7. Vinklar och trianglar
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 5
7.
Vinklar och trianglar
Lektionen ger omfattande insikter i vinklar och trianglar med fokus på geometri. Den förklarar begreppet vinklar, mäter dem i grader och kategoriserar dem i fyra typer: spetsiga, räta, trubbiga och raka. Sidan undersöker också trianglar och belyser olika typer som rätvinkliga, liksidiga och likbenta. Exempel ges för att bestämma okända vinklar och sidor i trianglar med hjälp av matematiska metoder som Pythagoras sats. Notationer inom geometri, inklusive symboler för trianglar och vinklar, förklaras också. Innehållet är utformat för att hjälpa studenter, lärare och föräldrar att förstå dessa matematiska begrepp på ett enkelt och engagerande sätt.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 11 sidor teori |
| | 22 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Vinklar och trianglar
Sida av 11
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Vinkel
- Vinkeltyper
- Triangel
- Pythagoras sats
- Notation inom geometri
Förkunskaper
Teori
Vinkel
En vinkel är en plan figur som bildas av två strålar som har samma startpunkt. Denna gemensamma punkt kallas för vinkelspetsen och strålarna är vinkelben.
Det finns olika sätt att beteckna en vinkel och ofta använder man symbolen ∧
framför namnet. Ett sätt att namnge en vinkel är att använda punkten som utgör vinkelspetsen. Ett annat sätt är att använda alla tre punkter som används för att beskriva vinkeln. I detta fall skrivs punkten som utgör vinkelspetsen alltid i mitten av namnet, men däremot används inte alltid symbolen ∧. Utöver dessa sätt så kan vinklar ibland namnges med gemena latinska och grekiska.
| Notation | |
|---|---|
| Vinkelspets | ∧B |
| Vinkelspets och en punkt på varje stråle | ∧ABC eller ∧CBA |
| Vinkelspets och en punkt på varje stråle, utan ∧ | ABC eller CBA |
| Grekiska bokstäver | T.ex. ∧α eller ∧β eller ∧θ |
Ibland används symbolen ∠
i stället för ∧ för att beteckna vinklar. Värdet av en vinkel är antalet grader mellan vinkelbenen. Det kan mätas med hjälp av en gradskiva.
Insida och utsida av en vinkel
En vinkel kan dela in ett plan i två delar.
- Området mellan vinkelbenen, eller vinkels
insida
. - Området utanför vinkelbenen, eller vinkels
utsida
.
Teori
Vinkeltyper
Exempel
Bestäm den okända vinkeln
Bestäm storleken på vinkel x.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.674115em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span><\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.674115em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mord mtight\">\u2218<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["42"]}}
Ledtråd
De två givna vinklarna bildar en rak vinkel.
Lösning
Vinklarna bildar tillsammans en rak vinkel, så summan av dem är 180∘. Det betyder att x+138∘=180∘. Vi löser ut x ur ekvationen genom att subtrahera 138∘ från båda led.
Vinkel x är alltså 42∘.
Teori
Triangel
En triangel är en polygon med tre vinklar och tre sidor. Symbolen 
△används för att skriva namnet på en triangel. Bredvid denna symbol skrivs triangelns tre hörn i vilken ordning som helst. Till exempel kan en triangel med hörn A, B och C skrivas som både △ABC och △BCA.
Trianglar kan delas in i kategorier baserat på antingen deras sidlängder eller deras vinklar.
I följande tabell finns alla olika typer av trianglar, indelade i olika grupper baserat på om de har att göra med triangelns vinklar eller sidlängder.
| Typer av trianglar | |
|---|---|
| Vinklar | Sidlängder |
| Spetsvinklig triangel | Likbent triangel |
| Rätvinklig triangel | Liksidig triangel |
| Trubbvinklig triangel | |
Övning
Avgör typen av trianglar
Exempel
Hur stor är tredje vinkeln i triangeln?
Vad är vinkeln vid hörn C?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.674115em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span><\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.674115em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mord mtight\">\u2218<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["34"]}}
Lösning
Vinkel A är 56∘ och vinkeln B är rät, det vill säga 90∘. Summan av vinklarna A, B och C ska vara lika med vinkelsumman för en triangel: 180∘. Detta bildar en ekvation, som man kan lösa med t.ex. balansmetoden.
Vinkeln vid hörn C är alltså 34∘.
Övning
Beräkna den saknade vinkeln
Teori
Pythagoras sats
För rätvinkliga trianglar är hypotenusan i kvadrat lika med summan av kvadraterna på kateterna.
Extra
Lite om PythagorasDenna sats är uppkallad efter den grekiska filosofen och matematikern Pythagoras, som levde på 500-talet f.Kr. Pythagoras anses vara en av de första matematikerna som använde irrationella tal i sina beräkningar. Dessutom studerade han perfekta kroppar, perfekta tal och polygontal, bland andra ämnen. Här är definitionen av perfekta tal tillsammans med några exempel.
Pythagoras tillskrivs också andra upptäckter och bidrag till astronomi och filosofi. Med allt detta, fundera över detta roliga faktum: Det finns inga böcker eller anteckningar skrivna av Pythagoras själv!
Exempel
Bestäm okänd sida i en rätvinklig triangel
Bestäm den okända sidan i triangeln. Längderna är angivna i cm.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"cm","answer":{"text":["13"]}}
Ledtråd
Använd Pythagoras sats.
