body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

1c

Kurs 1c Visa detaljer

2. Trigonometri - tangens sinus och cosinus

Fortsätt till nästa lektion

( Ma 1a , Ma 1c ) /

Kapitel 5

2.

Trigonometri - tangens sinus och cosinus

Trigonometri studerar förhållandet mellan vinklar och sidor i en triangel. Detta innehåll fokuserar på de trigonometriska funktionerna tangens, sinus och cosinus. Det förklarar hur man bestämmer längderna på okända sidor i rätvinkliga trianglar med hjälp av dessa funktioner. Olika exempel ges för att demonstrera hur man beräknar längderna med en miniräknare, med specifika instruktioner för att använda knapparna sin, cos och tan. Innehållet inkluderar också övningar för att bestämma sidornas längder i trianglar, och runda svaren till hela tal eller decimaler. Definitioner av tangens, cosinus och sinus ges, och innehållet betonar vikten av att ha rätt enhet inställd på miniräknaren. Materialet är lämpligt för dem som studerar matematik på olika nivåer.

Inställningar & verktyg för lektion

	6 sidor teori
	21 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Trigonometri - tangens sinus och cosinus

Sida av 6

Trigonometri handlar om sambanden mellan en triangels vinklar och sidlängder. Dessa samband kan användas för att beräkna okända vinklar med hjälp av sidlängderna eller vice versa.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Trigonometriska funktioner

Förkunskaper

Rät vinkel
Rätvinklig triangel
Hypotenusa
Pythagoras sats
Likformighet

Teori

Trigonometriska funktioner

För att koppla samman vinklar med sidor i rätvinkliga trianglar använder man trigonometriska funktioner. Dessa beror på en vinkel i triangeln och anger ett förhållande mellan längderna på två av triangelns sidor, antingen mellan de två kateterna eller mellan en katet och hypotenusan. Vilken katet som är motstående respektive närliggande beror på vilken vinkel man utgår från.

Med hjälp av kateterna och hypotenusan kan man för en vinkel

v

definiera olika trigonometriska funktioner. Tre av de mest använda är sinus, cosinus och tangens, vilka definieras på följande sätt.

$sin (v) = \frac{Motst a ˚ ende katet}{Hypotenusa}$

$cos (v) = \frac{N a ¨ rliggande katet}{Hypotenusa}$

$tan (v) = \frac{Motst a ˚ ende katet}{N a ¨ rliggande katet}$

De trigonometriska funktionerna säger inte något om de individuella sidlängderna utan enbart något om förhållandet mellan dem. Om man exempelvis vet att sinusvärdet för en vinkel är

0, 5

betyder det att den motstående sidan är hälften så lång som hypotenusan. Om man känner till en av sidorna och någon av de spetsiga vinklarna i triangeln kan man använda dem för att bestämma resten av sidorna. För att bestämma vinklar baserat på sidor använder man istället arcusfunktionerna.

Exempel

Bestäm sinus, cosinus och tangens för vinkeln

Bestäm sinus-, cosinus- och tangensvärdet för vinkeln $v .$

Ledtråd

Använd definitionerna av sinus, cosinus och tangent.

Lösning

Genom att använda definitionerna för tangens, cosinus och sinus kan vi bestämma de trigonometriska värdena för $v .$

$sin (v)$

För att bestämma sinusvärdet behöver vi längderna på den motstående kateten och hypotenusan. De är

3

respektive

5

längdenheter.

sin (v) = \frac{Motst a ˚ ende katet}{Hypotenusa}

SubstituteValues

Sätt in värden

sin (v) = \frac{3}{5}

Skriv i decimalform

sin (v) = 0, 6

Sinusvärdet för vinkeln är alltså

0, 6 .

$cos (v)$

Cosinus använder längderna på den närliggande kateten och hypotenusan. Dessa längder är

4

och

5 .

cos (v) = \frac{N a ¨ rliggande katet}{Hypotenusa}

SubstituteValues

Sätt in värden

cos (v) = \frac{4}{5}

Skriv i decimalform

cos (v) = 0, 8

Cosinusvärdet är alltså

0, 8 .

$tan (v)$

Till sist beräknar vi tangensvärdet och då behöver vi båda katetlängder:

3

och

4 .

tan (v) = \frac{Motst a ˚ ende katet}{N a ¨ rliggande katet}

SubstituteValues

Sätt in värden

tan (v) = \frac{3}{4}

Skriv i decimalform

tan (v) = 0, 75

Tangensvärdet blir

0, 75 .

