Tangens, sinus och cosinus: Tan, sin och cos

Videolektion

Mathleaks

Minispelare aktiv

Trigonometri handlar om sambanden mellan en triangels vinklar och sidlängder. Dessa samband kan användas för att beräkna okända vinklar med hjälp av sidlängderna eller vice versa.

Regel

Trigonometriska funktioner

För att koppla samman vinklar med sidor i rätvinkliga trianglar använder man trigonometriska funktioner. Dessa beror på en vinkel i triangeln och anger ett förhållande mellan längderna på två av triangelns sidor, antingen mellan de två kateterna eller mellan en katet och hypotenusan. Vilken katet som är motstående respektive närliggande beror på vilken vinkel man utgår från.

Med hjälp av kateterna och hypotenusan kan man för en vinkel $v$ definiera olika trigonometriska funktioner. Tre av de mest använda är sinus, cosinus och tangens, vilka definieras på följande sätt.

$sin (v) = \frac{Motst a ˚ ende katet}{Hypotenusa}$

$cos (v) = \frac{N a ¨ rliggande katet}{Hypotenusa}$

$tan (v) = \frac{Motst a ˚ ende katet}{N a ¨ rliggande katet}$

De trigonometriska funktionerna säger inte något om de individuella sidlängderna utan enbart något om förhållandet mellan dem. Om man exempelvis vet att sinusvärdet för en vinkel är

0.5

betyder det att den motstående sidan är hälften så lång som hypotenusan. Om man känner till en av sidorna och någon av de spetsiga vinklarna i triangeln kan man använda dem för att bestämma resten av sidorna.

Bestäm sinus, cosinus och tangens för vinkeln

fullscreen

Bestäm sinus-, cosinus- och tangensvärdet för vinkeln $v .$

Visa Lösning

Genom att använda definitionerna för tangens, cosinus och sinus kan vi bestämma de trigonometriska värdena för $v .$

Exempel

$sin (v)$

För att bestämma sinusvärdet behöver vi längderna på den motstående kateten och hypotenusan. De är

3

respektive

5

längdenheter.

sin (v) = \frac{Motst a ˚ ende katet}{Hypotenusa}

SubstituteValues

Sätt in värden

sin (v) = \frac{3}{5}

WriteDec

Skriv i decimalform

sin (v) = 0.6

Sinusvärdet för vinkeln är alltså

0.6 .

Exempel

$cos (v)$

Cosinus använder längderna på den närliggande kateten och hypotenusan. Dessa längder är

4

och

5 .

cos (v) = \frac{N a ¨ rliggande katet}{Hypotenusa}

SubstituteValues

Sätt in värden

cos (v) = \frac{4}{5}

WriteDec

Skriv i decimalform

cos (v) = 0.8

Cosinusvärdet är alltså

0.8 .

Exempel

$tan (v)$

Till sist beräknar vi tangensvärdet och då behöver vi båda katetlängder:

3

och

4 .

tan (v) = \frac{Motst a ˚ ende katet}{N a ¨ rliggande katet}

SubstituteValues

Sätt in värden

tan (v) = \frac{3}{4}

WriteDec

Skriv i decimalform

tan (v) = 0.75

Tangensvärdet blir

0.75 .

Digitala verktyg

Byta vinkelenhet på räknare

Eftersom de trigonometriska funktionerna använder vinklar som argument måste man ha rätt enhet inställd. Tryck på MODE för att öppna inställningarna för detta.

Radianer brukar vara förinställt. Vill man byta till grader går man ner till tredje raden med piltangenterna och sätter markören på Degree. Därefter trycker man på ENTER.

För att t.ex. beräkna ett sinusvärde för en viss vinkel trycker man på SIN. Skriv sedan vinkeln och slutparentes och tryck ENTER.

Bestäm sida utifrån vinkel

fullscreen

Bestäm sidan $x$ i triangeln.

Visa Lösning

För att bestämma

x

kan man använda sinus eller cosinus. Vi visar båda.

Exempel

Cosinus

Definitionen för cosinus är

cos (v) = \frac{N a ¨ rliggande katet}{Hypotenusa} .

Sidan

x

är närliggande katet till vinkeln

3 0^{\circ}

och hypotenusan har längden 1.8 längdenheter. Vi sätter in dessa värden och löser ut

x .

cos (v) = \frac{N a ¨ rliggande katet}{Hypotenusa}

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

cos (3 0^{\circ}) = \frac{x}{1 . 8}

MultEqn

$VL \cdot 1.8 = HL \cdot 1.8$

cos (3 0^{\circ}) \cdot 1.8 = x

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

x = cos (3 0^{\circ}) \cdot 1.8

För att beräkna värdet på $x$ använder vi räknarens cos-knapp. Räknaren ska vara inställd på grader.

Sidan

x

är alltså ca

1.56

le.

Exempel

Sinus

Vi ska nu beräkna sidan

x

med sinus:

sin (v) = \frac{Motst a ˚ ende katet}{Hypotenusa} .

Hypotenusan är 1.8 och

x

är nu den motstående kateten, vilket innebär att

v

måste vara vinkeln

6 0^{\circ} .

sin (v) = \frac{Motst a ˚ ende katet}{Hypotenusa}

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

sin (6 0^{\circ}) = \frac{x}{1 . 8}

MultEqn

$VL \cdot 1.8 = HL \cdot 1.8$

sin (6 0^{\circ}) \cdot 1.8 = x

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

x = sin (6 0^{\circ}) \cdot 1.8

UseCalc

Slå in på räknare

x = 1.558845 \dots

RoundDec

Avrunda till $2$ decimal(er)

x \approx 1.56

Vi får samma svar. Sidlängden

x

är ca

1.56

le.

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Exempel

Bestäm sinus, cosinus och tangens för vinkeln

Exempel

Bestäm sida utifrån vinkel