Vinklar och trianglar

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Vinkel

En vinkel mäter en vridning och har ofta enheten grader. Vinkeln 00^\circ innebär ingen vridning alls och 360360^\circ motsvarar ett helt varv.

Spetsig vinkel och annan vinkel

Beroende på storleken ges vinklar olika namn, och i intervallet 0<v1800^\circ<v\leq180^\circ delas de upp i fyra kategorier: spetsiga, räta, trubbiga och raka. En rak vinkel är detsamma som ett halvt varv.

Uppgift

Bestäm storleken på vinkel x.x.

Lösning
Vinklarna bildar tillsammans en rak vinkel, så summan av dem är 180180^\circ. Det betyder att x+138=180x+138^\circ=180^\circ. Vi löser ut xx ur ekvationen genom att subtrahera 138138^\circ från båda led.
x+138=180x+138^\circ=180^\circ
x=180138x=180^\circ-138^\circ
x=42x=42^\circ

Vinkel xx är alltså 4242^\circ.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Triangel

En triangel är en polygon med tre hörn, sammanbundna av tre raka sidor. Vinkelsumman är alltid 180.180^\circ. Vissa sorters trianglar förekommer ofta och har därför fått egna namn.

Rätvinklig

Liksidig

Likbent

Återställ

Uppgift

Vad är vinkeln vid hörn CC?

Skills Bestamma vinkel med vinkelsumma3.svg
Lösning

Vinkel AA är 5656^\circ och vinkeln BB är rät, det vill säga 9090^\circ. Summan av vinklarna A,A, BB och CC ska vara lika med vinkelsumman för en triangel: 180.180^\circ. Detta bildar en ekvation, som man kan lösa med t.ex. balansmetoden.

56+90+C=18056^\circ+90^\circ+C=180^\circ
146+C=180146^\circ+C=180^\circ
C=34C=34^\circ

Vinkeln vid hörn CC är alltså 3434^\circ.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Pythagoras sats

Om en triangel är rätvinklig gäller Pythagoras sats, som anger sambandet mellan de tre sidornas längder. Den längsta sidan i triangeln, hypotenusan, betecknas oftast med c och de två andra sidorna, som kallas kateter, med a och b.

Pythagoras sats384.svg

Enligt Pythagoras sats gäller att summan av kateternas kvadrater är lika med kvadraten av hypotenusan.

a2+b2=c2a^2+b^2=c^2

Uppgift

Bestäm den okända sidan i triangeln. Längderna är angivna i cm.

Skillpythagoras.svg
Lösning

Vi har fått längderna för de två katetrarna i triangeln, alltså aa och bb i Pythagoras sats: a2+b2=c2. a^2 + b^2 = c^2. Den okända sidan, xx, är hypotenusan och betecknas av cc i satsen. Vi sätter in de kända sidorna och löser ut xx.

a2+b2=c2a^2+b^2=c^2
52+122=x25^2+12^2=x^2
25+144=x225+144=x^2
169=x2169=x^2
x2=169x^2=169
x=±169x=\pm \sqrt{169}
x=±13x=\pm 13
x>0 x \gt 0
x=13x= 13

Hypotenusan xx är alltså 13 cm lång. Vi fick ett negativt resultat också, men eftersom det är en längd vi är ute efter måste den vara positiv.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Notation inom geometri

Geometri innehåller en hel del speciella tecken och symboler som är bra att känna till.

Notation

Trianglar: \triangle

En triangel kan betecknas med symbolen \triangle följt av bokstäverna vid dess hörn. Triangeln nedan benämns alltså ABC\triangle ABC. En viss sida i en triangel kan anges med sidans start- och slutpunkt, t.ex. sidan mellan hörn AA och BB kallas AB.AB.

Notation geometri 122938.svg

Notation

Vinklar: \wedge eller \angle

För att namnge en vinkel används tecknet \wedge eller ibland \angle, följt av en bokstav. Exempelvis kan den röda vinkeln i triangeln betecknas B.\wedge B.

Notation geometri 121346.svg

Om en linje dras från B\wedge B mot sidan ACAC delas vinkel BB i två mindre vinklar. Nu är det inte längre entydigt vad som är B\wedge B. Menar man den blå vinkeln som bildades i figuren nedan kallar man den ABD\wedge ABD: man utgår ifrån hörn AA, följer vinkelbenet mot BB och sedan till hörn D.D. På motsvarande sätt kan man kalla hela den röda vinkeln för ABC\wedge ABC och den gröna DBC\wedge DBC .

Notation geometri 442215.svg

Notation

Lika stora sidor eller vinklar: |, || eller |||

Är två eller fler sidor lika stora kan man markera att de är det med ett streck genom sidornas mittpunkter. Finns det fler sidor som är lika stora markeras dessa med två streck, nästa med tre osv. Samma notation används för att markera vinklar som är lika stora. I figuren är den blå och gröna triangeln likbenta vilket innebär att två sidor och basvinklarna i respektive triangel är lika.

Notation geometri lika 12234.svg


Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}