Teori

Byta vinkelenhet på räknare

Eftersom de trigonometriska funktionerna använder vinklar som argument måste man ha rätt enhet inställd. Tryck på $MODE$ för att öppna inställningarna för detta.

TI-meny som visar MODE

Radianer brukar vara förinställt. Vill man byta till grader går man ner till tredje raden med piltangenterna och sätter markören på Degree. Därefter trycker man på $ENTER .$

TI-meny som visar MODE

För att t.ex. beräkna ett sinusvärde för en viss vinkel trycker man på $SIN .$ Skriv sedan vinkeln och slutparentes och tryck $ENTER .$

TI-beräkning som visar tangens

Exempel

Bestäm sida utifrån vinkel

Bestäm sidan $x$ i triangeln.

En rätvinklig triangel med vinklarna 30 och 60 grader, där kateten motstående 60 grader är x och hypotenusan är 1,8.

Avrunda svaret till två decimaler.

Ledtråd

Använd konceptet av sinus eller cosinus.

Lösning

För att bestämma $x$ kan man använda sinus eller cosinus. Vi visar båda.

Cosinus

Definitionen för cosinus är

cos (v) = \frac{N a ¨ rliggande katet}{Hypotenusa} .

Sidan

x

är närliggande katet till vinkeln

3 0^{\circ}

och hypotenusan har längden

1, 8

längdenheter. Vi sätter in dessa värden och löser ut

x .

cos (v) = \frac{N a ¨ rliggande katet}{Hypotenusa}

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

cos (3 0^{\circ}) = \frac{x}{1 , 8}

$VL \cdot 1, 8 = HL \cdot 1, 8$

cos (3 0^{\circ}) \cdot 1, 8 = x

Omarrangera ekvation

x = cos (3 0^{\circ}) \cdot 1, 8

För att beräkna värdet på

x

använder vi räknarens cos-knapp. Räknaren ska vara inställd på grader.

Sidan $x$ är alltså ca $1, 56$ le.

Sinus

Vi ska nu beräkna sidan

x

med sinus:

sin (v) = \frac{Motst a ˚ ende katet}{Hypotenusa} .

Hypotenusan är

1, 8

och

x

är nu den motstående kateten, vilket innebär att

v

måste vara vinkeln

6 0^{\circ} .

sin (v) = \frac{Motst a ˚ ende katet}{Hypotenusa}

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

sin (6 0^{\circ}) = \frac{x}{1 , 8}

$VL \cdot 1.8 = HL \cdot 1.8$

sin (6 0^{\circ}) \cdot 1, 8 = x

Omarrangera ekvation

x = sin (6 0^{\circ}) \cdot 1, 8

Slå in på räknare

x = 1, 558845 \dots

Avrunda till $2$ decimal(er)

x \approx 1, 56

Vi får samma svar. Sidlängden

x

är ca

1, 56

le.

Övning

Öva på att hitta sidlängder med trigonometriska förhållanden

I de rätvinkliga trianglarna nedan är en spetsig vinkel och en sidlängd given. Använd det motsvarande trigonometriska förhållandet för att hitta längden på sidan markerad med $x .$ Avrunda svaret till en decimal.

Right triangles

Trigonometri - tangens sinus och cosinus

Övningar

Beräkna $sin (v)$ för triangeln. Svara i enklaste bråkform.

En rätvinklig triangel med höjden 11 och hypotenusan 14.

En rätvinklig triangel med kateterna 6 och 8.

sin(v) beräknas som kvoten mellan den motstående kateten på 11 le. och hypotenusan som är 14 le.

Vi använder definitionen för sinus.

Svaret är alltså sin(v)= 1114.

Vi beräknar först sin(v). Motstående katet till vinkeln v är 6 le. lång, och hypotenusan är triangelns bas som är 10 le.

Vi sätter in detta i definitionen för sinus.

Svaret är alltså sin(v)= 35.

Bilden visar en rätvinklig triangel.

Vilken av de trigonometriska funktionerna tangens, sinus och cosinus kan användas för att bestämma längden på sida

x .

Bestäm längden på sidan

x .

Avrunda till heltal.

