Derivatans definition

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Regel

Derivatans definition

Derivatan i en viss punkt för en funktion kan grafiskt tolkas som tangentens lutning i den punkten. I praktiken kan det dock vara svårt att rita in en tangent med exakt samma lutning som funktionens graf har just där. Men genom att utgå ifrån principen att en tangents lutning är derivatan i punkten kan man algebraiskt definiera derivatans värde där.

Regel

Från sekant till tangent

Om man drar en sekant genom en kurva kan man låta den övergå i en tangent genom att krympa avståndet mellan punkterna som sekanten skär igenom. När avståndet blir 00 kommer sekanten alltså att sammanfalla med tangenten till kurvan i en av punkterna.

Då avståndet mellan punkterna går mot ett mycket litet tal brukar man ibland kalla det för hh istället för Δx.\Delta x. Om man ställer upp en ändringskvot som motsvarar sekantens lutning kan den därför skrivas k=ΔyΔx=y2y1h. k = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2 - y_1}{h}. Ju mindre hh blir, desto bättre blir approximation av derivatan i tangeringspunkten, som man kan låta ha xx-värdet a.a. Då kommer ändringskvoten ovan att ge f(a)y2y1h. f'(a) \approx \dfrac{y_2 - y_1}{h}. Den streckade tangenten till kurvan i punkten a=0.4a=0.4 nedan har lutningen k=0.56,k=0.56, vilket innebär att f(0.4)=0.56.f'(0.4)=0.56. Genom att låta avståndet hh bli mindre och mindre ser man att sekantens riktningskoefficient närmar sig detta värde.

Med denna metod får man ett närmevärde till derivatan som blir bättre ju närmare punkterna är varandra. För att få det exakta värdet skulle man vilja låta avståndet vara 0,0, men då får man nolldivision. Derivatans värde bestäms därför med gränsvärdet för ändringskvoten då h0h \to 0: f(a)=limh0 y2y1h. f'(a) = \lim \limits_{h \to 0} \ \dfrac{y_2- y_1}{h}.

Regel

Algebraisk definition av derivata

Principen ovan används nu för att algebraiskt definiera derivatan för en funktion f(x)f(x) i punkten där x=a.x=a. Punkten som ligger på avståndet hh från denna blir då x=a+h.x=a+h.

f(a)f(a) är funktionsvärdet för f(x)f(x) i punkten där x=ax=a och på motsvarande sätt är f(a+h)f(a+h) funktionsvärdet där x=a+h.x=a+h. Avståndet i yy-led mellan punkterna, y2y1,y_2-y_1, kan därför uttryckas f(a+h)f(a).f(a+h) - f(a). Ändringskvoten mellan x=ax=a och x=a+hx=a+h kan alltså skrivas ΔyΔx=f(a+h)f(a)a+ha=f(a+h)f(a)h. \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{f(a+h) - f(a)}{a + h - a} = \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}. När hh går mot 00 blir uttrycket för derivatan i den godtyckliga punkten x=ax=a det gränsvärde som är derivatans definition.

f(a)=limh0f(a+h)f(a)hf'(a) = \lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}

Definitionen säger att derivatan för en funktion f(x)f(x) där x=ax=a bestäms algebraiskt genom att man låter avståndet mellan punkterna som en sekant skär igenom krympa så att sekanten övergår i en tangent. Definitionen gör det alltså möjligt att bl.a. bestämma derivatans värde i en punkt utan att tangenter behöver ritas ut.
Metod

Beräkna derivatans värde med derivatans definition

För att bestämma derivatan för t.ex. funktionen f(x)=x2+2x+5f(x)=x^2+2x+5 i punkten där x=3x=3 kan man använda derivatans definition f(a)=limh0f(a+h)f(a)h, f'(a) = \lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}, där aa är xx-värdet i punkten man vill beräkna derivatan för. För x=3x=3 får man alltså gränsvärdet f(3)=limh0f(3+h)f(3)h, f'(3)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}, som man bestämmer genom att beräkna varje term i täljaren för sig, förenkla ändringskvoten och till sist låta hh gå mot 0.0.

