1. Typer av tal
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 1
1.
Typer av tal
Lektionen ger en omfattande översikt över olika typer av tal som används i matematiken. Den förklarar begreppet talmängd och går in på olika kategorier, inklusive naturliga tal, hela tal, rationella tal och reella tal. Naturliga tal är icke-negativa heltal, medan hela tal även inkluderar negativa heltal. Rationella tal kan uttryckas som en bråkdel där både täljare och nämnare är heltal, och reella tal omfattar alla rationella och irrationella tal. Innehållet inkluderar också exempel och övningar för att hjälpa till att förstå vilken talmängd ett visst tal tillhör, vilket gör det till en värdefull lektionen för dem som studerar dessa matematiska begrepp.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 10 sidor teori |
| | 11 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Typer av tal
Sida av 10
Utforska
Leker med set
Applet visar fyra cirklar, där varje cirkel representerar en viss mängd tal. Dessa mängder är naturliga tal N, heltal Z, rationella tal Q, och irrationella tal R∖Q. Fundera över talen i dessa mängder, och förstora sedan och arrangera cirklarna för att visa förhållandena mellan mängderna.
- Finns det en mängd som är helt innehållen i en annan mängd? Tänk på tal som tillhör mer än en mängd.
- Finns det mängder som inte överlappar med andra mängder?
Teori
Talmängd
Ett talmängd är en samling av tal som gör det möjligt att placera olika typer av tal i olika kategorier. Nedan listas några av de vanligaste talmängderna.
- Naturliga tal, även kallade räknetal, är de tal som används för att räkna. Mängden av naturliga tal betecknas med N.
- Heltal är hela tal, förutom deras motsatser. Mängden av heltal betecknas med Z.
- Rationella tal är de tal som kan uttryckas som ett förhållande mellan två heltal. Mängden av rationella tal betecknas med Q.
- Irrationella tal är de tal som inte kan uttryckas som ett förhållande mellan två heltal. Mängden av irrationella tal kan skrivas som R∖Q.
- Reella tal inkluderar rationella tal samt irrationella tal. Mängden av reella tal betecknas med R.
Teori
Naturliga tal
Talen 0,1,2,3,4… kallas för de naturliga talen. Talmängden representeras av bokstaven N och innehåller oändligt många tal.
N={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13…}
De naturliga talen kan prickas in på en tallinje.
Teori
Hela tal
Talmängden med hela tal betecknas med Z.
Z={…,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…}
Ett heltal kan vara positivt, negativt eller noll. De naturliga talen och de negativa hela talen bildar tillsammans de hela talen, men varje heltal är nödvändigtvis inte ett naturligt tal. Bilden visar att −39 är ett heltal, men inte ett naturligt tal. Man ser också att 24 både är ett heltal och ett naturligt tal. I bilden ser man också att talet 0 tillhör de naturliga talen.
Teori
Rationella tal
Teori
Irrationella tal
Mängden av irrationella tal består av alla tal som inte kan uttryckas som en kvot mellan två heltal. Särskilda tal som π och e är också irrationella tal.
2,−3,5,π,e
Irrationella tal är reella tal, men de kan inte uttryckas som bråk. Dessutom är decimalutvecklingen av irrationella tal inte upprepande och oändlig.
2π=1,41421356237…=3,14159265359…
Med andra ord är ett tal irrationellt om det inte är rationellt. Även om denna talmängd inte har sin egen symbol, representeras den ibland med en kombination av andra symboler. R−QorR ∖ Q
Teori
Reella tal
Kombinationen av rationella och irrationella tal utgör mängden av reella tal, representerad av R. Representerad i en graf består mängden av reella tal av kontinuerliga värden markerade på en tallinje.
Reella tal är de tal som kan hittas i den verkliga världen. Till exempel används naturliga tal för att räkna objekt, rationella tal används för att representera bråk, irrationella tal används för att beräkna kvadratrötter av ett tal, och heltal används för att mäta temperatur, och så vidare. Dessa olika typer av tal bildar tillsammans mängden av reella tal.
