MathReads
Premium
Mitt konto

Mitt konto Logga ut
1b
Kurs 1b Visa detaljer
1. Typer av tal
Fortsätt till nästa lektion
Lektion
Övningar
Tester
arrow_back
eKurser /
( Ma 1b , Ma 1c ) /
Kapitel 1
1. 

Typer av tal

Lektionen ger en omfattande översikt över olika typer av tal som används i matematiken. Den förklarar begreppet talmängd och går in på olika kategorier, inklusive naturliga tal, hela tal, rationella tal och reella tal. Naturliga tal är icke-negativa heltal, medan hela tal även inkluderar negativa heltal. Rationella tal kan uttryckas som en bråkdel där både täljare och nämnare är heltal, och reella tal omfattar alla rationella och irrationella tal. Innehållet inkluderar också exempel och övningar för att hjälpa till att förstå vilken talmängd ett visst tal tillhör, vilket gör det till en värdefull lektionen för dem som studerar dessa matematiska begrepp.
Visa mer expand_more
Inställningar & verktyg för lektion
10 sidor teori
19 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Kreditlista Bilder expand_more
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
  • Talmängd
  • Naturliga tal
  • Hela tal
  • Rationella tal
  • Reella tal

Förkunskaper
Utforska

Leker med set

Applet visar fyra cirklar, där varje cirkel representerar en viss mängd tal. Dessa mängder är naturliga tal heltal rationella tal och irrationella tal Fundera över talen i dessa mängder, och förstora sedan och arrangera cirklarna för att visa förhållandena mellan mängderna.
Fyra cirklar som representerar nummeruppsättningar
  • Finns det en mängd som är helt innehållen i en annan mängd? Tänk på tal som tillhör mer än en mängd.
  • Finns det mängder som inte överlappar med andra mängder?
Teori

Talmängd

Ett talmängd är en samling av tal som gör det möjligt att placera olika typer av tal i olika kategorier. Nedan listas några av de vanligaste talmängderna.

  • Naturliga tal, även kallade räknetal, är de tal som används för att räkna. Mängden av naturliga tal betecknas med
  • Heltal är hela tal, förutom deras motsatser. Mängden av heltal betecknas med
  • Rationella tal är de tal som kan uttryckas som ett förhållande mellan två heltal. Mängden av rationella tal betecknas med
  • Irrationella tal är de tal som inte kan uttryckas som ett förhållande mellan två heltal. Mängden av irrationella tal kan skrivas som
  • Reella tal inkluderar rationella tal samt irrationella tal. Mängden av reella tal betecknas med
Nummeruppsättningar i Venndiagram
Teori

Naturliga tal

Talen kallas för de naturliga talen. Talmängden representeras av bokstaven och innehåller oändligt många tal.

De naturliga talen kan prickas in på en tallinje.

Naturliga tal på en tallinje
Pilen längst till höger på linjen visar att tallinjen sträcker ut sig oändligt långt åt höger. Ju längre åt höger man går på tallinjen, desto större blir talen. Ju längre åt vänster man rör sig på tallinjen, desto mindre blir talen.
Teori

Hela tal

Talmängden med hela tal betecknas med

Ett heltal kan vara positivt, negativt eller noll. De naturliga talen och de negativa hela talen bildar tillsammans de hela talen, men varje heltal är nödvändigtvis inte ett naturligt tal. Bilden visar att är ett heltal, men inte ett naturligt tal. Man ser också att både är ett heltal och ett naturligt tal. I bilden ser man också att talet tillhör de naturliga talen.

Illustration av att de naturliga talen är en del av alla heltal
Teori

Rationella tal

Rationella tal () är tal som kan skrivas som ett bråk där och är heltal och Till exempel:
Även heltal kan skrivas som bråk, vilket innebär att de också är rationella tal. Alla heltal kan till exempel skrivas som ett bråk med nämnaren
Tal i decimalform, som har en ändlig eller periodisk decimalutveckling, är också rationella tal eftersom de kan skrivas som bråk. Till exempel:

Detta innebär att alla hela tal är och alla tal i decimalform är rationella tal. Det kan visas så här:

Illustration av heltalen som är en del av rationella tal
Teori

Irrationella tal

Mängden av irrationella tal består av alla tal som inte kan uttryckas som en kvot mellan två heltal. Särskilda tal som och är också irrationella tal.
Irrationella tal är reella tal, men de kan inte uttryckas som bråk. Dessutom är decimalutvecklingen av irrationella tal inte upprepande och oändlig.
Med andra ord är ett tal irrationellt om det inte är rationellt. Även om denna talmängd inte har sin egen symbol, representeras den ibland med en kombination av andra symboler.
Teori

Reella tal

Kombinationen av rationella och irrationella tal utgör mängden av reella tal, representerad av Representerad i en graf består mängden av reella tal av kontinuerliga värden markerade på en tallinje.
Reella tal på en tallinje
Reella tal är de tal som kan hittas i den verkliga världen. Till exempel används naturliga tal för att räkna objekt, rationella tal används för att representera bråk, irrationella tal används för att beräkna kvadratrötter av ett tal, och heltal används för att mäta temperatur, och så vidare. Dessa olika typer av tal bildar tillsammans mängden av reella tal.
Exempel

Vilken talmängd tillhör talen?

Vilken talmängd beskriver talen och bäst?