1

Beräkna f(a)f(a)

Först beräknar man täljarens andra term, f(3),f(3), genom att sätta in xx-värdet i funktionen.

f(x)=x2+2x+5f(x)=x^2+2x+5
f(3)=32+23+5f({\color{#0000FF}{3}})={\color{#0000FF}{3}}^2+2\cdot{\color{#0000FF}{3}}+5
f(3)=9+6+5f(3)=9+6+5
f(3)=20f(3)=20

2

Bestäm f(a+h)f(a+h)

För att bestämma den första termen i täljaren, f(3+h),f(3+h), ersätter man xx med a+ha+h och förenklar. I det här fallet är det 3+h.3+h.

f(x)=x2+2x+5f(x)=x^2+2x+5
f(3+h)=(3+h)2+2(3+h)+5f({\color{#0000FF}{3+h}})=({\color{#0000FF}{3+h}})^2+2({\color{#0000FF}{3+h}})+5
f(3+h)=32+23h+h2+2(3+h)+5f(3+h)=3^2+2\cdot3\cdot h+h^2+2(3+h)+5
f(3+h)=9+6h+h2+2(3+h)+5f(3+h)=9+6h+h^2+2(3+h)+5
f(3+h)=9+6h+h2+6+2h+5f(3+h)=9+6h+h^2+6+2h+5
f(3+h)=h2+8h+20f(3+h)=h^2+8h+20

3

Förenkla ändringskvoten

Nu kan man sätta in uttrycken och förenkla kvoten.

f(3+h)f(3)h\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}
f(3+h)=h2+8h+20f(3+h)={\color{#0000FF}{h^2+8h+20}}, f(3)=20f(3)={\color{#009600}{20}}
h2+8h+2020h\dfrac{{\color{#0000FF}{h^2+8h+20}}-{\color{#009600}{20}}}{h}
h2+8hh\dfrac{h^2+8h}{h}
h(h+8)h\dfrac{h(h+8)}{h}
h+8h+8

Ändringskvoten kan förenklas till h+8.h+8.

4

Låt hh gå mot 00

Slutligen beräknar man gränsvärdet, dvs. man sätter in den förenklade kvoten från förra steget och låter hh gå mot 0.0.

f(3)=limh0f(3+h)f(3)hf'(3)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}
f(3)=limh0(h+8)f'(3)=\lim\limits_{h\to 0}(h+8)
f(3)=8f'(3)=8

Derivatan för funktionen f(x)=x2+2x+5f(x)=x^2+2x+5 när x=3x=3 är alltså lika med 8.8.

Man kan använda räknaren för att numeriskt beräkna derivatans värde i en punkt. Man trycker då på knappen MATH och bläddrar ner till 8:nDeriv(. Tryck ENTER.

TI-meny med nDeriv valt


Därefter skriver man, separerat med kommatecken, i följande ordning.

  1. Funktionsuttrycket för funktionen som ska deriveras
  2. Variabeln man ska derivera med avseende på
  3. För vilket xx-värde derivatan ska beräknas


Tryck på ENTER för att beräkna derivatans värde för det valda xx-värdet.

Derivera med TI-räknare
Uppgift

Använd derivatans definition för att beräkna f(-2)f'(\text{-}2) för funktionen f(x)=3x2x+7.f(x)=3x^2-x+7. Tolka sedan svaret.

Lösning

Vi sätter in x=-2x=\text{-}2 i derivatans definition: f(-2)=limh0f(-2+h)f(-2)h. f'(\text{-}2)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(\text{-}2+h)-f(\text{-}2)}{h}. Nu beräknar vi varje term i täljaren för sig, och börjar med f(-2).f(\text{-}2).

f(x)=3x2x+7f(x)=3x^2-x+7
f(-2)=3(-2)2(-2)+7f({\color{#0000FF}{\text{-}2}})=3({\color{#0000FF}{\text{-}2}})^2-({\color{#0000FF}{\text{-}2}})+7
f(-2)=34(-2)+7f(\text{-}2)=3\cdot4-(\text{-}2)+7
f(-2)=12(-2)+7f(\text{-}2)=12-(\text{-}2)+7
f(-2)=12+2+7f(\text{-}2)=12+2+7
f(-2)=21f(\text{-}2)=21