Lösning
Vi har fått längderna för de två katetrarna i triangeln, alltså a och b i Pythagoras sats:
Hypotenusan x är alltså 13 cm lång. Vi fick ett negativt resultat också, men eftersom det är en längd vi är ute efter måste den vara positiv.
a2+b2=c2.
Den okända sidan, x, är hypotenusan och betecknas av c i satsen. Vi sätter in de kända sidorna och löser ut x.
a2+b2=c2
SubstituteExpressions
Sätt in uttryck
52+122=x2
▼
Lös ut x
CalcPow
Beräkna potens
25+144=x2
AddTerms
Addera termer
169=x2
RearrangeEqn
Omarrangera ekvation
x2=169
SqrtEqn
VL=HL
x=±169
CalcRoot
Beräkna rot
x=±13
x>0
x=13
Teori
Notation inom geometri
Geometri innehåller en hel del speciella tecken och symboler som är bra att känna till.
Notation
Trianglar: △En triangel kan betecknas med symbolen △ följt av bokstäverna vid dess hörn. Triangeln nedan benämns alltså △ABC. En viss sida i en triangel kan anges med sidans start- och slutpunkt, t.ex. sidan mellan hörn A och B kallas AB.
Notation
Vinklar: ∧ eller ∠För att namnge en vinkel används tecknet ∧ eller ibland ∠, följt av en bokstav. Exempelvis kan den röda vinkeln i triangeln betecknas ∧B.
Om en linje dras från ∧B mot sidan AC delas vinkel B i två mindre vinklar. Nu är det inte längre entydigt vad som är ∧B. Menar man den blå vinkeln som bildades i figuren nedan kallar man den ∧ABD: man utgår ifrån hörn A, följer vinkelbenet mot B och sedan till hörn D. På motsvarande sätt kan man kalla hela den röda vinkeln för ∧ABC och den gröna ∧DBC.
Notation
Lika stora sidor eller vinklar: |, || eller |||Är två eller fler sidor lika stora kan man markera att de är det med ett streck genom sidornas mittpunkter. Finns det fler sidor som är lika stora markeras dessa med två streck, nästa med tre osv. Samma notation används för att markera vinklar som är lika stora. I figuren är den blå och gröna triangeln likbenta vilket innebär att två sidor och basvinklarna i respektive triangel är lika.
Cirkeln nedan har radien r. Beräkna vinkeln v.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03588em;\">v<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.674115em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span><\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.674115em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mspace mtight\" style=\"margin-right:0.19516666666666668em;\"><\/span><span class=\"mord mtight\">\u2218<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["120"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi drar linjer från mittpunkten ut till hörnen. Längden på dem blir en cirkelradie eftersom de går från mittpunkten ut till cirkelns rand.
Det bildas två liksidiga trianglar. Det betyder att alla blå vinklar i figuren är 60^(∘). Vinkeln v består av två sådana.
Det betyder att v=60^(∘)+60^(∘)=120^(∘).
security
report
code
En regelbunden femhörning har omkretsen 200 cm och arean 2750 cm2. Vilken höjd har den? Svara med en decimal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":"cm","answer":{"text":["61,5"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att rita upp femhörningen. Eftersom den är regelbunden är alla sidor lika långa. Vi kallar denna sidlängd s. Om vi drar linjer från mittpunkten ut till hörnen bildas fem likadana likbenta trianglar. Avståndet från mittpunkten ut till hörnen kallar vi c.
Femhörningens höjd är x och kan beräknas genom att summera delsträckorna h t och c. Men vi börjar med att beräkna s. Totalt finns det 5 sidor så omkretsen är 5s. Detta ska vara lika med 200: 5s=200 ⇔ s=40. Femhörningens sidor är alltså 40cm långa. Den totala arean är 2 750cm^2 och eftersom alla trianglar är lika stora är var och en av dem en femtedel av detta, dvs. 27505=550cm^2. Nu kan vi använda areaformeln för en triangel för att bestämma h. Triangelns bas är s dvs. 40cm.
Nu har vi kommit en bit på vägen! I figuren kan vi bilda en rätvinklig triangel, där hypotenusan är c. Basen i den gröna triangeln är hälften av 40cm, dvs. 20cm. Anledningen är att de blå trianglarna är likbenta och då delar höjden, h, basen i två lika stora delar.
Eftersom triangeln är rätvinklig kan vi använda Pythagoras sats för att beräkna c som är hypotenusan. Höjden h beräknade vi tidigare till 27,5cm.
Femhörningens höjd får vi genom att lägga ihop h och c. Det blir h+c=27,5+34=61,5. Höjden är alltså ungefär 61,5cm.
security
report
code
Hur lång är rymddiagonalen i rummet nedan? Svara med en decimal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":"m","answer":{"text":["5,4"]}}
security
report
code
security
report
code
Golvet har måtten 3 * 4.
Genom att sätta in dessa värden i Pythagoras sats kan golvets diagonal beräknas.
Golvets diagonal är alltså 5 meter. Denna sträcka är också bas i den triangel som har rummets rymddiagonal som hypotenusa. Samma triangels höjd är lika med rummets höjd, dvs. 2m.
Vi kan nu beräkna rymddiagonalen genom att använda Pythagoras sats igen.
Rummets rymddiagonal är alltså ca 5,4m.
security
report
code
Vinklar och trianglar
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll