Typer av tal

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Talmängd

En talmängd är en mängd av tal, t.ex. de tre talen {1,5,7}\{1,5,7\} eller "alla jämna tal". Ofta använder man ordet talmängd för att särskilja speciella sorters tal, som reella eller naturliga tal. Dessa talmängder ingår i varandra, så alla naturliga tal är också hela tal, och alla hela tal är också reella tal. Bilden nedan visar dessa talmängder och hur de ingår i varandra.

Typer av tal.svg
Begrepp

Naturliga tal

De naturliga talen (N\mathbb{N}) är alla heltal som inte är negativa. Det finns oändligt många naturliga tal och brukar beskrivas på följande sätt.

N={0,1,2,3,4,}\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4, \ldots \}

Punkterna betyder att talmängden fortsätter öka med ett steg i taget till oändligheten. Om 00 ska vara med bland de naturliga talen råder det delade meningar om. I Sverige brukar man ta med den.
Begrepp

Hela tal

Hela tal (Z\mathbb{Z}) är alla heltal, dvs. de naturliga talen och alla negativa heltal. De är oändligt många och brukar beskrivas på följande sätt.

Z={,-2,-1,0,1,2,}\mathbb{Z}=\{\ldots,\text{-} 2, \text{-} 1, 0,1,2,\ldots\}

Begrepp

Rationella tal

Rationella tal (Q\mathbb{Q}) är tal som kan skrivas som ett bråk ab,\frac{a}{b}, där aa och bb är heltal och b0.b\neq 0. Exempelvis är 13och3145 \frac 1 3 \quad \text{och} \quad \frac{31}{45}

rationella tal. Heltal är också rationella eftersom de alltid kan skrivas som bråk, t.ex. genom att låta nämnaren vara 1,1, som i 5=515=\frac{5}{1} och -3=-31.\text{-}3 = \frac{\text{-}3}{1}.
Begrepp

Reella tal

Reella tal (R\mathbb{R}) är alla tal som kan markeras på en tallinje, alltså alla rationella och irrationella tal. Exempel på dessa är -6.4,\text{-}6.4, 2\sqrt{2} och π.\pi.

Uppgift

Vilken talmängd beskriver talen -4,62,8,43 \text{-}4, \frac{6}{2}, 8, \frac{4}{3} och π\pi bäst?

Lösning

Naturliga tal
Naturliga tal N\mathbb{N}, är heltal som inte är negativa så talet 8 ingår definitivt här. Men även 62\frac{6}{2} ingår eftersom man kan dela 6 med 2 och få heltalet 3.

Hela tal
Förutom de naturliga talen räknas de negativa talen in i talmängden hela tal Z\mathbb{Z}. Talet -4\text{-} 4 beskrivs alltså bäst som ett heltal.

Rationella tal
Rationella tal Q\mathbb{Q}, är alla tal som kan skrivas som bråk på formen ab\frac{a}{b} där aa och bb är heltal. Talet 43\frac{4}{3} ingår alltså i denna talmängd.

Reella tal
Irrationella tal har ett oändligt antal decimaler som inte kommer i någon särskild ordning och kan därmed inte skrivas på formen ab\frac{a}{b}. De irrationella talen ingår i talmängden reella tal R\mathbb{R}, och π\pi är ett sådant tal.

8 och 62\frac{6}{2} är alltså naturliga tal, -4\text{-} 4 är ett helt tal, 43\frac{4}{3} är ett rationellt tal och π\pi är ett reellt tal.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilken talmängd passar bäst för att beskriva följande sorters tal?

a

Våningsnummer i ett hus.

b

Antalet medlemmar i en klubb.

c

Andelen elever i en klass födda i april.

d

Längden på ett bord i km.

e

Mått i ett recept.

f

En persons ålder.

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilken talmängd beskriver bäst det tal man får i följande fall?


a

126126 elever som delas upp i sju klasser.

b

Medeltemperaturen av -18\text{-} 18^\circ och 6.6^\circ.

c

30003000 kr som delas mellan nio personer.

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a
Är 13.53\frac{13.5}{3} ett rationellt tal?
b
Är π4\frac{\pi}{4} ett rationellt tal?
1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vi har följande talmängd: {7,11,1353,13}.\left\{7, \, \sqrt{11}, \, \frac{135}{3}, \, \frac{1}{3}\right\}. Avgör vilka av talen som är:

a
naturliga.
b
irrationella.
c
reella.
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hur många naturliga tal, N\mathbb{N}, ingår i nedanstående talmängd?{-1000,-999,-998,...,998,999,1000}\{\text{-} 1000,\, \text{-} 999, \, \text{-} 998, ... \, , \, 998, \, 999,\, 1000\}

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Avgör om följande tal är rationella.

a
1.475071.47507
b
0.333330.33333\ldots
c
2\sqrt{2}
2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Kan man multiplicera två irrationella tal så att det blir ett naturligt tal?

b

Kan man multiplicera två naturliga tal så att det blir irrationellt?

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Två tal är rationella men inte naturliga. Kan produkten av dem bli ett naturligt tal? Visa isåfall med ett exempel.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Är summan av två udda tal jämn eller udda? Motivera.

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Finns det fler naturliga tal än jämna tal?

Nivå 4
4.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv 0.720.\overline{72} som ett rationellt tal, dvs. på formen ab\frac{a}{b} där aa och bb är heltal, och förkorta bråket till sin enklaste form. Strecket ovanför 72 betyder att dessa decimaler upprepar sig oändligt dvs. 0.72=0.72727272 0.\overline{72}=0.72727272\ldots

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}