Logga in
| 11 sidor teori |
| 23 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
En vinkel är en plan figur som bildas av två strålar som har samma startpunkt. Denna gemensamma punkt kallas för vinkelspetsen och strålarna är vinkelben.
Det finns olika sätt att beteckna en vinkel och ofta använder man symbolen ∧
framför namnet. Ett sätt att namnge en vinkel är att använda punkten som utgör vinkelspetsen. Ett annat sätt är att använda alla tre punkter som används för att beskriva vinkeln. I detta fall skrivs punkten som utgör vinkelspetsen alltid i mitten av namnet, men däremot används inte alltid symbolen ∧. Utöver dessa sätt så kan vinklar ibland namnges med gemena latinska och grekiska.
Notation | |
---|---|
Vinkelspets | ∧B |
Vinkelspets och en punkt på varje stråle | ∧ABC eller ∧CBA |
Vinkelspets och en punkt på varje stråle, utan ∧ | ABC eller CBA |
Grekiska bokstäver | T.ex. ∧α eller ∧β eller ∧θ |
Ibland används symbolen ∠
i stället för ∧ för att beteckna vinklar. Värdet av en vinkel är antalet grader mellan vinkelbenen. Det kan mätas med hjälp av en gradskiva.
En vinkel kan dela in ett plan i två delar.
insida.
utsida.
Bestäm storleken på vinkel x.
De två givna vinklarna bildar en rak vinkel.
△används för att skriva namnet på en triangel. Bredvid denna symbol skrivs triangelns tre hörn i vilken ordning som helst. Till exempel kan en triangel med hörn A, B och C skrivas som både △ABC och △BCA.
Trianglar kan delas in i kategorier baserat på antingen deras sidlängder eller deras vinklar.
I följande tabell finns alla olika typer av trianglar, indelade i olika grupper baserat på om de har att göra med triangelns vinklar eller sidlängder.
Typer av trianglar | |
---|---|
Vinklar | Sidlängder |
Spetsvinklig triangel | Likbent triangel |
Rätvinklig triangel | Liksidig triangel |
Trubbvinklig triangel |
Vad är vinkeln vid hörn C?
För rätvinkliga trianglar är hypotenusan i kvadrat lika med summan av kvadraterna på kateterna.
Denna sats är uppkallad efter den grekiska filosofen och matematikern Pythagoras, som levde på 500-talet f.Kr. Pythagoras anses vara en av de första matematikerna som använde irrationella tal i sina beräkningar. Dessutom studerade han perfekta kroppar, perfekta tal och polygontal, bland andra ämnen. Här är definitionen av perfekta tal tillsammans med några exempel.
Pythagoras tillskrivs också andra upptäckter och bidrag till astronomi och filosofi. Med allt detta, fundera över detta roliga faktum: Det finns inga böcker eller anteckningar skrivna av Pythagoras själv!
Bestäm den okända sidan i triangeln. Längderna är angivna i cm.
Använd Pythagoras sats.
Sätt in uttryck
Beräkna potens
Addera termerna
Omarrangera ekvation
VL=HL
Beräkna rot
x>0
Geometri innehåller en hel del speciella tecken och symboler som är bra att känna till.
En triangel kan betecknas med symbolen △ följt av bokstäverna vid dess hörn. Triangeln nedan benämns alltså △ABC. En viss sida i en triangel kan anges med sidans start- och slutpunkt, t.ex. sidan mellan hörn A och B kallas AB.
För att namnge en vinkel används tecknet ∧ eller ibland ∠, följt av en bokstav. Exempelvis kan den röda vinkeln i triangeln betecknas ∧B.
Om en linje dras från ∧B mot sidan AC delas vinkel B i två mindre vinklar. Nu är det inte längre entydigt vad som är ∧B. Menar man den blå vinkeln som bildades i figuren nedan kallar man den ∧ABD: man utgår ifrån hörn A, följer vinkelbenet mot B och sedan till hörn D. På motsvarande sätt kan man kalla hela den röda vinkeln för ∧ABC och den gröna ∧DBC.
Är två eller fler sidor lika stora kan man markera att de är det med ett streck genom sidornas mittpunkter. Finns det fler sidor som är lika stora markeras dessa med två streck, nästa med tre osv. Samma notation används för att markera vinklar som är lika stora. I figuren är den blå och gröna triangeln likbenta vilket innebär att två sidor och basvinklarna i respektive triangel är lika.
Vi ritar triangeln. Triangeln är rätvinklig, så den sida som är 5cm måste vara en katet. Men, eftersom triangeln dessutom är likbent måste den andra kateten också vara 5cm. Vi får alltså följande triangel.
Vi räknar ut hypotenusan med Pythagoras sats.
Hypotenusan är sqrt(50)cm.
Vi vet inte om 50^(∘)-vinkeln är en basvinkel eller inte. Vi måste därför undersöka båda fallen.
I den ena fallet är vinkeln 50^(∘) inte någon av basvinklarna. Det kan t.ex. se ut så här.
De övriga vinklarna är lika stora. Vi kan kalla dem v. Vi kan då beräkna dem genom att använda vinkelsumman i en triangel, som alltid är 180^(∘).
De övriga vinklarna är alltså båda 65^(∘).
Om 50^(∘)-vinkeln är en av triangelns basvinklar, innebär det att den andra basvinkeln också är 50^(∘).
Vinkelsumman i en triangel (180^(∘)) ger nu att den kvarvarande vinkeln blir 180^(∘)-50^(∘)-50^(∘)=80^(∘). De andra vinklarna i triangeln är alltså 50^(∘) och 80^(∘).
Vi tittar på påståendena, ett i taget.
En trubbig vinkel är en vinkel som är större än 90^(∘), men mindre än 180^(∘). Vi kan prova att göra en sådan triangel genom att först rita en valfri trubbig vinkel.
Kan vi skapa en triangel med denna vinkel? Ja, vi kan förbinda den vänstra och högra ändpunkten.
Man kan alltså skapa minst en trubbvinklig triangel. Påståendet är därför sant.
Höjden och basen är inte entydigt bestämda i en triangel, utan man kan definiera dem på olika sätt.
Höjden och basen på triangeln kan variera. Gemensamt är dock att de alltid är vinkelräta mot varandra. Påståendet är sant.
Det finns trianglar där alla vinklar är spetsiga (mindre än 90^(∘)), t.ex. liksidiga, där alla är 60^(∘). Men måste det alltid vara så? Finns det trubbvinkliga trianglar? Ja, vi visade ju en tidigare.
Alla vinklar måste alltså inte vara spetsiga, och därför är påståendet falskt.
Två vinklar som inte är spetsiga är antingen räta eller trubbiga. Minsta vinkelsumman får vi om de är räta: 2* 90^(∘)=180 ^(∘). Vi ser att summan av två icke spetsiga vinklar är minst lika mycket som triangelns vinkelsumma och då blir det inget över till den tredje vinkeln. Därför måste minst två av vinklarna i en triangel vara spetsiga, och påståendet är därmed sant.
Hur stor är vinkeln ∧BDC?
Den röda och gula vinkeln bildar 180^(∘) med sidovinklarna som även ingår i △ ABC. Vi beräknar dessa: 180^(∘)-120^(∘)=60^(∘) och 180^(∘)-138^(∘)=42^(∘). Vi tittar nu enbart på triangeln ABC.
En triangels vinkelsumma är 180^(∘). Genom att addera vinklarna och likställa med 180^(∘) kan vi lösa ut x.
Summan av de tre gröna vinklarna är 78^(∘) vilket innebär att en av de tre gröna vinklarna är 78^(∘)3=26^(∘). Nu tittar vi på △ BCD.
Vi beräknar den blå vinkeln ∧ BDC, som vi kallar d, med hjälp av att vinkelsumman i triangeln BCD är 180^(∘).
Vinkeln ∧ BDC är 112^(∘).
Ramon bor i mitten av det ena huset. Linan blir som längst om den ska nå våning 1 eller 5 i det andra huset. Då blir linan hypotenusan i en rätvinklig triangel.
Det är 15m mellan husen, och detta blir längden av den ena kateten. Den andra kateten är två våningsplan lång, dvs. 2 * 3,2 = 6,4m. Nu kan linans längd c beräknas med Pythagoras sats.
Linan behöver alltså vara ca 16,3m lång.
En regelbunden femhörning delas in i tre trianglar.
I en regelbunden polygon är alla sidor lika långa och alla vinklar lika stora. Eftersom vinkelsumman i en femhörning är 540^(∘) blir varje vinkel 540^(∘)/5=108^(∘), eftersom det finns 5 hörn. Vi ritar en regelbunden femhörning och markerar dess sidor och vinklar.
