Algebraisk lösning av ekvationssystem

En rektangel har två lika långa långsidor och två lika långa kortsidor. Om vi kallar långsidan för x och kortsidan för y kan vi rita följande figur.

Rektangeln har omkretsen 50m. Adderar vi de fyra sidorna ska summan bli 50. Vi får ekvationen x+x+y+y=50 ⇔ 2x+2y=50. Långsidan är 3m längre än kortsidan, så om vi subtraherar y från x blir differensen 3, vilket ger ekvationen x-y=3. Tillsammans bildar dessa följande ekvationssystem: x-y=3 2x+2y=50. Vi löser ekvationssystemet med additionsmetoden.

Sidorna är alltså 11m och 14m.

Vi börjar med att undersöka vad varje ekvation säger. Därefter går vi vidare och bestämmer a och b.

Ekvation (1)

Ekvation (1) säger att a+b är 10. Eftersom a är antal liter lättmjölk och b är antal liter standardmjölk säger ekvationen att den sammanlagda mjölkmängden, a+b, ska vara 10 liter.

Ekvation (2)

Vidare har vi att 0,005a beräknar vad 0,5 % av a liter är. Där får man alltså fram mängden fett i a liter lättmjölk. På motsvarande sätt ger 0,03b mängden fett i b liter standardmjölk. Högerledet 0,015* 10 beräknar mängden fett i 10 liter mellanmjölk. Ekvationen 0,005a + 0,03b = 0,015* 10 säger därför att blandningen av lätt- och standardmjölk ska innehålla lika mycket fett som mellanmjölken de brukar dricka.

Beräkning av a och b

Ekvationerna har satts upp för att beräkna hur många liter av varje de ska blanda för att ge en mjölkdryck som motsvarar den de brukar dricka. Vi undersöker saken genom att lösa ekvationssystemet, vilket kan göras med exempelvis additionsmetoden.

De ska alltså ta 6 liter lättmjölk och blanda med 4 liter standardmjölk för att få 10 liter mellanmjölk.

Vi kallar mängden energi per minut som Fia förbränner när hon springer med "låg" hastighet för x. Det innebär att hon förbränner x kcal varje minut. Under träningspass 1 springer hon i denna hastighet i 20 min vilket innebär att hon under denna tid förbränner 20 * x kcal=20x kcal. På motsvarande sätt kallar vi antal kcal/min hon förbränner i "hög" hastighet för y. Under pass 1 bränner hon då 10 * y kcal i denna hastighet. Totalt förbrukar Fia 300 kcal under pass 1, vilket ger ekvationen 20x+10y=300. På motsvarande sätt vet vi att Fia bränner totalt 280 kcal när hon först springer 10 minuter med "låg" hastighet och därefter 15 minuter med "hög" hastighet. Detta ger oss ekvationen 10x+15y=280. Ekvationerna bildar tillsammans ett ekvationssystem som vi t.ex. kan lösa med additionsmetoden.

När vi bestämt y kan vi beräkna x genom att sätta in y=13 i den första ekvationen.

Fia bränner alltså 8,5.kcal /min. vid "låg" hastighet och 13.kcal /min. vid "hög" hastighet.

Vi har två okända variabler: Hur många timmar Anders arbetade på vardagarna och hur många timmar han arbetade på helgen. Låt oss kalla dem för x och y. Eftersom Anders arbetade 42 timmar totalt kan vi ställa upp ekvationen x+y=42. Vi vet även att Anders totalt tjänade 6 240kr. Multiplicerar vi timlönen på vardagar med antalet arbetade timmar x och timlönen på helgen med antalet arbetade timmar y och summerar ska vi alltså få 6 240kr: 120x+240y=6 240. Nu har vi två ekvationer som båda beskriver antalet timmar Anders arbetade. Vi ställer upp ett ekvationssystem och löser det med exempelvis substitutionsmetoden.

Anders jobbade 10 timmar på helgen och 32 timmar på vardagarna.

Vi använder additionsmetoden och multiplicerar den första ekvationen med 3, vilket ger -9y. I den andra finns 9y. Om man då adderar ekvationerna ledvis försvinner y-termerna och man får en ekvation med endast en okänd kvar, dvs. x.

Nu sätter vi in värdet på x i den första ekvationen.

Ekvationssystemets lösning är alltså x= 38 y= 83.

I det här fallet kan vi addera ekvationerna direkt. Då försvinner y och man får en ekvation med en okänd, x.

Nu kan vi sätta in x-värdet i den andra ekvationen.

Ekvationssystemets lösning är x=- 73 y= 12.

Vi använder substitutionsmetoden och löser ut y ur den andra ekvationen för att sedan sätta in uttrycket i den första.

Nu sätter vi in x=- 133 i den andra ekvationen.

Ekvationssystemets lösning är alltså x=- 133 y= 23.

Eftersom ekvationssystemet ska ha lösningen x=3 y=2b kan vi sätta in detta i systemet.

