Cirkel och cirkelsektor

body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Koncept

Cirkel

En cirkel är mängden av alla punkter i ett tvådimensionellt plan som ligger lika långt från en given punkt. Cirklar har några särskilt viktiga egenskaper.

Mittpunkt - Den givna punkten som alla punkter på cirkeln ligger lika långt bort från. Namnet av cirklar är ofta detsamma som cirkelns mittpunkt.
Radie - Sträckan mellan cirkelns mittpunkt och vilken punkt som helst på cirkeln. Längden av sträckan representeras vanligtvis av bokstaven $r .$
Diameter - En sträcka vars ändpunkter ligger på cirkeln och som passerar genom mittpunkten. Längden representeras vanligtvis av bokstaven $d .$
Omkrets - Längden runt omkring en cirkel, vanligtvis representerad av bokstaven $O .$

Följande cirkel kan kallas cirkel

M

, eftersom dess mittpunkt kallas för

M .

Delar av en cirkel

För vilken cirkel som helst så gäller det att längderna av alla radier är lika med varandra, och längderna av varje diameter också. De är alltså konstanta. Längderna brukar därför kallas för radien och diametern av cirkeln, i stället för en radie respektive en diameter. Följande formler används för att hitta omkretsen och arean av en cirkel med radie

r .

Formler för en cirkel med radie $r$
Radie	$r = \frac{d}{2}$
Diameter	$d = 2 r$
Omkrets	$C = π d$ $C = 2 π r$
Area	$A = π r^{2}$

Koncept

Sektor av en cirkel

En cirkelsektor är en del av cirkeln som omsluts av två radier och en båge.

Sektor av en cirkel

I diagrammet skapas sektor

A C B

av

\overline{A C},

\overline{B C},

och

A B .

Regel

Area av en cirkel

Arean av en cirkel är produkten av $π$ och kvadraten av dess radie.

Cirkel

Bevis

Informell förklaring

En cirkel med radie $r$ kan delas upp i ett antal lika stora sektorer. Därefter kan den övre och nedre halvan av cirkeln delas upp genom att måla dem med olika färger. Eftersom omkretsen av en cirkel är $2 π r$ så är båglängden av varje halvcirkel hälften av detta värde, dvs. $π r .$

Nu ska de sektorerna i bilden vecklas ut. Om sektorerna i den övre halvcirkeln placeras som tänder som pekar nedåt, och sektorerna i den nedre halvcirkeln placeras som tänder som pekar uppåt, kan en figur bildas som liknar en parallellogram. Eftersom vi bara har flyttat på delarna, och inte ändrat på deras storlek, så borde den nya figurens area vara densamma som cirkelns area.

Det kan noteras att om cirkeln delas upp i ett större antal mindre sektorer, kommer figuren att börja se mer och mer ut som en rektangel.

Här blir figurens kortare sidor mer vertikala och de längre sidorna mer horisontella. Om cirkeln delas upp i oändligt många sektore så kommer figuren att bli en perfekt rektangel, där längden av basen är

π r,

och höjden är

r .

Eftersom arean av en rektangel är produkten av dess

h \ddot{o} jd

och dess

bas,

kan följande formel härledas.

$A = π r \cdot r \Leftrightarrow A = π r^{2}$

Därför är arean av en cirkel lika med $π$ gånger radien i kvadrat.

Regel

Omkretsen av en cirkel

Omkretsen av en cirkel beräknas genom att multiplicera dess diameter med $π .$

$O = π d$

Detta visas i följande interaktiva bild.

Animation som rullar ut en cirkel

Eftersom diametern är dubbelt så stor som radien kan en cirkels omkrets också beräknas genom att multiplicera

2 r

med

π .

$O = 2 π r$

Bevis

Tänk dig två cirklar och deras respektive diametrar och omkretsar.

Enligt satsen om likformiga cirklar är alla cirklar likformiga. Därför är deras motsvarande delar proportionella.

\frac{O _{B}}{O _{A}} = \frac{d _{B}}{d _{A}}

Denna proportion kan omarrangeras.

\frac{O _{B}}{O _{A}} = \frac{d _{B}}{d _{A}}

▼

Omarrangera ekvation

$VL \cdot O_{A} = HL \cdot O_{A}$

O_{B} = \frac{d _{B}}{d _{A}} (O_{A})

$VL / d_{B} = HL / d_{B}$

\frac{O _{B}}{d _{B}} = \frac{1}{d _{A}} (O_{A})

MoveRightFacToNumOne

$\frac{1}{b} \cdot a = \frac{a}{b}$

\frac{O _{B}}{d _{B}} = \frac{O _{A}}{d _{A}}

Därför är förhållandet mellan omkretsen och diametern alltid detsamma för två cirklar, oavsett vilka cirklar det är. Detta betyder att detta förhållande är konstant. Denna konstant är definierad som

π .

Med denna information kan det visas att omkretsen av en cirkel är produkten av dess diameter och

π .

$\frac{O}{d} = π \Rightarrow O = π d$

Övningar

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.