body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Rekommenderade

Tester

Ett fel uppstod, försök igen senare!

eKurser /

Matematik 1a /

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

Visa mindre Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Vinkel
Vinkeltyper
Triangel
Pythagoras sats
Notation inom geometri

Teori

Vinkel

En vinkel är en plan figur som bildas av två strålar som har samma startpunkt. Denna gemensamma punkt kallas för vinkelspetsen och strålarna är vinkelben.

Det finns olika sätt att beteckna en vinkel och ofta använder man symbolen $\land$ framför namnet. Ett sätt att namnge en vinkel är att använda punkten som utgör vinkelspetsen. Ett annat sätt är att använda alla tre punkter som används för att beskriva vinkeln. I detta fall skrivs punkten som utgör vinkelspetsen alltid i mitten av namnet, men däremot används inte alltid symbolen $\land .$ Utöver dessa sätt så kan vinklar ibland namnges med gemena latinska och grekiska.

	Notation
Vinkelspets	$\land B$
Vinkelspets och en punkt på varje stråle	$\land A B C$ eller $\land C B A$
Vinkelspets och en punkt på varje stråle, utan $\land$	$A B C$ eller $C B A$
Grekiska bokstäver	T.ex. $\land α$ eller $\land β$ eller $\land θ$

Ibland används symbolen $∠$ i stället för $\land$ för att beteckna vinklar. Värdet av en vinkel är antalet grader mellan vinkelbenen. Det kan mätas med hjälp av en gradskiva.

Insida och utsida av en vinkel

En vinkel kan dela in ett plan i två delar.

Området mellan vinkelbenen, eller vinkels insida.
Området utanför vinkelbenen, eller vinkels utsida.

Dessa områden kan undersökas i följande applikation.

Notera att vinkelns insida är det område där vinkeln är mindre än

18 0^{\circ} .

Teori

Vinkeltyper

Beroende på storleken ges vinklar olika namn, och i intervallet $0^{\circ} < v \leq 18 0^{\circ}$ delas de upp i fyra kategorier: spetsiga, räta, trubbiga och raka. En rak vinkel är detsamma som ett halvt varv.

Exempel

Bestäm den okända vinkeln

Bestäm storleken på vinkel $x .$

Ledtråd

De två givna vinklarna bildar en rak vinkel.

Lösning

Vinklarna bildar tillsammans en rak vinkel, så summan av dem är

18 0^{\circ} .

Det betyder att

x + 13 8^{\circ} = 18 0^{\circ} .

Vi löser ut

x

ur ekvationen genom att subtrahera

13 8^{\circ}

från båda led.

x + 13 8^{\circ} = 18 0^{\circ}

SubEqn

$VL - 13 8^{\circ} = HL - 13 8^{\circ}$

x = 18 0^{\circ} - 13 8^{\circ}

SubTerm

Subtrahera term

x = 4 2^{\circ}

Vinkel

x

är alltså

4 2^{\circ} .

Teori

Triangel

En triangel är en polygon med tre vinklar och tre sidor. Symbolen

△

används för att skriva namnet på en triangel. Bredvid denna symbol skrivs triangelns tre hörn i vilken ordning som helst. Till exempel kan en triangel med hörn

A,

B

och

C

skrivas som både

△ A B C

och

△ B C A .

Trianglar kan delas in i kategorier baserat på antingen deras sidlängder eller deras vinklar.

Interaktiv triangel med ett flyttbart hörn.

I följande tabell finns alla olika typer av trianglar, indelade i olika grupper baserat på om de har att göra med triangelns vinklar eller sidlängder.

Typer av trianglar
Vinklar	Sidlängder
Spetsvinklig triangel	Likbent triangel
Rätvinklig triangel	Liksidig triangel
Trubbvinklig triangel	Liksidig triangel

Övning

Avgör typen av trianglar

Bestäm om triangeln är spetsig, rät, trubbig, likbent eller liksidig.

slumpmässigt genererade trianglar av olika typer

Exempel

Hur stor är tredje vinkeln i triangeln?

Vad är vinkeln vid hörn $C ?$

Ledtråd

Summan av de inre vinklarna i en triangel är $18 0^{\circ} .$

Lösning

Vinkel

A

är

5 6^{\circ}

och vinkeln

B

är rät, det vill säga

9 0^{\circ} .

Summan av vinklarna

A,

B

och

C

ska vara lika med vinkelsumman för en triangel:

18 0^{\circ} .

