Algebraisk lösning av ekvationssystem

Det finns två okända variabler, strömmens hastighet och Almas hastighet, och vi kallar dessa för v_s respektive v_a. För att beräkna hastighet dividerar man sträcka med tid och vi får två olika hastigheter beroende på om Alma simmar med eller mot strömmen: v=100/80 och v=150/200. När Alma simmar med strömmen rör sig älven och Alma åt samma håll och då blir den totala hastigheten summan av hastigheterna. När hon simmar mot strömmen är hastigheterna riktade åt olika håll, vilket betyder att strömmens hastighet subtraheras från Almas: v_a+v_s=100/80 och v_a-v_s=150/200. Nu har vi beskrivit strömmens hastighet och Almas hastighet i två olika ekvationer och kan då ställa upp ett ekvationssystem och lösa ut v_a och v_s.

Strömmens hastighet är v_s så den är 0,25.m /s..

Ekvationssystemet innehåller ett a, men eftersom a behandlas som en konstant löser vi ekvationssystemet som vanligt med exempelvis substitutionsmetoden. Vi börjar med att lösa ut y.

Nu sätter vi in uttrycket för y i den första ekvationen och löser ut x.

Nu vet vi att x= 10a+15. Vi får ut y genom att sätta in uttrycket i den andra ekvationen och skriver sedan om det så att hela uttrycket står på samma bråkstreck.

Beroende på värdet på a får vi ut olika värden på x och y. Men om a=- 15 får vi nolldivision vilket gör att både x och y blir odefinierade. Det innebär alltså att ekvationssystemet saknar lösningar då a=- 15.

Låt oss kalla antalet liter saftkoncentrat som Olle behöver från SAFT2000-flaskan för a och antalet liter av den svagare saften som behövs för b. Dessa delar ska tillsammans ge 9 liter välsmakande saft: a+b = 9. Från etiketten vet vi att välsmakande saft innehåller 1 del saftkoncentrat plus 4 delar vatten. Så om vi delar mängden saftkoncentrat med mängden vatten i blandningen ska vi få kvoten 14. Liter saftkoncentrat/Liter vatten=1/4 I ekvationen är täljaren summan av det Olle häller från SAFT2000-flaskan och delen saftkoncentrat i blandningen som Albin har gjort, dvs. 10 % av b eller 0,1b . Nämnaren är delen vatten det finns i den svaga saften, dvs. 0,9b. Vi ersätter täljaren och nämnaren med dessa uttryck och får då följande: a+0,1b/0,9b=1/4. Nu har vi två samband mellan a och b och kan bilda ett ekvationssystem. Men först förenklar vi ovanstående ekvation en aning.

Nu ställer vi upp ett ekvationssystem och löser det med substitutionsmetoden.

Olle ska alltså använda 8 liter av den svaga saften och allt saftkoncentrat i SAFT2000-flaskan.

Vi kallar värdet för en jordgubbe för j, värdet för ett blåbär för b och hallon för h. Med hjälp av informationen i uppgiften kan vi ställa upp följande ekvationssystem: 7j+2b+h=75 2j+3b+4h=120 3j+4b+2h=95. Eftersom h står ensamt i den första ekvationen kan vi t.ex. lösa ut det och sätta in i ekvation (II) och (III) samt förenkla.

Nu vet vi att j=5, dvs. jordgubbarna var värda 5 poäng. Vi sätter in det i de ekvation (I) och (II) och får då ett ekvationssystem med två ekvationer och okända.

Alltså var jordgubbarna värda 5 poäng styck, blåbären 10 poäng och hallonen 20 poäng.

Det givna ekvationssystemet kan se komplicerat ut, och vi vet inte hur man löser icke-linjära ekvationssystem än, men som tur är behöver vi inte kunna det eftersom vi redan har fått lösningen. Vi vet att båda ekvationerna ska stämma om man sätter in x = 9 och y = - 2 i dem. Gör vi det försvinner alla x och y och vi får kvar ett linjärt ekvationssystem.

Nu har vi ett vanligt linjärt ekvationssystem med de två okända variablerna a och b som kan lösas med valfri metod. Eftersom b redan står ensamt i högerledet av första ekvationen använder vi substitutionsmetoden.

Vi har alltså kommit fram till att a = 3 och b = 5.

I den tredje ekvationen kan vi lösa ut y. Vi gör det och sätter in uttrycket vi får i de andra ekvationerna.

I den andra ekvationen kan vi nu lösa ut x och sätta in i den första.

Nu har vi ett värde på z. Vi sätter in det i de andra ekvationerna.

Lösningen till ekvationssystemet är x=2 y=8 z=-3.

Vi löser ut x i den första ekvationen och sätter in i de andra.

I den sista ekvationen kan vi nu lösa ut z.

y är lika med 0. Det sätter vi in i de andra ekvationerna.

Ekvationssystemets lösning är x=10 y=0 z=-5.

Man kan lösa ekvationssystemet med substitutionsmetoden, men vi rekommenderar starkt additionsmetoden. Undersöker vi det närmare ser vi att vi kan lösa ut en variabel i varje ekvation genom att addera en av de andra ekvationerna. x+y+z+v+w=1 & (I) x-y-z-v-w=1 & (II) - x-y+z+v+w=- 7 & (III) x+y+z-v-w=13 & (IV) - x-y-z+v-w=11 & (V) Adderar vi (I) och (II) tar y, z, v och w ut varandra i vänsterledet och bara x blir kvar.