Vilken av de trigonometriska funktionerna vi kan använda beror på vad vi vet om triangeln, dvs. vilken sida vi söker och vilken av de övriga sidorna som är känd. Det är bra att ha definitionerna till hands, vilka finns på t.ex. formelbladet.

tan(v)=Motstående katet/Närliggande katet

sin(v)=Motstående katet/Hypotenusa

cos(v)=Närliggande katet/Hypotenusa

Om vi utgår ifrån 25^(∘)-vinkeln ser vi att närliggande katet, dvs. kateten närmast den vinkel vi utgår ifrån, är känd och att kateten som står mittemot vinkeln, dvs. motstående katet, är okänd.

Detta innebär att vi måste använda definitionen för tangens för att bestämma sida x, eftersom det är den enda av funktionerna som beror av båda kateterna.

Nu ska vi bestämma längden på sidan x, vilket vi gör med hjälp av definitionen för tangens.

Sida x är alltså ca 17 le.

Vad är tangensvärdet $tan (v)$ i triangeln?

En rätvinklig triangel med basen 4 och höjden 2.

Rätvinklig triangel med höjden x och basen 1.25x.

Triangeln är rätvinklig. Den motstående sidan är 2 le. och den närliggande är 4 le. Sätter vi in dessa värden i definitionen för tangens kan vi bestämma tangensvärdet.

Vinkelns tangensvärde är 0,5.

Triangeln är rätvinklig. Den motstående kateten är x le. och den närliggande är 1,25 x le. Sätter vi in dessa värden i definitionen för tangens kan vi bestämma tangensvärdet.

Vinkelns tangensvärde är 0,8.

$x$ är en katet i en rätvinklig triangel. Bestäm $x$ och svara med två värdesiffror.

x = 13 tan (3 0^{\circ})

tan (7 0^{\circ}) = \frac{x}{5}

tan (4 5^{\circ}) = \frac{1 8}{x}

Här behöver vi bara utföra beräkningen. Se till att du har räknaren inställd på grader och kom ihåg att det står ett gångertecken mellan 13 och tan(30 ^(∘)). Använd TAN-knappen på räknaren.

Vi ser nu att x≈7,5 le.

Vi måste börja med att lösa ut x genom att multiplicera med 5. Därefter slår vi in svaret på räknaren.

Vi slår in högerledet från ekvationen ovan på räknaren på samma sätt som i föregående uppgift.

Svaret är alltså att x ≈ 14 le.

I den här uppgiften behöver vi ett steg till. Först måste vi multiplicera med x för att få bort det ur nämnaren. Därefter kan vi dividera med hela talet tan(45 ^(∘)).

Som tidigare slår vi nu in detta på räknaren.

Vi kan alltså konstatera att x=18 le. Notera att detta betyder att tan(45 ^(∘)) är lika med 1.

Varför blev tan(45 ^(∘))=1? Jo, i en rätvinklig triangel är den ena vinkeln alltid 90 ^(∘). Om den andra vinkeln är 45 ^(∘), blir den tredje vinkeln 180^(∘)-90^(∘)-45^(∘)=45 ^(∘) (eftersom vinkelsumman i en triangel alltid är 180^(∘)). Triangeln har alltså två lika stora vinklar vilket betyder att den är likbent.

I vårt fall innebär det att båda kateterna har samma längd och då blir kvoten mellan kateterna (alltså tangens för vinkeln 45^(∘)) lika med 1.

Bestäm $tan (B) .$ Svara med $2$ decimaler.

En rätvinklig triangel med sidorna 8, 15 och 17.

En rätvinklig triangel med sidorna 20, 21 och 29.

För att bestämma ett tangensvärde använder vi definitionen av tangens. Den motstående kateten till vinkel B är 8 le. och den närliggande är 15 le. Sätter vi in dessa i definitionen av tangens kan vi bestämma tangensvärdet.

Då gör vi samma sak igen. Den motstående kateten till vinkel B är 21 le. och den närliggande är 20 le. Dessa värden sätter vi in i definitionen för tangens.

Bestäm sidan $x .$ Längderna anges i meter. Avrunda svaret till hela meter.

En röd rätvinklig triangel med höjden 120.

En grön rätvinklig triangel med basen 12.5.

En blå rätvinklig triangel med höjden 50.