Vi bestämmer nu f(-2+h)f(\text{-}2+h) genom att ersätta xx med -2+h\text{-}2+h och förenkla.

f(x)=3x2x+7f(x)=3x^2-x+7
f(-2+h)=3(-2+h)2(-2+h)+7f({\color{#0000FF}{\text{-}2+h}})=3({\color{#0000FF}{\text{-}2+h}})^2-({\color{#0000FF}{\text{-}2+h}})+7
f(-2+h)=3((-2)2+2(-2)h+h2)(-2+h)+7f(\text{-}2+h)=3\left((\text{-}2)^2+2\cdot(\text{-}2)\cdot h+h^2\right)-(\text{-}2+h)+7
f(-2+h)=3(44h+h2)(-2+h)+7f(\text{-}2+h)=3\left(4-4h+h^2\right)-(\text{-}2+h)+7
f(-2+h)=1212h+3h2(-2+h)+7f(\text{-}2+h)=12-12h+3h^2-(\text{-}2+h)+7
f(-2+h)=1212h+3h2+2h+7f(\text{-}2+h)=12-12h+3h^2+2-h+7
f(-2+h)=3h213h+21f(\text{-}2+h)=3h^2-13h+21

Nu sätter vi in båda uttrycken i derivatans definition och förenklar.

f(-2)=limh0f(-2+h)f(-2)hf'(\text{-}2)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(\text{-}2+h)-f(\text{-}2)}{h}
f(-2+h)=3h213h+21f(\text{-}2+h)={\color{#0000FF}{3h^2-13h+21}}, f(-2)=21f(\text{-}2)={\color{#009600}{21}}
f(-2)=limh03h213h+2121hf'(\text{-}2)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{{\color{#0000FF}{3h^2-13h+21}}-{\color{#009600}{21}}}{h}
f(-2)=limh03h213hhf'(\text{-}2)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{3h^2-13h}{h}
f(-2)=limh0h(3h13)hf'(\text{-}2)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{h(3h-13)}{h}
f(-2)=limh0(3h13)f'(\text{-}2)=\lim\limits_{h\to 0}(3h-13)
f(-2)=013f'(\text{-}2)=0-13
f(-2)=-13f'(\text{-}2)=\text{-}13

Derivatan till f(x)=3x2x+7f(x)=3x^2-x+7 är alltså -13\text{-}13 när x=-2.x=\text{-}2. En tolkning av detta är: "Lutningen till funktionen f(x)=3x2x+7f(x)=3x^2-x+7 i punkten där x=-2x=\text{-}2 är lika med -13."\text{-}13."

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilket eller vilka av följande uttryck definierar f(1)f'(1) för en funktion f?f?
A.f(1+h)f(1)hB.limh0f(1+h)f(1)hC.limhf(1+h)f(1)hD.limh0f(1h)+f(1)hE.limh0f(1+h)f(1)1+h1\begin{aligned} &\text{A.} \quad \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} \\[2em] &\text{B.} \quad \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} \\[2em] &\text{C.} \quad\lim\limits_{h\to \infty}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} \\[2em] &\text{D.} \quad \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(1-h)+f(1)}{h} \\[2em] &\text{E.} \quad \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{1+h-1} \\ \end{aligned}

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Prinsen ska uppskatta derivatan av f(x)f(x) i punkten (a,f(a))(a,f(a)) med hjälp av sekanten som går mellan xx-värdena aa och a+h.a+h.