Detta bildar en ekvation, som man kan lösa med t.ex. balansmetoden.

5 6^{\circ} + 9 0^{\circ} + C = 18 0^{\circ}

SimpTerms

Förenkla termer

14 6^{\circ} + C = 18 0^{\circ}

SubEqn

$VL - 14 6^{\circ} = HL - 14 6^{\circ}$

C = 3 4^{\circ}

Vinkeln vid hörn

C

är alltså

3 4^{\circ} .

Övning

Beräkna den saknade vinkeln

Beräkna vinkeln som saknas i varje triangel.

En applet som frågar efter måttet på en inre vinkel givet måtten på de två andra.

Teori

Pythagoras sats

För rätvinkliga trianglar är hypotenusan i kvadrat lika med summan av kvadraterna på kateterna.

Extra

Lite om Pythagoras

Denna sats är uppkallad efter den grekiska filosofen och matematikern Pythagoras, som levde på $500 -$ talet f.Kr. Pythagoras anses vara en av de första matematikerna som använde irrationella tal i sina beräkningar. Dessutom studerade han perfekta kroppar, perfekta tal och polygontal, bland andra ämnen. Här är definitionen av perfekta tal tillsammans med några exempel.

Pythagoras tillskrivs också andra upptäckter och bidrag till astronomi och filosofi. Med allt detta, fundera över detta roliga faktum: Det finns inga böcker eller anteckningar skrivna av Pythagoras själv!

Exempel

Bestäm okänd sida i en rätvinklig triangel

Bestäm den okända sidan i triangeln. Längderna är angivna i cm.

Ledtråd

Använd Pythagoras sats.

Lösning

Vi har fått längderna för de två katetrarna i triangeln, alltså

a

och

b

i Pythagoras sats:

a^{2} + b^{2} = c^{2} .

Den okända sidan,

x,

är hypotenusan och betecknas av

c

i satsen. Vi sätter in de kända sidorna och löser ut

x .

a^{2} + b^{2} = c^{2}

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

5^{2} + 1 2^{2} = x^{2}

▼

Lös ut

x

CalcPow

Beräkna potens

25 + 144 = x^{2}

AddTerms

Addera termer

169 = x^{2}

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

x^{2} = 169

SqrtEqn

$VL = HL$

x = \pm 169

CalcRoot

Beräkna rot

x = \pm 13

$x > 0$

x = 13

Hypotenusan

x

är alltså

13

cm lång. Vi fick ett negativt resultat också, men eftersom det är en längd vi är ute efter måste den vara positiv.

Teori

Notation inom geometri

Geometri innehåller en hel del speciella tecken och symboler som är bra att känna till.

Notation

Trianglar:

△

En triangel kan betecknas med symbolen $△$ följt av bokstäverna vid dess hörn. Triangeln nedan benämns alltså $△ A B C .$ En viss sida i en triangel kan anges med sidans start- och slutpunkt, t.ex. sidan mellan hörn $A$ och $B$ kallas $A B .$

Notation

Vinklar:

\land

eller

∠

För att namnge en vinkel används tecknet $\land$ eller ibland $∠,$ följt av en bokstav. Exempelvis kan den röda vinkeln i triangeln betecknas $\land B .$

Om en linje dras från $\land B$ mot sidan $A C$ delas vinkel $B$ i två mindre vinklar. Nu är det inte längre entydigt vad som är $\land B .$ Menar man den blå vinkeln som bildades i figuren nedan kallar man den $\land A B D :$ man utgår ifrån hörn $A,$ följer vinkelbenet mot $B$ och sedan till hörn $D .$ På motsvarande sätt kan man kalla hela den röda vinkeln för $\land A B C$ och den gröna $\land D B C .$

Notation

Lika stora sidor eller vinklar: |, || eller |||

Är två eller fler sidor lika stora kan man markera att de är det med ett streck genom sidornas mittpunkter. Finns det fler sidor som är lika stora markeras dessa med två streck, nästa med tre osv. Samma notation används för att markera vinklar som är lika stora. I figuren är den blå och gröna triangeln likbenta vilket innebär att två sidor och basvinklarna i respektive triangel är lika.

Laddar innehåll

{{ article.displayTitle }}

Förkunskaper

Insida och utsida av en vinkel

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

Extra

Ledtråd

Lösning

Notation

Notation

Notation