Vinklar och trianglar

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Vinkel

En vinkel mäter en vridning och har ofta enheten grader. Vinkeln 00^\circ innebär ingen vridning alls och 360360^\circ motsvarar ett helt varv.

Spetsig vinkel och annan vinkel

Beroende på storleken ges vinklar olika namn, och i intervallet 0<v1800^\circ<v\leq180^\circ delas de upp i fyra kategorier: spetsiga, räta, trubbiga och raka. En rak vinkel är detsamma som ett halvt varv.

Uppgift

Bestäm storleken på vinkel x.x.

Lösning
Vinklarna bildar tillsammans en rak vinkel, så summan av dem är 180180^\circ. Det betyder att x+138=180x+138^\circ=180^\circ. Vi löser ut xx ur ekvationen genom att subtrahera 138138^\circ från båda led.
x+138=180x+138^\circ=180^\circ
x=180138x=180^\circ-138^\circ
x=42x=42^\circ

Vinkel xx är alltså 4242^\circ.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Triangel

En triangel är en polygon med tre hörn, sammanbundna av tre raka sidor. Vinkelsumman är alltid 180.180^\circ. Vissa sorters trianglar förekommer ofta och har därför fått egna namn.

Rätvinklig

Liksidig

Likbent

Återställ

Uppgift

Vad är vinkeln vid hörn CC?

Skills Bestamma vinkel med vinkelsumma3.svg
Lösning

Vinkel AA är 5656^\circ och vinkeln BB är rät, det vill säga 9090^\circ. Summan av vinklarna A,A, BB och CC ska vara lika med vinkelsumman för en triangel: 180.180^\circ. Detta bildar en ekvation, som man kan lösa med t.ex. balansmetoden.

56+90+C=18056^\circ+90^\circ+C=180^\circ
146+C=180146^\circ+C=180^\circ
C=34C=34^\circ

Vinkeln vid hörn CC är alltså 3434^\circ.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Pythagoras sats

Om en triangel är rätvinklig gäller Pythagoras sats, som anger sambandet mellan de tre sidornas längder. Den längsta sidan i triangeln, hypotenusan, betecknas oftast med c och de två andra sidorna, som kallas kateter, med a och b.

Pythagoras sats384.svg

Enligt Pythagoras sats gäller att summan av kateternas kvadrater är lika med kvadraten av hypotenusan.

a2+b2=c2a^2+b^2=c^2

Uppgift

Bestäm den okända sidan i triangeln. Längderna är angivna i cm.

Skillpythagoras.svg
Lösning

Vi har fått längderna för de två katetrarna i triangeln, alltså aa och bb i Pythagoras sats: a2+b2=c2. a^2 + b^2 = c^2. Den okända sidan, xx, är hypotenusan och betecknas av cc i satsen. Vi sätter in de kända sidorna och löser ut xx.

a2+b2=c2a^2+b^2=c^2
52+122=x25^2+12^2=x^2
25+144=x225+144=x^2
169=x2169=x^2
x2=169x^2=169
x=±169x=\pm \sqrt{169}
x=±13x=\pm 13
x>0 x \gt 0
x=13x= 13

Hypotenusan xx är alltså 13 cm lång. Vi fick ett negativt resultat också, men eftersom det är en längd vi är ute efter måste den vara positiv.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Notation inom geometri

Geometri innehåller en hel del speciella tecken och symboler som är bra att känna till.

Notation

Trianglar: \triangle

En triangel kan betecknas med symbolen \triangle följt av bokstäverna vid dess hörn. Triangeln nedan benämns alltså ABC\triangle ABC. En viss sida i en triangel kan anges med sidans start- och slutpunkt, t.ex. sidan mellan hörn AA och BB kallas AB.AB.

Notation geometri 122938.svg

Notation

Vinklar: \wedge eller \angle

För att namnge en vinkel används tecknet \wedge eller ibland \angle, följt av en bokstav. Exempelvis kan den röda vinkeln i triangeln betecknas B.\wedge B.

Notation geometri 121346.svg

Om en linje dras från B\wedge B mot sidan ACAC delas vinkel BB i två mindre vinklar. Nu är det inte längre entydigt vad som är B\wedge B. Menar man den blå vinkeln som bildades i figuren nedan kallar man den ABD\wedge ABD: man utgår ifrån hörn AA, följer vinkelbenet mot BB och sedan till hörn D.D. På motsvarande sätt kan man kalla hela den röda vinkeln för ABC\wedge ABC och den gröna DBC\wedge DBC .

