body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Mitt konto

Kurs 1c Visa detaljer

1. Typer av tal

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Övningar

Tester

eKurser /

( Ma 1b , Ma 1c ) /

Kapitel 1

Typer av tal

Lektionen ger en omfattande översikt över olika typer av tal som används i matematiken. Den förklarar begreppet talmängd och går in på olika kategorier, inklusive naturliga tal, hela tal, rationella tal och reella tal. Naturliga tal är icke-negativa heltal, medan hela tal även inkluderar negativa heltal. Rationella tal kan uttryckas som en bråkdel där både täljare och nämnare är heltal, och reella tal omfattar alla rationella och irrationella tal. Innehållet inkluderar också exempel och övningar för att hjälpa till att förstå vilken talmängd ett visst tal tillhör, vilket gör det till en värdefull lektionen för dem som studerar dessa matematiska begrepp.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	11 sidor teori
	11 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Typer av tal

Sida av 11

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Talmängd
Naturliga tal
Hela tal
Rationella tal
Reella tal

Förkunskaper

Utforska

Leker med set

Applet visar fyra olika cirklar, där varje cirkel representerar en mängd tal. Dessa mängder är naturliga tal

N,

heltal

Z,

rationella tal

Q,

och irrationella tal

R ∖ Q .

Fundera över talen i dessa mängder, och förstora sedan och arrangera cirklarna för att visa förhållandena mellan mängderna.

Fyra cirklar som representerar nummeruppsättningar

Finns det en mängd som är helt innehållen i en annan mängd? Tänk på tal som tillhör mer än en mängd.
Finns det mängder som inte delar några tal med de andra?

Teori

Talmängd

Ett talmängd är en samling av tal som gör det möjligt att placera olika typer av tal i olika kategorier. Nedan listas några av de vanligaste talmängderna.

Naturliga tal, även kallade räknetal, är de tal som används för att räkna. Mängden av naturliga tal betecknas med $N .$
Heltal är hela tal, förutom deras motsatser. Mängden av heltal betecknas med $Z .$
Rationella tal är de tal som kan uttryckas som ett förhållande mellan två heltal. Mängden av rationella tal betecknas med $Q .$
Irrationella tal är de tal som inte kan uttryckas som ett förhållande mellan två heltal. Mängden av irrationella tal kan skrivas som $R ∖ Q .$
Reella tal inkluderar rationella tal samt irrationella tal. Mängden av reella tal betecknas med $R .$

Teori

Naturliga tal

Talen $0, 1, 2, 3, 4 \dots$ kallas för de naturliga talen. Talmängden representeras av bokstaven $N$ och innehåller oändligt många tal.

$N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 \dots}$

De naturliga talen kan prickas in på en tallinje.

Pilen längst till höger på linjen visar att tallinjen sträcker ut sig oändligt långt åt höger. Ju längre åt höger man går på tallinjen, desto större blir talen. Ju längre åt vänster man rör sig på tallinjen, desto mindre blir talen.

Teori

Hela tal

Talmängden med hela tal betecknas med $Z .$

$Z = {\dots, - 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots}$

Ett heltal kan vara positivt, negativt eller noll. De naturliga talen och de negativa hela talen bildar tillsammans de hela talen, men varje heltal är nödvändigtvis inte ett naturligt tal. Bilden visar att $- 39$ är ett heltal, men inte ett naturligt tal. Man ser också att $24$ både är ett heltal och ett naturligt tal. I bilden ser man också att talet $0$ tillhör de naturliga talen.

Illustration av att de naturliga talen är en del av alla heltal

Teori

Rationella tal

Mängden av rationella tal, representerad av symbolen

Q

, består av alla tal som kan uttryckas som kvoten mellan två heltal,

\frac{a}{b},

där

b \neq = 0 .

- 3, \frac{1}{3}, 5, \frac{3 1}{4 5}

Alla fyra dessa exempel är rationella tal. Observera att heltal också är rationella eftersom de alltid kan skrivas som bråk med en nämnare på

1 .

- 3 = \frac{- 3}{1}, 5 = \frac{5}{1}

Med andra ord är heltal en delmängd av rationella tal.

Illustration av heltalen som är en del av rationella tal

Bråk, blandade tal, decimals tillsammans med heltal och naturliga tal utgör alla rationella tal.

