body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

7

Årskurs 7 Visa detaljer

Innehållsförteckning

Kapitel 3

10.

Cirklar Åk 7

Denna lektion kommer lära dig teorin för att helt förstå ämnet, och det finns både uppgifter och självtester för att kontrollera din förståelse.

Inställningar & verktyg för lektion

	11 sidor teori
	17 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Cirklar Åk 7

Sida av 11

Världen är full av cirklar. De finns överallt. Om du tittar runt omkring dig så ser du nog hur vanliga de är. Det är såklart bra att lära sig mer om en sån vanlig figur och dess egenskaper. Den här lektionen kommer att introducera följande ämnen.

Cirkel
Pi
Omkrets av en cirkel
Area av en cirkel

Förkunskaper

Punkt
Sträcka
Ekvation

Teori

Cirkel

En cirkel är mängden av alla punkter i ett tvådimensionellt plan som ligger lika långt från en given punkt. Cirklar har några särskilt viktiga egenskaper.

Mittpunkt - Den givna punkten som alla punkter på cirkeln ligger lika långt bort från. Namnet av cirklar är ofta detsamma som cirkelns mittpunkt.
Radie - Sträckan mellan cirkelns mittpunkt och vilken punkt som helst på cirkeln. Längden av sträckan representeras vanligtvis av bokstaven $r .$
Diameter - En sträcka vars ändpunkter ligger på cirkeln och som passerar genom mittpunkten. Längden representeras vanligtvis av bokstaven $d .$
Omkrets - Längden runt omkring en cirkel, vanligtvis representerad av bokstaven $O .$

Följande cirkel kan kallas cirkel

M

, eftersom dess mittpunkt kallas för

M .

Delar av en cirkel

För vilken cirkel som helst så gäller det att längderna av alla radier är lika med varandra, och längderna av varje diameter också. De är alltså konstanta. Längderna brukar därför kallas för radien och diametern av cirkeln, i stället för en radie respektive en diameter.

Övning

Identifiera delarna av en cirkel

I följande applikation blir du ombedd att klicka på vissa delar av olika cirklar. Välj den delen och se om det är korrekt!

Random Circles

Utforska

Att jämföra mynt

Det finns något som alla mynt har gemensamt förutom att vara runda.

Några mynt

Den här likheten kan hittas genom att mäta myntens omkrets och diameter. Använd följande applet för att dividera omkretsen på varje mynt med dess diameter.

Random Circles

Efter att ha testat några mynt, vad verkar de ha gemensamt?

Teori

Talet pi

Att dividera omkretsen av en cirkel med dess diameter ger alltid samma tal. Chockerande, eller hur!? Denna faktor är sann för alla cirklar och är så viktig att matematiker har gett detta tal ett unikt namn.

Koncept

Pi

Talet pi, vanligtvis skrivet med den grekiska bokstaven

π

, är en konstant definierad som förhållandet mellan omkretsen och diametern av en cirkel. Detta förhållande är detsamma för alla cirklar.

En cirkel med dess diameter och omkrets markerade

Eftersom

π

är ett irrationellt tal så upprepar sig aldrig dess decimaler, och decimalerna tar aldrig slut. Dock avrundas dess värde ofta till

3, 14

för att göra beräkningar enklare. Alternativt kan

π

approximeras med

\frac{2 2}{7} .

$π = 3, 1415926 \dots$

Grafiskt sett är $π$ det antal gånger som cirkelns diameter får plats runt cirkelns omkrets.

Animation som rullar ut en cirkel

Teori

Beräkna en cirkels omkrets

Cirkelns omkrets kan hittas utan att mäta avståndet runt den. Det räcker att känna till diametern eller radien av cirkeln.

Regel

Omkretsen av en cirkel

Omkretsen av en cirkel beräknas genom att multiplicera dess diameter med $π .$

$O = π d$

Detta visas i följande interaktiva bild.

Animation som rullar ut en cirkel

Eftersom diametern är dubbelt så stor som radien kan en cirkels omkrets också beräknas genom att multiplicera

2 r

med

π .

$O = 2 π r$

Exempel

Basketmatchen

En vy ovanifrån av en basketplan visas.

Basketplanen sedd ovanifrån

a Diametern på den blå yttre cirkeln i mitten av planen är

3, 66

meter. Vad är omkretsen av denna cirkel? Avrunda svaret till en decimal.

b Basketkorgen har en omkrets på ungefär

143, 5

centimeter. Vad är radien på korgen? Avrunda svaret till närmaste heltal.

Området där straffkastet ska skjutas

Ledtråd

a Omkretsen av en cirkel beräknas genom att multiplicera dess diameter med

π .

