body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

{{ 'ml-label-loading-course' | message }}

{{ toc.name }}

{{ toc.signature }}

{{ tocHeader }} {{ 'ml-btn-view-details' | message }}

{{ tocSubheader }}

{{ 'ml-toc-proceed-mlc' | message }}

{{ 'ml-toc-proceed-tbs' | message }}

Ett fel uppstod, försök igen senare!

( Ma 1a , Ma 1c ) /

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

{{ article.displayTitle }}

{{ article.intro.summary }}

Visa mindre Visa mer

{{ ability.displayTitle }}

Inställningar & verktyg för lektion

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

Trigonometri handlar om sambanden mellan en triangels vinklar och sidlängder. Dessa samband kan användas för att beräkna okända vinklar med hjälp av sidlängderna eller vice versa.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Trigonometriska funktioner

Förkunskaper

Rät vinkel
Rätvinklig triangel
Hypotenusa
Pythagoras sats
Likformighet

Teori

Trigonometriska funktioner

För att koppla samman vinklar med sidor i rätvinkliga trianglar använder man trigonometriska funktioner. Dessa beror på en vinkel i triangeln och anger ett förhållande mellan längderna på två av triangelns sidor, antingen mellan de två kateterna eller mellan en katet och hypotenusan. Vilken katet som är motstående respektive närliggande beror på vilken vinkel man utgår från.

Med hjälp av kateterna och hypotenusan kan man för en vinkel

v

definiera olika trigonometriska funktioner. Tre av de mest använda är sinus, cosinus och tangens, vilka definieras på följande sätt.

$sin (v) = \frac{Motst a ˚ ende katet}{Hypotenusa}$

$cos (v) = \frac{N a ¨ rliggande katet}{Hypotenusa}$

$tan (v) = \frac{Motst a ˚ ende katet}{N a ¨ rliggande katet}$

De trigonometriska funktionerna säger inte något om de individuella sidlängderna utan enbart något om förhållandet mellan dem. Om man exempelvis vet att sinusvärdet för en vinkel är

0, 5

betyder det att den motstående sidan är hälften så lång som hypotenusan. Om man känner till en av sidorna och någon av de spetsiga vinklarna i triangeln kan man använda dem för att bestämma resten av sidorna. För att bestämma vinklar baserat på sidor använder man istället arcusfunktionerna.

Exempel

Bestäm sinus, cosinus och tangens för vinkeln

Bestäm sinus-, cosinus- och tangensvärdet för vinkeln $v .$

Ledtråd

Använd definitionerna av sinus, cosinus och tangent.

Lösning

Genom att använda definitionerna för tangens, cosinus och sinus kan vi bestämma de trigonometriska värdena för $v .$

$sin (v)$

För att bestämma sinusvärdet behöver vi längderna på den motstående kateten och hypotenusan. De är

3

respektive

5

längdenheter.

sin (v) = \frac{Motst a ˚ ende katet}{Hypotenusa}

SubstituteValues

Sätt in värden

sin (v) = \frac{3}{5}

Skriv i decimalform

sin (v) = 0, 6

Sinusvärdet för vinkeln är alltså

0, 6 .

$cos (v)$

Cosinus använder längderna på den närliggande kateten och hypotenusan. Dessa längder är

4

och

5 .

cos (v) = \frac{N a ¨ rliggande katet}{Hypotenusa}

SubstituteValues

Sätt in värden

cos (v) = \frac{4}{5}

Skriv i decimalform

cos (v) = 0, 8

Cosinusvärdet är alltså

0, 8 .

$tan (v)$

Till sist beräknar vi tangensvärdet och då behöver vi båda katetlängder:

3

och

4 .

tan (v) = \frac{Motst a ˚ ende katet}{N a ¨ rliggande katet}

SubstituteValues

Sätt in värden

tan (v) = \frac{3}{4}

Skriv i decimalform

tan (v) = 0, 75

Tangensvärdet blir

0, 75 .

Teori

Byta vinkelenhet på räknare

Eftersom de trigonometriska funktionerna använder vinklar som argument måste man ha rätt enhet inställd. Tryck på $MODE$ för att öppna inställningarna för detta.

TI-meny som visar MODE

Radianer brukar vara förinställt. Vill man byta till grader går man ner till tredje raden med piltangenterna och sätter markören på Degree. Därefter trycker man på $ENTER .$

TI-meny som visar MODE

För att t.ex. beräkna ett sinusvärde för en viss vinkel trycker man på $SIN .$ Skriv sedan vinkeln och slutparentes och tryck $ENTER .$

TI-beräkning som visar tangens

Exempel

Bestäm sida utifrån vinkel

Bestäm sidan $x$ i triangeln.

En rätvinklig triangel med vinklarna 30 och 60 grader, där kateten motstående 60 grader är x och hypotenusan är 1,8.

Avrunda svaret till två decimaler.

Ledtråd

Använd konceptet av sinus eller cosinus.

Lösning

För att bestämma $x$ kan man använda sinus eller cosinus. Vi visar båda.

Cosinus

Definitionen för cosinus är

cos (v) = \frac{N a ¨ rliggande katet}{Hypotenusa} .

Sidan

x

är närliggande katet till vinkeln

3 0^{\circ}

och hypotenusan har längden

1, 8

längdenheter. Vi sätter in dessa värden och löser ut

x .

cos (v) = \frac{N a ¨ rliggande katet}{Hypotenusa}

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

cos (3 0^{\circ}) = \frac{x}{1 , 8}

$VL \cdot 1, 8 = HL \cdot 1, 8$

cos (3 0^{\circ}) \cdot 1, 8 = x

Omarrangera ekvation

x = cos (3 0^{\circ}) \cdot 1, 8

För att beräkna värdet på

x

använder vi räknarens cos-knapp. Räknaren ska vara inställd på grader.

Sidan $x$ är alltså ca $1, 56$ le.

Sinus

Vi ska nu beräkna sidan

x

med sinus:

sin (v) = \frac{Motst a ˚ ende katet}{Hypotenusa} .

Hypotenusan är

1, 8

och

x

är nu den motstående kateten, vilket innebär att

v

måste vara vinkeln

6 0^{\circ} .

sin (v) = \frac{Motst a ˚ ende katet}{Hypotenusa}

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

sin (6 0^{\circ}) = \frac{x}{1 , 8}

$VL \cdot 1.8 = HL \cdot 1.8$

sin (6 0^{\circ}) \cdot 1, 8 = x

Omarrangera ekvation

x = sin (6 0^{\circ}) \cdot 1, 8

Slå in på räknare

x = 1, 558845 \dots

Avrunda till $2$ decimal(er)

x \approx 1, 56

Vi får samma svar. Sidlängden

x

är ca

1, 56

le.

Övning

Öva på att hitta sidlängder med trigonometriska förhållanden

I de rätvinkliga trianglarna nedan är en spetsig vinkel och en sidlängd given. Använd det motsvarande trigonometriska förhållandet för att hitta längden på sidan markerad med $x .$ Avrunda svaret till en decimal.

Right triangles

{{ grade.displayTitle }}

Laddar innehåll