Teori

Irrationella tal

Mängden av irrationella tal består av alla tal som inte kan uttryckas som en kvot mellan två heltal. Särskilda tal som

π

och

e

är också irrationella tal.

2, - 3, 5, π, e

Irrationella tal är reella tal, men de kan inte uttryckas som bråk. Dessutom är decimalutvecklingen av irrationella tal inte upprepande och oändlig.

2 π = 1, 41421356237 \dots = 3, 14159265359 \dots

Med andra ord är ett tal irrationellt om det inte är rationellt. Även om denna talmängd inte har sin egen symbol, representeras den ibland med en kombination av andra symboler.

R - Q or R ∖ Q

Teori

Reella tal

Kombinationen av rationella och irrationella tal utgör mängden av reella tal, representerad av

R .

Representerad i en graf består mängden av reella tal av kontinuerliga värden markerade på en tallinje.

Reella tal är de tal som kan hittas i den verkliga världen. Till exempel används naturliga tal för att räkna objekt, rationella tal används för att representera bråk, irrationella tal används för att beräkna kvadratrötter av ett tal, och heltal används för att mäta temperatur, och så vidare. Dessa olika typer av tal bildar tillsammans mängden av reella tal.

π, e, 2, \frac{3}{5}, - 4, 22

Exempel

Vilken talmängd tillhör talen?

Vilken talmängd beskriver talen

- 4, \frac{6}{2}, 8, \frac{4}{3}

och

π

bäst?

Svar

Tabell

$8$ och $\frac{6}{2}$	Naturliga tal
$- 4$	Hela tal
$\frac{4}{3}$	Rationella tal
$π$	Reella tal

Ledtråd

Analysera talen för att se om de är hela tal, bråk eller decimaltal, och identifiera den mest inkluderande mängden.

Lösning

Naturliga tal

Naturliga tal $N,$ är heltal som inte är negativa så talet $8$ ingår definitivt här. Men även $\frac{6}{2}$ ingår eftersom man kan dela $6$ med $2$ och få heltalet $3 .$

Hela tal

Förutom de naturliga talen räknas de negativa talen in i talmängden hela tal $Z .$ Talet $- 4$ beskrivs alltså bäst som ett heltal.

Rationella tal

Rationella tal $Q,$ är alla tal som kan skrivas som bråk på formen $\frac{a}{b}$ där $a$ och $b$ är heltal. Talet $\frac{4}{3}$ ingår alltså i denna talmängd.

Reella tal

Irrationella tal har ett oändligt antal decimaler som inte kommer i någon särskild ordning och kan därmed inte skrivas på formen $\frac{a}{b} .$ De irrationella talen ingår i talmängden reella tal $R,$ och $π$ är ett sådant tal.

Slutsats

$8$ och $\frac{6}{2}$ är alltså naturliga tal, $- 4$ är ett helt tal, $\frac{4}{3}$ är ett rationellt tal och $π$ är ett reellt tal.

$8$ och $\frac{6}{2}$	Naturliga tal
$- 4$	Hela tal
$\frac{4}{3}$	Rationella tal
$π$	Reella tal

Övning

Identifiera uppsättningar av siffror

Kom ihåg att ett tal kan tillhöra mer än en talmängd. Till exempel är $0$ ett naturligt tal, men det är också ett heltal, ett rationellt tal och ett reellt tal samtidigt. Tänk på de givna talen i den följande applet och bestäm alla talmängder som inkluderar talet.

Avslut

Sammanfattning

Talmängder är kategorier som används för att gruppera olika typer av tal baserat på deras egenskaper. Dessa kategorier hjälper till att organisera matematiska begrepp. De vanligaste talmängderna är: naturliga tal, heltal, rationella tal, irrationella tal och reella tal.

Observera att naturliga tal är en delmängd av heltal. Heltal är en delmängd av rationella tal. Rationella tal och irrationella tal tillsammans bildar reella tal. Att förstå hur dessa mängder förhåller sig till varandra är avgörande för att arbeta med olika matematiska problem.

Typer av tal

Övningar

Vilken talmängd passar bäst för att beskriva talet?

Våningsnummer i ett hus.

Antalet medlemmar i en klubb.

Andelen elever i en klass födda i april.