Vi ser nu att de två gröna trianglarna i uppgiften är likbenta, eftersom de har två lika långa sidor. Den ena vinkeln är 108^(∘) och basvinklarna är lika stora.
Eftersom vinkelsumman i trianglar är 180^(∘) blir basvinklarna hälften av 180^(∘)-108^(∘)=72^(∘), dvs. 36^(∘).
Basvinklarna i den blå triangeln blir då 108^(∘)-36^(∘)=72^(∘).
Bestäm den största vinkeln mellan visarna på en klocka givet klockslaget.
Ett helt varv är 360 ^(∘). Mellan varje hel timme är vinkeln därför 360 ^(∘)/12=30^(∘). När klockan är 02:00 är det två timmar mellan visarna.
Den lilla vinkeln blir då u=2 * 30^(∘) = 60 ^(∘). Man kan också se det som att vinkeln mellan visarna går medurs från timvisaren till minutvisaren. Denna större vinkeln kan vi enkelt beräkna genom att subtrahera 60^(∘) från ett helt varv, som är 360^(∘).
Vinkeln v är alltså 360^(∘)-60^(∘)=300 ^(∘).
Vi ritar ut hur visarna står när klockan är halv fyra.
Mellan 6:an och 4:an är det 2* 30^(∘)=60 ^(∘). Mellan två hela timmar är vinkeln 30^(∘) och eftersom timvisaren står mittemellan 3 och 4 måste vi addera 15^(∘) till vinkeln mellan 6:an och 4:an. Totalt är vinkel u därför 60^(∘)+15^(∘)=75 ^(∘). På samma sätt som i förra uppgiften kan vi subtrahera 75^(∘) från 360^(∘) för att få den större vinkeln som visarna bildar.
Den större vinkeln är då 360^(∘)-75^(∘)=285 ^(∘).
Du och dina vänner har fått i uppgift av kommunen att resa ett trafikljus som ni krockat med under en festival. Ni fäster ett rep i stolpen så att repet sitter 3,5 m från dess fot som i figuren.
Hur långt ifrån trafikljuset står du när ni rest det om du har 8 m rep framför dig och repet hålls 0,4 meter över marken? Avrunda till två decimaler.
När lyktstolpen rests får vi en rätvinklig triangel där repets längd utgör hypotenusa. Av fotens 3,5 meter åker 1 meter ner i hålet så 2,5 meter blir kvar ovanför marken. Vidare hålls repet på höjden 0,4m så den lodräta kateten blir 2,5-0,4=2,1 meter.
Genom att sätta in hypotenusa och katet i Pythagoras sats kan vi lösa ut den vågräta kateten.
Du står ca 7,72 meter från lyktstolpen efter det att den rests.
Hur stor andel av figuren är skuggad? Svara exakt.
För att avgöra hur stor andel av figuren som är skuggad kan vi dividera arean av det skuggade området med arean av det underliggande vita området. Då måste vi först bestämma algebraiska uttryck som beskriver dessa areor.
Vi ser att det vita området är en fyrhörning med lika långa sidor, dvs. en kvadrat. Vi ser även att kvadratens sidor har delats in i fyra delsträckor och eftersom vi inte har fått några siffror kan vi kalla varje delsträcka för x.
Kvadraten har sidan 4x vilket ger arean A_(vit kvadrat)=4x* 4x=16x^2.
Även det skuggade området är en fyrhörning, men vilken typ av fyrhörning är det? Om vi delar in den vita kvadratens sidor som nedan ser vi att det skuggade områdets sidor utgör hypotenusor i fyra rätvinkliga trianglar med kateterna x och 3x.
Eftersom de rätvinkliga trianglarna har lika långa kateter måste även hypotenusorna vara lika långa, vilket betyder att det skuggade området också är en kvadrat. Genom att använda Pythagoras sats kan vi bestämma dess sidor.
Nu när vi vet den skuggade kvadratens sida kan vi beräkna dess area: A_(Skuggad kvadrat)=sqrt(10)x* sqrt(10)x=10x^2.
Genom att dividera arean av den skuggade kvadraten med arean av den vita kvadraten kan vi bestämma hur stor del det skuggade området utgör.
Vi kan konstatera att 58 av figuren är skuggad.