Så x är alltså 1. På motsvarande sätt kan vi lösa ut fler okända genom att kombinera ihop olika ekvationer. Vi löser ut y genom att utgå ifrån t.ex. ekvation (II) och sedan addera en ekvation där alla okända utom y har motsatta tecken. Detta gäller för ekvation (III).

På motsvarande sätt löser vi ut z genom att addera (III) och (IV).

För att lösa ut v adderar vi (I) och (V).

Nu har vi bestämt alla variabler utom w. x=1 y=3 z= 3 v= 6 För att lösa ut w kan vi sätta in övriga variabler i exempelvis ekvation (I).

Nu har vi löst ut alla variabler i ekvationssystemet. Sammanfattningsvis är alltså lösningen: x=1 y=3 z= 3 v= 6 w= - 12

För att teckna ett generellt uttryck för materialkostnaden behöver vi veta två saker:

1. plattans pris per kvadratmeter
2. trälistens pris per meter.

Eftersom vi känner till materialkostnaden för respektive anslagstavla, samt vet att kvadratmeter- och meterpriserna är samma för båda storlekar, kan vi bestämma dessa priser genom att ställa upp och lösa ett ekvationssystem.

Vi kan kalla kvadratmeterpriset för x och meterpriset för y. För att ställa upp ekvationerna som beskriver respektive tavlas materialkostnad måste vi bestämma arean av respektive platta och totala längden av respektive trälist. Vi tittar på tavlorna en i taget.

Mindre anslagstavlan

Ramen på anslagstavlorna är 5cm bred och monteras så att den går 2cm in över plattans framsida. För att bestämma plattans längd och bredd måste vi därför dra bort totalt 6cm (3cm från varje ände) från den angivna längden och bredden.

Den mindre plattan har alltså bredden 30cm och längden 40cm, vilket innebär att den har arean 30* 40=1 200 cm^2 = 0,12 m^2 Vi får kostnaden för plattan genom att multiplicera arean med plattans kvadratmeterpris, x: 0,12xkr. Nu bestämmer vi trälistens totala längd. För att tillverka ramen krävs fyra träbitar: två för kortsidorna och två för långsidorna. Innan hörnen sågas till för att listerna ska kunna sättas ihop ser de ut såhär.

Vi adderar bitarnas längder för att bestämma listens totala längd: 2* 46+2* 36=164 cm=1,64 m. Kostnaden för trälisten får vi genom att multiplicera dess längd med meterpriset, y: 1,64ykr. Vi adderar nu kostnaden för plattan och listen och likställer det med totala materialkostnaden för anslagstavlan, 59kr, för att få en av ekvationerna till vårt ekvationssystem. 0,12x+1,64y=59

Större anslagstavlan

Vi gör på samma sätt för den större anslagstavlan. Dess längd är 56cm och bredden är 46cm, och eftersom ramen går 2cm in över plattan även nu måste vi på samma sätt som tidigare dra bort 3cm i varje ände. Själva plattans längd och bredd blir alltså 50cm respektive 40cm. Dess totala area blir då 40* 50=2 ,000 cm^2 = 0,2 m^2 Kostnaden för plattan är alltså 0,2xkr. För att bestämma trälistens totala längd adderar vi längderna av alla sidor: 2* 56+2* 46=204 cm = 2,04 m. Trälisten kostar alltså 2,04ykr. Nu adderar vi kostnaderna för plattan och listen och likställer med materialkostnaden, 81kr, för att få den andra ekvationen. 0,2x+2,04 y=81.

Ekvationssystem

Nu bestämmer vi kvadratmeterpriset, x, och meterpriset, y, genom att ställa upp och lösa ekvationssystemet med ekvationerna från ovan. 0,12x+1,64y=59 & (I) 0,2x+2,04y=81 & (II) Vi väljer att lösa ekvationssystemet med additionsmetoden.

Plattan kostar alltså 150kr per kvadratmeter och trälisten 25kr per meter.

Generellt uttryck

Nu kan vi ställa upp ett generellt uttryck för en anslagstavla som är a meter bred och b meter lång. Som nämnts går ramen 2cm in över plattan så vi måste subtrahera 3cm från alla ändar. Eftersom a och b har enheten m medan måtten i ritningen är i cm får vi 100b och 100a då de ska anges i cm.

Plattans bredd och längd i meter blir alltså &Bredd: (a-0,06) m &Längd: (b-0,06) m. Vi bestämmer det totala priset för plattan genom att multiplicera kvadratmeterpriset med plattans area, som är produkten av dess bredd och längd: 150(a-0,06)(b-0,06)kr. Vi kan även bestämma kostnaden för trälisten genom att multiplicera meterpriset med trälistens totala längd, 2a+2b: 25(2a+2b)=50a+50bkr. Genom att addera kostnaderna för plattan och trälisten får vi ett uttryck för anslagstavlans totala kostnad.

Det generella uttrycket för kostnaden av en anslagstavla som är a meter bred och b meter lång är alltså 150ab+41a+41b+0,54.