π , e , 2 , 53, −4, 22
Exempel
Vilken talmängd tillhör talen?
Vilken talmängd beskriver talen −4,26,8,34 och π bäst?
Svar
Tabell
| 8 och 26 | Naturliga tal |
|---|---|
| −4 | Hela tal |
| 34 | Rationella tal |
| π | Reella tal |
Ledtråd
Analysera talen för att se om de är hela tal, bråk eller decimaltal, och identifiera den mest inkluderande mängden.
Lösning
Naturliga tal
Naturliga tal N, är heltal som inte är negativa så talet 8 ingår definitivt här. Men även 26 ingår eftersom man kan dela 6 med 2 och få heltalet 3.
Hela tal
Förutom de naturliga talen räknas de negativa talen in i talmängden hela tal Z. Talet −4 beskrivs alltså bäst som ett heltal.
Rationella tal
Rationella tal Q, är alla tal som kan skrivas som bråk på formen ba där a och b är heltal. Talet 34 ingår alltså i denna talmängd.
Reella tal
Irrationella tal har ett oändligt antal decimaler som inte kommer i någon särskild ordning och kan därmed inte skrivas på formen ba. De irrationella talen ingår i talmängden reella tal R, och π är ett sådant tal.
Slutsats
8 och 26 är alltså naturliga tal, −4 är ett helt tal, 34 är ett rationellt tal och π är ett reellt tal.
| 8 och 26 | Naturliga tal |
|---|---|
| −4 | Hela tal |
| 34 | Rationella tal |
| π | Reella tal |
Övning
Identifiera uppsättningar av siffror
Kom ihåg att ett tal kan tillhöra mer än en talmängd. Till exempel är 0 ett naturligt tal, men det är också ett heltal, ett rationellt tal och ett reellt tal samtidigt. Tänk på de givna talen i den följande applet och bestäm alla talmängder som inkluderar talet.
Typer av tal
Övningar
Två tal är rationella men inte naturliga. Kan produkten av dem bli ett naturligt tal? Visa isåfall med ett exempel.
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
Om vi multiplicerar det rationella talet ab med ba får vi 1.
1 är ett naturligt tal så produkten av två rationella tal kan alltså vara naturlig. För att visa med ett exempel väljer vi a och b så att ab och ba inte är naturliga dvs. ingen av dem får vara 1 och de får heller inte vara lika med varandra. Vi väljer a=2 och b=3.
Varken 23 eller 32 är naturliga vilket innebär att produkten av två icke naturliga tal kan vara ett naturligt tal. Eftersom negativa tal inte ingår i talmängden naturliga tal men ingår i de rationella är ett alternativt svar att de två talen som multipliceras kan vara negativa heltal. Produkten av dem blir ett positivt heltal, som tillhör de naturliga talen.
security
report
code
Finns det fler naturliga tal än jämna tal? Motivera ditt svar.
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
security
report
code
security
report
code
Svaret är nej, det finns inte fler naturliga tal än jämna tal. Hur konstigt det än kan låta finns det faktiskt exakt lika många jämna som naturliga tal. Vi motiverar detta genom att tänka oss att vi skriver upp alla naturliga tal på en oändligt lång rad. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... Tänk dig sedan att du under varje tal skriver talet multiplicerat med två. 0, &1, & 2,& 3,& 4,& 5,& 6,& 7,& ... 0,& 2,& 4,& 6,& 8,&10,& 12,& 14,& ... Eftersom varje tal på den undre raden har skapats från ett tal på den övre måste det finns precis lika många tal utskrivna på båda raderna. Läser vi av den undre raden ser vi att det är en uppräkning av de jämna talen, vilket innebär att för varje jämnt tal finns det ett motsvarande naturligt tal och vise versa. Det finns alltså lika många av dem. Detta kanske inte framstår som väldigt intuitivt, men det är en effekt av att båda mängderna tal är oändligt stora, och att dessa oändligheter är lika stora.
security
report
code
Typer av tal
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll