10. Cirklar Åk 7
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 3
10.
Cirklar Åk 7
Denna lektion kommer lära dig teorin för att helt förstå ämnet, och det finns både uppgifter och självtester för att kontrollera din förståelse.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 11 sidor teori |
| | 17 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Cirklar Åk 7
Sida av 11
Världen är full av cirklar. De finns överallt. Om du tittar runt omkring dig så ser du nog hur vanliga de är. Det är såklart bra att lära sig mer om en sån vanlig figur och dess egenskaper. Den här lektionen kommer att introducera följande ämnen.
- Cirkel
- Pi
- Omkrets av en cirkel
- Area av en cirkel
Teori
Cirkel
En cirkel är mängden av alla punkter i ett tvådimensionellt plan som ligger lika långt från en given punkt. Cirklar har några särskilt viktiga egenskaper.
- Mittpunkt - Den givna punkten som alla punkter på cirkeln ligger lika långt bort från. Namnet av cirklar är ofta detsamma som cirkelns mittpunkt.
- Radie - Sträckan mellan cirkelns mittpunkt och vilken punkt som helst på cirkeln. Längden av sträckan representeras vanligtvis av bokstaven r.
- Diameter - En sträcka vars ändpunkter ligger på cirkeln och som passerar genom mittpunkten. Längden representeras vanligtvis av bokstaven d.
- Omkrets - Längden runt omkring en cirkel, vanligtvis representerad av bokstaven O.
cirkel M, eftersom dess mittpunkt kallas för M.
Övning
Identifiera delarna av en cirkel
I följande applikation blir du ombedd att klicka på vissa delar av olika cirklar. Välj den delen och se om det är korrekt!
Utforska
Att jämföra mynt
Teori
Talet pi
Att dividera omkretsen av en cirkel med dess diameter ger alltid samma tal. Chockerande, eller hur!? Denna faktor är sann för alla cirklar och är så viktig att matematiker har gett detta tal ett unikt namn.
Koncept
Pi
Talet pi, vanligtvis skrivet med den grekiska bokstaven 
Eftersom π är ett irrationellt tal så upprepar sig aldrig dess decimaler, och decimalerna tar aldrig slut. Dock avrundas dess värde ofta till 3,14 för att göra beräkningar enklare. Alternativt kan π approximeras med 722.
π,är en konstant definierad som förhållandet mellan omkretsen och diametern av en cirkel. Detta förhållande är detsamma för alla cirklar.
π=3,1415926…
Grafiskt sett är π det antal gånger som cirkelns diameter får plats runt cirkelns omkrets.
Teori
Beräkna en cirkels omkrets
Cirkelns omkrets kan hittas utan att mäta avståndet runt den. Det räcker att känna till diametern eller radien av cirkeln.
Regel
Omkretsen av en cirkel
Exempel
Basketmatchen
En vy ovanifrån av en basketplan visas.
a Diametern på den blå yttre cirkeln i mitten av planen är 3,66 meter. Vad är omkretsen av denna cirkel? Avrunda svaret till en decimal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.68333em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.02778em;\">O<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">\u2248<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":"meter","answer":{"text":["11,5"]}}
b Basketkorgen har en omkrets på ungefär 143,5 centimeter. Vad är radien på korgen? Avrunda svaret till närmaste heltal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.48312em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.02778em;\">r<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">\u2248<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":"centimeter","answer":{"text":["23"]}}
Ledtråd
a Omkretsen av en cirkel beräknas genom att multiplicera dess diameter med π. Avrunda π till 3,14.
b Omkretsen är lika med två gånger radien gånger π.
Lösning
a Omkretsen av en cirkel beräknas genom att multiplicera dess diameter med π.
O=πd
Diametern av den yttre cirkeln är 3,66 meter. Värdet av π kan avrundas till 3,14. Sätt in dessa två värden i formeln för att hitta omkretsen, och avrunda sedan till en decimal.
O=πd
π≈3,14
O≈3,14d
Substitute
d=3,66
O≈3,14(3,66)
Multiply
Multiplicera faktorer
O≈11,4924
RoundDec
Avrunda till
O≈11,5
b Börja med att komma ihåg att omkretsen av en cirkel är dubbelt så stor som dess radie gånger π.
O=π⋅2r
I uppgiften får man veta att omkretsen av basketkorgen ungefär är 143,5 centimeter. Sätt in 143,5 i stället för O och 3,14 i stället för π i formeln. Lös sedan ut r för att få reda på vad radien av basketkorgen är.
O=π⋅2r
π≈3,14
O≈3,14⋅2r
Substitute
O=143,5
143,5≈3,14⋅2r
Multiply
Multiplicera faktorer
143,5≈6,28r
DivEqn
VL/6,28=HL/6,28
6,28143,5≈r
RearrangeEqn
Omarrangera ekvation
r≈6,28143,5
CalcQuot
Beräkna kvot
r≈22,85031…
RoundInt
Avrunda till närmaste heltal
r≈23
Teori
Området inuti en cirkel
Storleken av området inuti en tvådimensionell figur brukar ofta kallas för figurens area. Arean kan vanligtvis beräknas om man känner till vissa längder i figuren. I fallet med en cirkel så behövs bara dess radie.
