{{ 'ml-label-loading-course' | message }}
{{ toc.name }}
{{ toc.signature }}
{{ tocHeader }} {{ 'ml-btn-view-details' | message }}
{{ tocSubheader }}
{{ 'ml-toc-proceed-mlc' | message }}
{{ 'ml-toc-proceed-tbs' | message }}
Lektion
Övningar
Rekommenderade
Tester
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel {{ article.chapter.number }}
{{ article.number }}. 

{{ article.displayTitle }}

{{ article.intro.summary }}
Visa mindre Visa mer expand_more
{{ ability.description }} {{ ability.displayTitle }}
Inställningar & verktyg för lektion
{{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount }}
{{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount }}
{{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }}
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
  • Talmängd
  • Naturliga tal
  • Hela tal
  • Rationella tal
  • Reella tal

Förkunskaper

Utforska

Leker med set

Applet visar fyra olika cirklar, där varje cirkel representerar en mängd tal. Dessa mängder är naturliga tal heltal rationella tal och irrationella tal Fundera över talen i dessa mängder, och förstora sedan och arrangera cirklarna för att visa förhållandena mellan mängderna.
Fyra cirklar som representerar nummeruppsättningar
  • Finns det en mängd som är helt innehållen i en annan mängd? Tänk på tal som tillhör mer än en mängd.
  • Finns det mängder som inte delar några tal med de andra?
Teori

Talmängd

Ett talmängd är en samling av tal som gör det möjligt att placera olika typer av tal i olika kategorier. Nedan listas några av de vanligaste talmängderna.

  • Naturliga tal, även kallade räknetal, är de tal som används för att räkna. Mängden av naturliga tal betecknas med
  • Heltal är hela tal, förutom deras motsatser. Mängden av heltal betecknas med
  • Rationella tal är de tal som kan uttryckas som ett förhållande mellan två heltal. Mängden av rationella tal betecknas med
  • Irrationella tal är de tal som inte kan uttryckas som ett förhållande mellan två heltal. Mängden av irrationella tal kan skrivas som
  • Reella tal inkluderar rationella tal samt irrationella tal. Mängden av reella tal betecknas med
Nummeruppsättningar i Venndiagram
Teori

Naturliga tal

Talen kallas för de naturliga talen. Talmängden representeras av bokstaven och innehåller oändligt många tal.

De naturliga talen kan prickas in på en tallinje.

Naturliga tal på en tallinje
Pilen längst till höger på linjen visar att tallinjen sträcker ut sig oändligt långt åt höger. Ju längre åt höger man går på tallinjen, desto större blir talen. Ju längre åt vänster man rör sig på tallinjen, desto mindre blir talen.
Teori

Hela tal

Talmängden med hela tal betecknas med

Ett heltal kan vara positivt, negativt eller noll. De naturliga talen och de negativa hela talen bildar tillsammans de hela talen, men varje heltal är nödvändigtvis inte ett naturligt tal. Bilden visar att är ett heltal, men inte ett naturligt tal. Man ser också att både är ett heltal och ett naturligt tal. I bilden ser man också att talet tillhör de naturliga talen.

Illustration av att de naturliga talen är en del av alla heltal
Teori

Rationella tal

Mängden av rationella tal, representerad av symbolen , består av alla tal som kan uttryckas som kvoten mellan två heltal, där
Alla fyra dessa exempel är rationella tal. Observera att heltal också är rationella eftersom de alltid kan skrivas som bråk med en nämnare
Med andra ord är heltal en delmängd av rationella tal.
Illustration av heltalen som är en del av rationella tal
Bråk, blandade tal, decimals tillsammans med heltal och naturliga tal utgör alla rationella tal.
Teori

Irrationella tal

Mängden av irrationella tal består av alla tal som inte kan uttryckas som en kvot mellan två heltal. Särskilda tal som och är också irrationella tal.
Irrationella tal är reella tal, men de kan inte uttryckas som bråk. Dessutom är decimalutvecklingen av irrationella tal inte upprepande och oändlig.
Med andra ord är ett tal irrationellt om det inte är rationellt. Även om denna talmängd inte har sin egen symbol, representeras den ibland med en kombination av andra symboler.
Teori

Reella tal

Kombinationen av rationella och irrationella tal utgör mängden av reella tal, representerad av Representerad i en graf består mängden av reella tal av kontinuerliga värden markerade på en tallinje.
Reella tal på en tallinje
Reella tal är de tal som kan hittas i den verkliga världen. Till exempel används naturliga tal för att räkna objekt, rationella tal används för att representera bråk, irrationella tal används för att beräkna kvadratrötter av ett tal, och heltal används för att mäta temperatur, och så vidare. Dessa olika typer av tal bildar tillsammans mängden av reella tal.
Exempel

Vilken talmängd tillhör talen?

Vilken talmängd beskriver talen och bäst?

Svar

Tabell

och Naturliga tal
Hela tal
Rationella tal
Reella tal

Ledtråd

Analysera talen för att se om de är hela tal, bråk eller decimaltal, och identifiera den mest inkluderande mängden.

Lösning

Naturliga tal

Naturliga tal är heltal som inte är negativa så talet ingår definitivt här. Men även ingår eftersom man kan dela med och få heltalet

Hela tal

Förutom de naturliga talen räknas de negativa talen in i talmängden hela tal Talet beskrivs alltså bäst som ett heltal.

Rationella tal

Rationella tal är alla tal som kan skrivas som bråk på formen där och är heltal. Talet ingår alltså i denna talmängd.

Reella tal

Irrationella tal har ett oändligt antal decimaler som inte kommer i någon särskild ordning och kan därmed inte skrivas på formen De irrationella talen ingår i talmängden reella tal och är ett sådant tal.

Slutsats

och är alltså naturliga tal, är ett helt tal, är ett rationellt tal och är ett reellt tal.

och Naturliga tal
Hela tal
Rationella tal
Reella tal
Övning

Identifiera uppsättningar av siffror

Kom ihåg att ett tal kan tillhöra mer än en talmängd. Till exempel är ett naturligt tal, men det är också ett heltal, ett rationellt tal och ett reellt tal samtidigt. Tänk på de givna talen i den följande applet och bestäm alla talmängder som inkluderar talet.

Avslut

Sammanfattning

Talmängder är kategorier som används för att gruppera olika typer av tal baserat på deras egenskaper. Dessa kategorier hjälper till att organisera matematiska begrepp. De vanligaste talmängderna är: naturliga tal, heltal, rationella tal, irrationella tal och reella tal.
Observera att naturliga tal är en delmängd av heltal. Heltal är en delmängd av rationella tal. Rationella tal och irrationella tal tillsammans bildar reella tal. Att förstå hur dessa mängder förhåller sig till varandra är avgörande för att arbeta med olika matematiska problem.
Laddar innehåll