Svar

Tabell

och Naturliga tal
Hela tal
Rationella tal
Reella tal

Ledtråd

Analysera talen för att se om de är hela tal, bråk eller decimaltal, och identifiera den mest inkluderande mängden.

Lösning

Naturliga tal

Naturliga tal är heltal som inte är negativa så talet ingår definitivt här. Men även ingår eftersom man kan dela med och få heltalet

Hela tal

Förutom de naturliga talen räknas de negativa talen in i talmängden hela tal Talet beskrivs alltså bäst som ett heltal.

Rationella tal

Rationella tal är alla tal som kan skrivas som bråk på formen där och är heltal. Talet ingår alltså i denna talmängd.

Reella tal

Irrationella tal har ett oändligt antal decimaler som inte kommer i någon särskild ordning och kan därmed inte skrivas på formen De irrationella talen ingår i talmängden reella tal och är ett sådant tal.

Slutsats

och är alltså naturliga tal, är ett helt tal, är ett rationellt tal och är ett reellt tal.

och Naturliga tal
Hela tal
Rationella tal
Reella tal
Övning

Identifiera uppsättningar av siffror

Kom ihåg att ett tal kan tillhöra mer än en talmängd. Till exempel är ett naturligt tal, men det är också ett heltal, ett rationellt tal och ett reellt tal samtidigt. Tänk på de givna talen i den följande applet och bestäm alla talmängder som inkluderar talet.

Nivå 1
Nivå 2
Nivå 3
Nivå 4
Två tal är rationella men inte naturliga. Kan produkten av dem bli ett naturligt tal? Visa isåfall med ett exempel.

Om vi multiplicerar det rationella talet a/b med b/a får vi 1.

1 är ett naturligt tal så produkten av två rationella tal kan alltså vara naturlig. För att visa med ett exempel väljer vi a och b så att a/b och b/a inte är naturliga dvs. ingen av dem får vara 1 och de får heller inte vara lika med varandra. Vi väljer a=2 och b=3.

Varken 2/3 eller 3/2 är naturliga vilket innebär att produkten av två icke naturliga tal kan vara ett naturligt tal. Eftersom negativa tal inte ingår i talmängden naturliga tal men ingår i de rationella är ett alternativt svar att de två talen som multipliceras kan vara negativa heltal. Produkten av dem blir ett positivt heltal, som tillhör de naturliga talen.

Finns det fler naturliga tal än jämna tal? Motivera ditt svar.

Svaret är nej, det finns inte fler naturliga tal än jämna tal. Hur konstigt det än kan låta finns det faktiskt exakt lika många jämna som naturliga tal. Vi motiverar detta genom att tänka oss att vi skriver upp alla naturliga tal på en oändligt lång rad. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... Tänk dig sedan att du under varje tal skriver talet multiplicerat med två. 0, &1, & 2,& 3,& 4,& 5,& 6,& 7,& ... 0,& 2,& 4,& 6,& 8,&10,& 12,& 14,& ... Eftersom varje tal på den undre raden har skapats från ett tal på den övre måste det finns precis lika många tal utskrivna på båda raderna. Läser vi av den undre raden ser vi att det är en uppräkning av de jämna talen, vilket innebär att för varje jämnt tal finns det ett motsvarande naturligt tal och vise versa. Det finns alltså lika många av dem. Detta kanske inte framstår som väldigt intuitivt, men det är en effekt av att båda mängderna tal är oändligt stora, och att dessa oändligheter är lika stora.

En student säger att är ett rationellt tal eftersom man kan skriva som kvoten Är studenten korrekt? Förklara.

Ett rationellt tal är ett tal som kan skrivas i formen a/b, där a och b är heltal och b ≠ 0. I detta fall påstår eleven att sqrt(7) är ett rationellt tal eftersom det kan skrivas som förhållandet mellan sqrt(7) och 1. sqrt(7)=sqrt(7)/1 Detta kan vid första anblicken verka följa formen a/b. Men sqrt(7) är inte ett heltal utan ett irrationellt tal. Därför är sqrt(7)/1 inte ett rationellt tal eftersom det inte kan uttryckas som förhållandet mellan två heltal.

Du får uttrycken och Vad är det minsta värdet av som gör varje tal rationellt?


Vi får två uttryck. sqrt(76+n) [0.5em] sqrt(2n+26) Vi ska hitta det minsta värdet på n som gör varje tal rationellt. För att hitta n ska vi komma ihåg generaliseringarna om att vara ett rationellt tal för en kvadratrot av ett tal.

Därför måste vi ha perfekta kvadrater inuti kvadratrötterna i de givna uttrycken. För att göra detta kommer vi att försöka hitta n som gör båda uttrycken till perfekta kvadrater. När vi tittar på det första uttrycket kan vi se att talet inuti kvadratroten ligger nära 81, vilket är en perfekt kvadrat. 81=9* 9 Härifrån måste vi hitta värdet på n som gör uttrycket inuti kvadratroten 81.

Därefter ska vi testa om vi kan få en perfekt kvadrat genom att använda detta värde på n i det andra uttrycket.

Vi fann att för n=5 är det andra uttrycket också en perfekt kvadrat. sqrt(76+ 5) &⇒ sqrt(81)=9 [0.5em] sqrt(2( 5)+26) &⇒ sqrt(36)=6 Följaktligen är det minsta värdet på n som gör varje tal rationellt 5.

Typer av tal

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Återvänd till lektionen.
Laddar innehåll