Avrunda

π

till

3, 14 .

b Omkretsen är lika med två gånger radien gånger

π .

Lösning

a Omkretsen av en cirkel beräknas genom att multiplicera dess diameter med

π .

O = π d

Diametern av den yttre cirkeln är

3, 66

meter. Värdet av

π

kan avrundas till

3, 14 .

Sätt in dessa två värden i formeln för att hitta omkretsen, och avrunda sedan till en decimal.

O = π d

$π \approx 3, 14$

O \approx 3, 14 d

$d = 3, 66$

O \approx 3, 14 (3, 66)

Multiplicera faktorer

O \approx 11, 4924

Avrunda till $1$ decimal(er)

O \approx 11, 5

Omkretsen av den yttre cirkeln är ungefär

11.5

meter.

b Börja med att komma ihåg att omkretsen av en cirkel är dubbelt så stor som dess radie gånger

π .

O = π \cdot 2 r

I uppgiften får man veta att omkretsen av basketkorgen ungefär är

143, 5

centimeter. Sätt in

143, 5

i stället för

O

och

3, 14

i stället för

π

i formeln. Lös sedan ut

r

för att få reda på vad radien av basketkorgen är.

O = π \cdot 2 r

$π \approx 3, 14$

O \approx 3, 14 \cdot 2 r

$O = 143, 5$

143, 5 \approx 3, 14 \cdot 2 r

Multiplicera faktorer

143, 5 \approx 6, 28 r

$VL / 6, 28 = HL / 6, 28$

\frac{1 4 3 , 5}{6 , 2 8} \approx r

Omarrangera ekvation

r \approx \frac{1 4 3 , 5}{6 , 2 8}

Beräkna kvot

r \approx 22, 85031 \dots

Avrunda till närmaste heltal

r \approx 23

Basketkorgens radie är alltså ungefär

23

centimeter.

Teori

Området inuti en cirkel

Storleken av området inuti en tvådimensionell figur brukar ofta kallas för figurens area. Arean kan vanligtvis beräknas om man känner till vissa längder i figuren. I fallet med en cirkel så behövs bara dess radie.

Regel

Area av en cirkel

Arean av en cirkel är produkten av $π$ och kvadraten av dess radie.

Cirkel

Övning

Beräkna arean och längder av olika delar av en cirkel

Beräkna värdet av det som efterfrågas av den givna cirkeln. Avrunda svaret till en decimal.

Slumpmässiga cirklar

Extra

Formler

Följande formler används för att omvandla mellan olika delar av en cirkel.

$O = 2 π r$ eller $O = π d .$
$d = 2 r$ eller $r = \frac{d}{2} .$
$A = π r^{2} .$

Illustration

Cirklar och deras tillämpningar

Tänk på ett mäthjul. Det använder två huvudsakliga informationskällor: omkretsen på hjulet och antalet varv som hjulet gör på den sträcka som ska mätas. Om till exempel hjulet har en radie på

0, 4

meter, har det då en omkrets på

0, 8 π

meter. Detta innebär att varje varv av hjulet täcker

0, 8 π

meter eller cirka

2, 5

meter.

Mätverktyg

Mäthjul används i tävlingar som spjutkastning för att avgöra hur långt en atlet kastar ett spjut. Samma mekanism kan användas för att beräkna en bils hastighet. Att dividera hjulens omkrets med tiden det tar att göra ett varv ger färdhastigheten. Kom ihåg, cirklar finns överallt, från stora föremål som ett hjul till mindre som kugghjulen i en klocka.

Gears

Avslut

Cirklar - Nyckelbegrepp

En cirkel är mängden av alla punkter i ett plan som är lika långt från en given punkt. En cirkel har fyra huvuddelar: mittpunkt, radie, diameter och omkrets. Definitionen av varje del kan ses i följande applet genom att klicka på varje begrepp.

Parts of a Cirle

Kvoten av en cirkels omkrets och dess diameter ger alltid samma tal, oavsett cirkelns dimensioner. Detta tal kallas pi och betecknas med

π .

Det är ett irrationellt tal, så dess decimaldelar upprepas eller avslutas aldrig.

\frac{O}{d} = π = 3, 141592 \dots

För att förenkla beräkningar, närmar man ofta

π

till

3, 14 .

Slutligen, när det gäller cirklar, finns det tre viktiga formler.

Formler
Diameter	Omkrets	Area
$d = 2 r$	$O = 2 π r$	$A = π r^{2}$

Dessa tre formler indikerar att känna till radien av en cirkel ofta är en avgörande informationsbit.

Cirklar Åk 7

Cirklar Åk 7

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.