Längden på ett bord i km.

Mått i ett recept.

En persons ålder.

Våningsnummer i ett hus är oftast positiva heltal men de kan också vara negativa för källare. Det är alltså lämpligast att använda hela tal, Z.

Det kan bara finnas ett positivt och ett helt antal medlemmar i en klubb. Man bör alltså använda naturliga tal, N.

Andelen elever i en klass födda i april är ett bråk eftersom det är ett helt antal elever födda i april som delas på det totala antalet elever, som också är ett heltal. Bråk beskrivs bäst av rationella tal, Q.

Det är naturligt att skriva längden på ett bord med ett decimaltal om den ska skrivas i km. Längden kan mätas mer och mer noggrant för att öka antalet decimaler. Då är det mest lämpligt att använda reella tal, R.

Mått i ett recept brukar oftast anges i bråkdelar, t.ex. .1 /2. dl eller .3 /4. tsk, vilket bäst beskrivs av rationella tal, Q.

Ålder brukar anges i hela år. Man kan inte heller vara ett negativt antal år gammal, och då passar det bäst med naturliga tal, N.

Vilken talmängd beskriver bäst det tal man får i följande fall?

126

elever som delas upp i sju klasser.

Medeltemperaturen av

- 1 8^{\circ}

och

6^{\circ} .

3000

kr som delas mellan nio personer.

Vi beräknar bråket 1267.

Bråket förkortades till 18. Detta är en del av de naturliga talen och den talmängden benämns N.

Medelvärdet av temperaturerna beräknas genom att addera dem och dela med antalet värden, dvs. 2.

Bråket förkortades till - 6 som är en del av de hela talen. Denna talmängd brukar benämnas Z.

Vi provar att dela 3 000 med 9.

Bråket 1 0003 står på sin enklaste form. Det går med andra ord inte att förkorta bråket längre. Eftersom både täljare och nämnare är heltal är det ett rationellt tal så den talmängd som bäst beskriver bråket är Q.

Avgör om talet är rationellt.

\frac{1 3 , 5}{3}

\frac{π}{4}

Ett rationellt tal är ett tal som kan skrivas som ett bråk, där nämnare och täljare är heltal. Men 13,5 är ju inget heltal. Betyder det då att 13,53 är irrationellt? Nej! Vi kan ju förlänga bråket med 2 och få ett heltal i täljaren: 13.5/3=13.5* 2/3* 2=27/6. Talets värde har inte förändrats, men vi har nu två heltal i bråkets täljare och nämnare vilket betyder att det är rationellt.

Om π4 är ett rationellt tal så ska vi kunna förlänga bråket så att både nämnare och täljare blir heltal. Men π är irrationellt: π = 3,141592 ... Det finns därför inget tal som vi kan förlänga bråket med så att täljaren blir ett heltal. π4 är alltså ett irrationellt tal.

Vi har följande talmängd.

{7, 11, \frac{1 3 5}{3}, \frac{1}{3}}

Vilka tal är naturliga?

Vilka tal är irrationella?

Vilka tal är reella?

De naturliga talen är alla heltal som inte är negativa. 7 är därför ett naturligt tal. 1353 är lika med 45 som ju också är ett positivt heltal. 7 och 1353 är alltså de naturliga talen.

	Är det ett naturligt tal?
7	✓
sqrt(11)	*
135/3	✓
13	*

De irrationella talen kan inte skrivas som ett bråk med heltal i täljare och nämnare. 1353 och 13 står redan på den formen så de är inte irrationella. 7 kan vi skriva som 71 så detta är inte heller irrationellt. sqrt(11) kan vi däremot inte skriva som ett bråk där både nämnare och täljare är heltal. Det finns alltså ett irrationellt tal bland talen: sqrt(11).

	Är det ett irrationellt tal?
7	*
sqrt(11)	✓
135/3	*
13	*

De reella talen är alla rationella och irrationella tal. Tidigare kom vi fram till att 7, 1353 och 13 är rationella tal. Vi kom också fram till att sqrt(11) är irrationellt. Vår talmängd består alltså av rationella och irrationella tal. Det betyder att alla tal är reella.

	Är det ett reellt tal?
7	✓
sqrt(11)	✓
135/3	✓
13	✓

Typer av tal

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.