Algebraisk lösning av ekvationssystem

I den andra ekvationen är y-värdet givet så vi sätter in det i den första ekvationen.

Lösningen till ekvationssystemet är x=1 y=1.

Här är x givet i den första ekvationen, så vi sätter in det i den andra ekvationen.

Lösningen är x=5 y=-1.

I den första ekvationen finns ett uttryck för y. Vi byter ut y i den andra ekvationen med detta uttryck, vilket ger oss en ekvation som bara beror av x. Den kan vi sedan lösa för att ta reda på värdet på x.

Nu sätter vi in x=1 i den första ekvationen.

Det spelar ingen roll om x eller y står först i lösningen, men vanligast är att x står överst. Det ger x=1 y=0.

I båda uttrycken står y ensamt i vänsterledet. Vi väljer att sätta in uttrycket från den andra ekvationen i den första, vilket ger oss en ekvation med endast en okänd. Det hade gått precis lika bra att sätta in den första ekvationen i den andra.

Nu har vi fått värdet på x. Vi sätter in det i den andra ekvationen och löser ut y.

Ekvationssystemets lösning är alltså x=-2 y=10.

Här kan vi lösa ut x eller y i någon av ekvationerna och sätter in i den andra. Vi väljer att lösa ut y ur den andra och sätta in uttrycket vi får i den första.

Nu kan vi sätta in x=5 i den andra ekvationen.

Ekvationssystemets lösning är x=5 y=3.

Här väljer vi att lösa ut x ur den första ekvationen och sätta in uttrycket vi får i den andra.

Nu sätter vi in y=-1 i den första ekvationen och löser ut x.

Lösningen till ekvationssystemet är alltså x=-7 y=-1.

När man använder additionsmetoden slår man ihop de två ekvationerna så att en av variablerna försvinner. Detta är en bra metod att använda om man t.ex har 3x i den ena ekvationen och - 3x i den andra eftersom x-termerna då tar ut varandra. I det här fallet finns ett positivt x i ena ekvationen och ett negativt x i den andra, så additionsmetoden är lämplig.

Svaret är alltså att x=3 och y=5.

Vi använder additionsmetoden igen och gör oss av med y först.

Svaret är alltså at x=8 och y=0.

Här har man valt att kalla variablerna a och b istället för x och y. Det gör ingen skillnad! Bokstäverna är bara variabelnamn och vilka man använder spelar ingen roll.

Svaret är alltså att a=7 och b=-7.

Genom att förlänga den andra ekvationen med 3 kan vi använda additionsmetoden för att lösa ut x och y.

Vi använder återigen additionsmetoden genom att förlänga den ena eller den andra ekvation med - 1 så att vi får 8y i den ena och - 8y i den andra. Det spelar ingen roll vilken som blir positiv och vilken som blir negativ, bara den finns en av varje.

Oftast skriver man svaret med x överst, alltså x=- 2 y=- 3/2

I den andra ekvationen finns ett uttryck för y, så vi sätter in det i den första.

I den första ekvationen står nu 56=0. Det gäller aldrig. Därför saknar ekvationssystemet lösningar.

Vi sätter in uttrycket för y i den andra ekvationen.

I den andra ekvationen står 0=0. Det gäller ju alltid, så alla x och y som löser den första ekvationen löser också den andra. Det betyder att ekvationssystemet har oändligt många lösningar.

I den andra ekvationen finns ett uttryck för y så vi sätter in det i den första.

Lösningen till ekvationssystemet är x=1 y=-4.

Vi har 3x i första ekvationen och -3x i den andra. Adderas ekvationerna ledvis försvinner x-termerna och man får en ekvation med en okänd, y.

Ekvationssystemets lösning är x=1 y=3.

I den första ekvationen får man ett uttryck för y direkt så vi sätter in det i det andra.

I den andra ekvationen står det 0=0. Den likheten gäller alltid, oavsett vilka x och y man sätter in. Det betyder att alla lösningar till den första ekvationen också är lösningar till den andra. Därför har ekvationssystemet oändligt många lösningar.

Om vi tittar på högerleden är de 32 och 13. Detta är så många kronor som Anna och Stina handlade för så ekvationerna borde beskriva kostnaderna för godisinköpen. Anna, som handlade 4 klubbor och 12, beräknar sin summa genom att multiplicera 4 med klubbpriset och addera den med produkten av 12 och kolapriset. Den första ekvationen verkar beskriva detta: 4x+12y=32. I så fall måste x vara priset på en klubba och y vara priset på en kola. Vi tittar på den andra ekvationen: 2x+4y=13. Detta måste vara Stinas inköp: hon köpte ju 2 klubbor och 4 kolor. Vi kan alltså konstatera att x är priset på en klubba och y priset på en kola.

Om vi multiplicerar den första ekvationen med -0.5 kan vi använda additionsmetoden för att lösa ekvationssystemet.

Lösningen på ekvationssystemet är alltså x=3.5 och y=1.5. Det betyder att en klubba kostar 3.50 kr och en kola 1.50 kr. Prisskillnaden är alltså 2 kr.

För att avgöra vad variabeln y står för måste vi förstå vad ekvationerna beskriver. Övre ekvationen, 4+x+y=100, beskriver rimligtvis antalet fiskar eftersom Yamal vill ha totalt 100 st., varav 4 ciklider. Variablerna x och y står då för antalet slöjstjärtar och blåtetror. Frågan är bara vilken variabel som representerar vilken fiskart. För att ta reda på det använder vi den nedre ekvationen, 800+50x+10y=3000. Denna bör beskriva kostnaden för fiskarna, eftersom den ska bli totalt 3000 kr. Termerna i vänsterledet representerar då kostnaden för respektive fiskart. Vi ser att koefficienten framför y är 10, så y måste stå för antalet blåtetror eftersom dessa kostar just 10 kr styck.

För att bestämma hur många blåtetror och slöjstjärtar Yamal kan köpa om han köper 100 fiskar för 3000 kr, varav 4 ciklider, kan vi lösa det givna ekvationssystemet 4+x+y=100 800+50x+10y=3000. Vi kan använda exempelvis substitutionsmetoden.

Vi vet sedan föregående deluppgift att y och x står för antalet blåtetror respektive slöjstjärtar, så vi konstaterar att Yamal kan köpa 65blåtetror och31slöjstjärtar.

Vi vet att Torsten sålde 2 korvar och 3 chokladaskar. Om priserna t.ex. var 100 kr för en korv och 50 kr för en chokladask skulle han sålt för totalt 2 * 50+3 * 100 = 400 kr. Nu när priset är s kr för salami och t för tryfflar vet vi att ett uttryck för hur många kronor han totalt sålde för är 2 * s +3 * t. Vi känner till att han sålde för 870 kr, vilket ger oss ekvationen 2s +3t =870.

Samir sålde 12 korvar och 15 chokladaskar för 4650 kr. Med samma resonemang som i förra deluppgiften blir ekvationen 12s +15t =4650.

Kombinerar vi dessa ekvationer får vi ekvationssystemet 2s +3t =870 12s +15t =4650. Det kan lösas med substitutions- eller additionsmetoden. Vi väljer additionsmetoden, eftersom vi då enkelt kan få bort t.ex. t-termerna genom att multiplicera den första ekvationen med -5.

Nu vet vi vad s är. För att beräkna t sätter vi in s=150 i den andra ekvationen.

Lösningen till ekvationssystemet är alltså att s=150 och t=190. Det betyder att en salamikorv kostade 150 kr och en ask med smarriga chokladtryfflar 190 kr.

Man kan lösa det här ekvationssystemet med både substitutionsmetoden och additionsmetoden. Vi visar båda.

Substitutionsmetoden

Vi börjar med att lösa ut y ur den övre ekvationen.

Nu kan vi sätta in y=2x+9 i ekvation (II) för att bestämma x-värdet.

Nu vet vi att x=-2 och sätter in detta värde i ekvation (I) för att bestämma motsvarande y-värde. y=2*(-2)+9 ⇔ y=5 Ekvationssystemets lösning är alltså följande. x=-2 y=5

Additionsmetoden

Vi visar att additionsmetoden ger samma resultat.

Nu sätter vi in x=-2 i ekvation (I) för att bestämma y-värdet. 4* (-2)-2y=-18 ⇔ y=5 Vi får samma lösning: x=-2 och y=5.

I den första ekvationen kan vi addera 2x på båda sidor. Då får vi ett uttryck för y som vi kan sätta in i den andra ekvationen.

Nu har vi ett värde på x. Det sätter vi in i den första ekvationen för att ta fram y-värdet.

Ekvationssystemets lösning är alltså x=-2 y=1 .