Notation geometri 442215.svg

Notation

Lika stora sidor eller vinklar: |, || eller |||

Är två eller fler sidor lika stora kan man markera att de är det med ett streck genom sidornas mittpunkter. Finns det fler sidor som är lika stora markeras dessa med två streck, nästa med tre osv. Samma notation används för att markera vinklar som är lika stora. I figuren är den blå och gröna triangeln likbenta vilket innebär att två sidor och basvinklarna i respektive triangel är lika.

Notation geometri lika 12234.svg


Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm trianglarnas okända vinklar.


a
Exercise716 3.svg
b
Exercise716 4.svg
1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hur lång är sidan x i trianglarna?


a
Exercise709 1.svg
b
Exercise709 2.svg
1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm vinkeln v.v.

Exercise737 3.svg
1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm vinkeln v.v.

Exercise731 1.svg
1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

MM är mittpunkt i rektangeln ABCD.ABCD. Besvara frågorna med hjälp av figuren.

Uppg943 1.svg


a

Hur stor är AMC\wedge AMC?

b

Hur stor är ABD\wedge ABD?

c

Vilka vinklar är 3737 ^\circ?

d

Har ABC\triangle ABC eller CMD\triangle CMD störst area?

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Parkeringsplatsen är 3030 m bred och 6060 m lång. Dogge står vid ena hörnet och ska till det motsatta. Hur lång är den kortaste vägen dit?

Exercise378 1.svg
1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I figuren visas två räta linjer som skär varandra. Bestäm vinklarna x, y och z.

Uppgift740 5.svg
1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna vinkeln v.v.

Nationella provet VT02 MaA
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En triangel är både rätvinklig och likbent. Bestäm triangelns vinklar och den sista sidlängden om kateterna är 5 cm långa. Svara exakt.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En likbent triangel har en vinkel som är 50.50^\circ. Bestäm de andra vinklarna.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En fyrhörning ABCDABCD har delats in i två trianglar.

Exercise944 1.svg


a

Skriv två olika notationer för vinkeln vid hörn B.B.

b

Vilken vinkel är BDC?\wedge BDC?

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilket eller vilka av följande påståenden om trianglar är sant/sanna? Motivera.

  1. En triangel kan ha en trubbig vinkel.
  2. Höjden är alltid vinkelrät mot basen.
  3. Alla vinklar är alltid spetsiga.
  4. Det måste finnas minst två spetsiga vinklar.
2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hur stor är vinkeln BDC\wedge BDC?

Exercise765 1 1.svg
2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Två likadana femvåningshus står 1515 meter ifrån varandra. Alla våningsplan är identiska och det är 3.23.2 meter mellan varje. Ramon bor på tredje våningen i det ena huset och vill sätta upp en burktelefon till det andra huset. Hur lång lina behöver han skaffa om telefonen ska kunna nå vilken våning som helst?

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En regelbunden femhörning delas in i tre trianglar.

Exercise733 1.svg

Bestäm vinklarna i den blå triangeln om du vet att vinkelsumman i en femhörning är 540.540^\circ.

2.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hur stor blir vinkeln mellan visarna på en klocka då den är


a

02:00?

b

15:30?

2.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du och dina vänner har fått i uppgift av kommunen att resa ett trafikljus som ni krockat med under en festival. Ni fäster ett rep i stolpen så att repet sitter 3.5 m från dess fot som i figuren.

Exercise379 1.svg

Hur långt ifrån trafikljuset står du när ni rest det om du har 8 m rep framför dig och repet hålls 0.4 meter över marken?

Exercise379 1 2.svg
2.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hur stor del av figuren är skuggad?

Nationella provet VT02 MaA
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Cirkeln nedan har radien r. Beräkna vinkeln v.

Exercise761 1 1.svg
3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En regelbunden femhörning har omkretsen 200200 cm och arean 2750 cm22\,750 \text{ cm}^2. Vilken höjd har den?

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hur lång är rymddiagonalen i rummet nedan?

Exercise382 1.svg
Nivå 4
4.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Två halvcirklar är inskrivna i en kvadrat med sidan 10 cm enligt figuren. De nuddar precis varandra i den röda punkten, vilket innebär att de tangerar varandra. Genom den punkten kan man dra en linje (tangent) som är vinkelrät mot båda cirklarnas radier.

Exercise706 1.svg

Beräkna kvoten mellan den blå och den gröna arean. Svara exakt och på enklaste form.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}