Regel
Area av en cirkel
Övning
Beräkna arean och längder av olika delar av en cirkel
Illustration
Cirklar och deras tillämpningar
Tänk på ett mäthjul. Det använder två huvudsakliga informationskällor: omkretsen på hjulet och antalet varv som hjulet gör på den sträcka som ska mätas. Om till exempel hjulet har en radie på 0,4 meter, har det då en omkrets på 0,8π meter. Detta innebär att varje varv av hjulet täcker 0,8π meter eller cirka 2,5 meter.
Mäthjul används i tävlingar som spjutkastning för att avgöra hur långt en atlet kastar ett spjut. Samma mekanism kan användas för att beräkna en bils hastighet. Att dividera hjulens omkrets med tiden det tar att göra ett varv ger färdhastigheten. Kom ihåg, cirklar finns överallt, från stora föremål som ett hjul till mindre som kugghjulen i en klocka. 
Avslut
Cirklar - Nyckelbegrepp
En cirkel är mängden av alla punkter i ett plan som är lika långt från en given punkt. En cirkel har fyra huvuddelar: mittpunkt, radie, diameter och omkrets. Definitionen av varje del kan ses i följande applet genom att klicka på varje begrepp.
Kvoten av en cirkels omkrets och dess diameter ger alltid samma tal, oavsett cirkelns dimensioner. Detta tal kallas pi och betecknas med
Dessa tre formler indikerar att känna till radien av en cirkel ofta är en avgörande informationsbit.
π.Det är ett irrationellt tal, så dess decimaldelar upprepas eller avslutas aldrig.
dO=π=3,141592…
För att förenkla beräkningar, närmar man ofta π till 3,14. Slutligen, när det gäller cirklar, finns det tre viktiga formler. | Formler | ||
|---|---|---|
| Diameter | Omkrets | Area |
| d=2r | O=2πr | A=πr2 |
Cirklar Åk 7
Uppgift 3.1
Följande bildäck har en diameter på 45 cm.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.48312em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mrel\">\u2248<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":"cm","answer":{"text":["1130"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi vill hitta avståndet som däcket har färdats efter att det har snurrat 8 varv. Notera att avståndet som däcket har färdats efter att ha snurrat ett helt varv är lika med omkretsen av däcket.
Omkretsen av en cirkel är lika med π gånger diametern av cirkeln. Därför vet vi att omkretsen av däcket är 45π cm. Det betyder att däcket färdas 45π cm varje gång det snurrar ett varv. Eftersom vi vi ta reda på avståndet som det har färdats efter 8 varv så multiplicerar vi detta tal med 8.
Vi ser att däcket har färdats ungefär 1 130 cm efter 8 varv.
security
report
code
Diametern av ett däck på en tävlingsbil är 60 cm.
Använder bild av: S Foster at English Wikipedia
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"varv","answer":{"text":["26"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi vill ta reda på hur många hela varv däcket har snurrat när bilen har färdats 49 meter. Notera att avståndet som bilen har färdats efter att däcket har snurrat ett varv är lika med omkretsen av däcket.
Omkretsen av en cirkel är lika med π gånger diametern. Därför är omkretsen av däcket 60π cm. O = 60π Vi kan ta reda på antalet varv som däcket har snurrat när bilen har färdats 49 meter genom att dividera den totala sträckan med avståndet som bilen färdas per varv. 49 m/O ⇒ 49 m/60π cm Vi börjar med att skriva om 49 meter till centimeter genom att skriva om en meter till 100 cm. Sedan beräknar vi hur många varv hjulet har snurrat.
Bildäcket har snurrat lite mer än 26 varv när bilen har färdats 49 meter. Därför har däcket snurrat 26 hela varv.
security
report
code
Kevin monterade isär en väggklocka för att lära sig hur den fungerar. Han såg två kugghjul som var ihopkopplade. Det större kugghjulet snurrade 6 gånger per minut och dess rörelse fick det mindre kugghjulet att snurra.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"varv per minut","answer":{"text":["15"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi vill bestämma hur många varv det mindre kugghjulet snurrar per minut. Det första vi behöver veta är omkretsen av båda kugghjulen. Vi kan ta reda på det genom att använda faktumet att omkretsen av en cirkel är π gånger diametern av cirkeln.
| O=π d | |
|---|---|
| Större kugghjul (cm) | Mindre kugghjul (cm) |
| O_S = 3π | O_M = 1,2π |
Vi börjar med att beräkna hur många varv det mindre kugghjulet snurrar när det större kugghjulet snurrar ett helt varv. Vi kan beräkna det genom att dividera omkretsen av det större kugghjulet med omkretsen av det mindre kugghjulet. O_S/O_M = 3π/1.2π = 2,5 När det större kugghjulet snurrar ett halt varv så snurrar det mindre hjulet 2,5 varv. Vi kan därför få fram antalet varv som det mindre kugghjulet snurrar per minut genom att multiplicera antalet varv som det större kugghjulet snurrar per minut med 2,5. Det större kugghjulet snurrar 6 varv per minut så vi ska alltså multiplicera 6 med 2,5. 6 * 2,5 = 15 Det mindre kugghjulet snurrar alltså 15 varv per minut.
security
report
code
Cirklar Åk 7
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll