Beräkna potens & produkt

f (3) = 9 + 6 + 5

Addera termer

f (3) = 20

2

Bestäm

f (a + h)

För att bestämma den första termen i täljaren, $f (3 + h),$ ersätter man $x$ med $a + h$ och förenklar. I det här fallet är det $3 + h .$

f (x) = x^{2} + 2 x + 5

$x = 3 + h$

f (3 + h) = (3 + h)^{2} + 2 (3 + h) + 5

ExpandPosPerfectSquare

Utveckla med första kvadreringsregeln

f (3 + h) = 3^{2} + 2 \cdot 3 \cdot h + h^{2} + 2 (3 + h) + 5

Beräkna potens & produkt

f (3 + h) = 9 + 6 h + h^{2} + 2 (3 + h) + 5

Multiplicera in $2$

f (3 + h) = 9 + 6 h + h^{2} + 6 + 2 h + 5

Förenkla termer

f (3 + h) = h^{2} + 8 h + 20

3

Förenkla ändringskvoten

Nu kan man sätta in uttrycken och förenkla kvoten.

\frac{f ( 3 + h ) - f ( 3 )}{h}

$f (3 + h) = h^{2} + 8 h + 20$ och $f (3) = 20$

\frac{h ^{2} + 8 h + 2 0 - 2 0}{h}

Förenkla termer

\frac{h ^{2} + 8 h}{h}

Bryt ut $h$

\frac{h ( h + 8 )}{h}

Förenkla kvot

h + 8

Ändringskvoten kan förenklas till $h + 8 .$

4

Låt

h

gå mot

0

Slutligen beräknar man gränsvärdet, dvs. man sätter in den förenklade kvoten från förra steget och låter $h$ gå mot $0 .$

f^{'} (3) = h \to 0 lim \frac{f ( 3 + h ) - f ( 3 )}{h}

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

f^{'} (3) = h \to 0 lim (h + 8)

$h \to 0$

f^{'} (3) = 8

Derivatan för funktionen $f (x) = x^{2} + 2 x + 5$ när $x = 3$ är alltså lika med $8 .$

Digitala verktyg

Derivatans värde på räknare

Man kan använda räknaren för att numeriskt beräkna derivatans värde i en punkt. Man trycker då på knappen $M A T H$ och bläddrar ner till $8 :$ nDeriv(. Tryck $E N T E R .$

TI-meny med nDeriv valt

Därefter skriver man, separerat med kommatecken, i följande ordning.

Funktionsuttrycket för funktionen som ska deriveras
Variabeln man ska derivera med avseende på
För vilket $x -$ värde derivatan ska beräknas

Tryck på $E N T E R$ för att beräkna derivatans värde för det valda $x -$ värdet.

Derivera med TI-räknare

Exempel

Bestäm derivatan med derivatans definition

Använd derivatans definition för att beräkna

f^{'} (- 2)

för funktionen

f (x) = 3 x^{2} - x + 7 .

Tolka sedan svaret.

Ledtråd

Utvärdera $f (- 2)$ och $f (- 2 + h) .$ Använd definitionen av derivatan.

Lösning

Vi sätter in

x = - 2

i derivatans definition:

f^{'} (- 2) = h \to 0 lim \frac{f ( - 2 + h ) - f ( - 2 )}{h} .

Nu beräknar vi varje term i täljaren för sig, och börjar med

f (- 2) .

f (x) = 3 x^{2} - x + 7

$x = - 2$

f (- 2) = 3 (- 2)^{2} - (- 2) + 7

Beräkna potens

f (- 2) = 3 \cdot 4 - (- 2) + 7

Multiplicera faktorer

f (- 2) = 12 - (- 2) + 7

$a - (- b) = a + b$

f (- 2) = 12 + 2 + 7

Addera termer

f (- 2) = 21

Vi bestämmer nu

f (- 2 + h)

genom att ersätta

x

med

- 2 + h

och förenkla.

f (x) = 3 x^{2} - x + 7

$x = - 2 + h$

f (- 2 + h) = 3 (- 2 + h)^{2} - (- 2 + h) + 7

ExpandPosPerfectSquare

Utveckla med första kvadreringsregeln

f (- 2 + h) = 3 ((- 2)^{2} + 2 \cdot (- 2) \cdot h + h^{2}) - (- 2 + h) + 7

Beräkna potens & produkt

f (- 2 + h) = 3 (4 - 4 h + h^{2}) - (- 2 + h) + 7

Multiplicera in $3$

f (- 2 + h) = 12 - 12 h + 3 h^{2} - (- 2 + h) + 7

Ta bort parentes & byt tecken

f (- 2 + h) = 12 - 12 h + 3 h^{2} + 2 - h + 7

Förenkla termer

f (- 2 + h) = 3 h^{2} - 13 h + 21

Nu sätter vi in båda uttrycken i derivatans definition och förenklar.

f^{'} (- 2) = h \to 0 lim \frac{f ( - 2 + h ) - f ( - 2 )}{h}

$f (- 2 + h) = 3 h^{2} - 13 h + 21$ och $f (- 2) = 21$

f^{'} (- 2) = h \to 0 lim \frac{3 h ^{2} - 1 3 h + 2 1 - 2 1}{h}

Förenkla termer

f^{'} (- 2) = h \to 0 lim \frac{3 h ^{2} - 1 3 h}{h}

Bryt ut $h$

f^{'} (- 2) = h \to 0 lim \frac{h ( 3 h - 1 3 )}{h}

Förenkla kvot

f^{'} (- 2) = h \to 0 lim (3 h - 13)

$h \to 0$

f^{'} (- 2) = 0 - 13

Subtrahera term

f^{'} (- 2) = - 13

Derivatan till

f (x) = 3 x^{2} - x + 7

är alltså

- 13

när

x = - 2 .

En tolkning av detta är: Lutningen till funktionen

f (x) = 3 x^{2} - x + 7

i punkten där

x = - 2

är lika med

- 13 .

Extra

Derivatans värde på räknare

En räknare kan användas för att verifiera svaret. Tryck på $M A T H$ och välj det åttonde alternativet, nDeriv(.

Skriv in funktionen $3 x^{2} - x + 7,$ välj variabeln $x,$ och välj för vilket $x -$ värde derivatan ska beräknas, i det här fallet $- 2 .$

Derivatans definition

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.