Nu har vi ett ekvationssystem med bara två okända: a och b. I den andra ekvationen har vi ett uttryck för a så vi kan använda substitutionsmetoden för att lösa ekvationssystemet.

För att ekvationssystemet ska ha lösningen x=3 och y=2b måste alltså konstanterna ha värdena a=4 och b=6,5.

Vi vet att f(2)=1, vilket betyder att när x=2 är f(x)=1. Sätter vi in detta i funktionen får vi 1=k * 2 + m ⇔ 1=2k+m. På samma sätt, om vi använder oss av att f(4)=11, ger det ekvationen 11=4k+m. Nu kan vi ställa upp ett ekvationssystem för att ta reda på k och m: 1=2k+m 11=4k+m Vi löser det med substitutionsmetoden eftersom vi kan lösa ut m ur exempelvis den första ekvationen.

Nu har vi tagit reda på att k=5. Vi sätter in det i den första ekvationen för att även ta reda på m.

Svaret är att k=5 och m=-9.

Vi vet att av 1 100 parkeringsplatser är totalt 675 stycken upptagna av antingen bilar eller mopeder. Om vi kallar antalet bilar för b och antalet mopeder för m kan vi ställa upp ekvationen: b+m=675. Andelen bilar utgör 89 av de upptagna platserna, dvs. om vi delar b med summan b+m ska vi få andelen 89: b/b+m=8/9. Vi förenklar ovanstående ekvation till något enklare.

Nu har vi två ekvationer som beskriver antalet bilar och mopeder på olika sätt. Vi ställer upp ett ekvationssystem och löser ut b och m.

Det finns alltså 75 mopeder i parkeringshuset vilket innebär att 100-75=25 är lediga.

Vi börjar med att rita upp linjerna i ett koordinatsystem. Den ena skär y-axeln i y=-2 och har lutningen 2, medan den andra går igenom y-axeln när y=13 och har lutningen -1.

För att beräkna arean av triangeln som bildas behöver vi veta basen och höjden. Höjden beräknar vi genom att bestämma y-värdet för den punkt där linjerna skär varandra. Den kan vi bestämma genom att lösa ekvationssystemet y=2x-2 y=13-x. Vi kan t.ex. använda substitutionsmetoden.

Linjerna skär varandra i punkten (5,8).

Höjden är 8 le. För att bestämma basen beräknar vi var linjerna skär x-axeln. Det gör vi genom att bestämma för vilka x som y är 0, dvs. linjernas nollställen.

Den ena linjen skär alltså x-axeln vid x=1. Nu beräknar vi den andra linjens nollställe.

Den röda linjen skär x-axeln där x=13.

Avståndet mellan nollställena är 13-1=12 le. Triangeln har alltså basen 12 le. och höjden 8 le. Detta använder vi för att beräkna arean.

Triangelns area är alltså 48 a.e.

Första ekvationen innehåller endast x. Genom att lösa ut denna variabel och sätta in i övriga ekvationer kan vi skapa ett ekvationssystem med enbart två okända.

Lösningen till ekvationssystemet är alltså x=1 y=1 z=- 2.

I detta ekvationssystem har vi ingen ekvation med enbart en variabel. Men vi kan lösa ut antingen a eller c ur den tredje ekvationen. Vi väljer att lösa ut c och sätter sedan in det i övriga ekvationer.

Överst har vi två ekvationer med två ekvationer och två obekanta, så vi fokuserar på dem.

Nu vet vi att b=4, och vi är nästan klara. Vi avslutar med att beräkna c.

Lösningen till ekvationssystemet är alltså a=1,2 b=4 c=0,8.

Vi har ett ekvationssystem med tre okända, men vi har y givet. Så vi börjar med att sätta in y i de två andra ekvationerna och förenkla.

Lösningen till ekvationssystemet är alltså x=2 y=5 z=-1.

I det här ekvationssystemet har vi redan ett uttryck för x. Vi utnyttjar detta och sätter in det i de andra ekvationerna.

Ekvation (II) och (III) bildar nu ett ekvationssystem med två obekanta. Vi lyfter ut detta och löser det med någon metod, t.ex. additionsmetoden.

Nu har vi kommit fram till att z=2. Vi utnyttjar detta för att beräkna y.

Slutligen kan vi sätta in värdet på y i den första ursprungsekvationen för att beräkna värdet på x.

Lösningen till ekvationssystemet är x=-3 y=8 z=2.

Att ekvationen har lösningarna x=1 och x=-3 betyder att om man sätter in de x-värdena kommer likheten att gälla. Det ger oss två nya ekvationer, en för varje rot: l1^2+(a+4)* 1+(b+5)=0 (- 3)^2+(a+4)* (- 3)+(b+5)=0. Här har vi två okända, a och b, och två ekvationer. Det ger oss ett ekvationssystem som vi t.ex. kan lösa med substitutionsmetoden.

Nu sätter vi in uttrycket för a i den andra ekvationen.

Värdena på a och b är alltså a=- 2 b=- 8.