Han funderar dock på hur långt avståndet hh bör vara för att få en så bra approximation som möjligt. Hjälp Prinsen avgöra vilken av följande ändringskvoter som ger den bästa approximationen av f(a).f'(a). Δyh=f(a+0.1)f(a)0.1Δyh=f(a+0.001)f(a)0.001Δyh=f(a+0.01)f(a)0.01\begin{aligned} &\dfrac{\Delta y}{h}=\dfrac{f(a+0.1)-f(a)}{0.1}\\ \\ &\dfrac{\Delta y}{h}=\dfrac{f(a+0.001)-f(a)}{0.001}\\ \\ &\dfrac{\Delta y}{h}=\dfrac{f(a+0.01)-f(a)}{0.01} \end{aligned}

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Utgå ifrån funktionen g(x)=0.5x2.g(x)=0.5x^2.

a

Bestäm och förenkla g(4)g(4) och g(4+h).g(4+h).

b

Ställ upp och förenkla ändringskvoten

g(4+h)g(4)h. \dfrac{g(4+h)-g(4)}{h}.

c

Bestäm gränsvärdet för uttrycket då h0.h \to 0.

d

Vad har du beräknat?

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Använd derivatans definition för att beräkna f(2)f'(2) för de olika funktionerna. Kontrollera ditt svar med räknarens verktyg för derivata.

a

f(x)=3x+16f(x)=3x+16

b

f(x)=3x2f(x)=3x^2

c

f(x)=x21f(x)=x^2-1

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Beräkna f(7)f'(7) med derivatans definition för funktionen f(x)=4x9.f(x)=4x-9.

b

Beräkna g(7)g'(7) med derivatans definition för funktionen g(x)=4x+2.g(x)=4x+2.

c

Jämför f(7)f'(7) och g(7),g'(7), och förklara varför de ser ut som de gör.

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionen f(x)=x2f(x)=x^2 har en tangent i punkten där x=1.x=1. Använd derivatans definition för att bestämma tangentens kk-värde.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Använd derivatans definition för att beräkna f(-3)f'(\text{-}3) om

a

f(x)=x25x4.f(x)=x^2-5x-4.

b

f(x)=x33.f(x)=\dfrac{x^3}{3}.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I en bok hittar Joseph följande gränsvärde. limh0(4+h)3+(4+h)5(43+45)h=49 \lim \limits_{h \to 0}\dfrac{(4+h)^3+(4+h)-5 - \left(4^3+4-5\right)}{h}=49

a

För vilket xx-värde är derivatan beräknad och vilket värde har derivatan där?

b

För vilken funktion är derivatan beräknad?

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Sana skriver ett matteprov. En av uppgifterna är att beräkna f(2)f'(2) för funktionen f(x)=4x23f(x)=\dfrac{4x^2}{3} med derivatans definition. Hon löser uppgiften såhär.

Elevs felaktiga uträkning med derivatans definition

När hon får tillbaka provet en vecka senare ser hon dock att hon har fått flera poängs avdrag på sin lösning.

a

Varför tror du att Sana inte har fått full poäng?

b

Visa ett exempel på hur Sana kunde ha löst uppgiften för att få helt rätt.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Använd derivatans definition för att bestämma f(1)f'(1) för funktionerna f(x)=kxf(x)=kx och f(x)=kx+a,f(x)=kx+a, där kk och aa är konstanter.

b

Ange en regel för hur konstanten aa påverkar derivatans värde i detta fall.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Utgå från funktionen f(x)=kx+m,f(x)= kx+m, där kk och mm är konstanter.

a

Bestäm f(5)f'(5) med derivatans definition.

b

Bestäm f(x)f'(x) med derivatans definition.

c

Använd dina resultat för att beräkna f(7.13).f'(7.13).

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För funktionen f(t)f(t) vet man att limh0f(1+h)f(1)h=-2. \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\text{-}2. Ge ett exempel på hur funktionsuttrycket för f(t)f(t) kan se ut.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm för vilket värde på xx som funktionen f(x)=x35x+7f(x)=x^3-5x+7 har derivatan -5.\text{-}5.

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ange för vilken funktion, f,f, och vilket xx-värde man bestämmer derivatan när man beräknar följande gränsvärden.

a

limh04+h2h\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sqrt{4+h}-2}{h}

b

limh0(-1+h)41h\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{(\text{-}1+h)^4-1}{h}

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm derivatan till f(x)=Axf(x)=\dfrac{A}{x} med hjälp av derivatans definition.

Nationella provet HT12 3b/3c
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}