I triangeln känner vi till en vinkel (50^(∘)) och dess motstående katet är 120 m och det vi söker är hypotenusan x. Det passar bara med definitionen av sinus. Vi sätter in våra värden och löser ut x.

Nu tar vi hjälp av räknaren för att bestämma x.

Med hjälp av sinus bestämde vi längden till ca 157 m.

Här känner vi till en vinkel (22^(∘)) och dess närliggande katet är 12,5 m. Vi söker längden på den motstående kateten till vinkeln x. Detta stämmer med definitionen av tangens, så vi sätter in våra värden och löser ut x.

Vi använder räknaren ännu en gång.

Vi använde tangens och kom fram till längden ca 5 m.

Vi söker hypotenusan x, vilket innebär att vi inte kan använda tangens eftersom dess definition inte innehåller hypotenusan. Använder vi vinkeln 30^(∘) är den kända kateten motstående, medan för vinkeln 60^(∘) är den den närliggande. Vi kan alltså använda antingen sinus eller cosinus. Vi väljer vinkeln 60^(∘) och definitionen för cosinus.

Vi använder räknaren ännu en gång.

Hypotenusans längd är alltså 100 m, vilket kan räknas ut med antingen sinus eller cosinus.

För sista triangeln kunde vi även använda sinus. Då är vinkeln som ska användas 60^(∘) och kateten är då motstående till vinkeln.

Räknaren hjälper oss bestämma x.

Vi får samma svar, x=100 m.

Bestäm sidan $x$ i trianglarna. Avrunda till heltal. Längderna är angivna i cm.

En rätvinklig triangel med hypotenusan 17.

En rätvinklig triangel med hypotenusan x.

En triangel som är rätvinklig med hypotenusan 10.

Vi har en rätvinklig triangel. Utgår vi från den kända vinkeln, 62 ^(∘), är x den närliggande kateten och hypotenusan är 17 cm. Vi kan då använda oss av cosinus. Glöm inte att räknaren ska vara inställd på grader.

Vi slår nu in högerledet ovan på räknaren för att beräkna x.

Triangelns höjd är alltså ca 8 cm.

Här är den kända vinkeln 37 ^(∘), och den kända sidan är motstående katet till hypotenusan x. Vi kan då använda sinus.

Vi beräknar ännu en gång värdet av högerledet på räknaren.

Vi konstaterar att hypotenusan x är ungefär 15 cm.

Lägg märke till att sidan som är 10 cm är hypotenusan. Sidan x blir därmed motstående katet till vinkeln 53 ^(∘) och vi tar sinus till hjälp.

Som tidigare får vi reda på resultatet med räknaren.

Sidan x är ungefär 8 cm.

Bestäm den okända kateten. Avrunda till heltal.

En rätvinklig triangel med okänd katet x och känd katet 80.

En rätvinklig triangel med okänd katet y och känd katet 20.

Vi har en rätvinklig triangel. För vinkeln 62 ^(∘) är x den motstående kateten och den närliggande kateten är 80 le. Vi kan då använda oss av definitionen av tangens. Glöm inte att räknaren ska vara inställd på grader.

Vi räknar nu ut x med hjälp av räknaren.

x är ungefär 150 le.

Här har vi vinkeln 44 ^(∘). Den kända sidan är den motstående kateten och y är den närliggande. Vi sätter in det i definitionen för tangens.

Nu hittar vi värdet av y med hjälp av räknaren.

Kateten y är ungefär 21 le.

Bestäm $b$ om man vet att $tan (v) = 0, 78 .$ Avrunda till en decimal.

En grön rätvinklig triangel med basen 22.

Enligt definitionen av tangens beräknas tangensvärdet för en vinkel genom att dividera den motstående sidan med den närliggande sidan. Från figuren ser vi att den motstående sidan är b le. och att den närliggande är 22 le. Denna kvot ska alltså vara lika stor som tangensvärdet 0,78.

Nu har vi en vanlig linjär ekvation som vi kan lösa med balansmetoden.

Sidan b är alltså ca 17,2 le.

Beräkna arean av en liksidig triangel med sidan

16

cm. Använd trigonometri och avrunda till heltal.

Eftersom triangeln är liksidig är alla sidor 16 cm och triangelns vinklar lika stora, dvs. 180^(∘)3=60^(∘). Vi skissar triangeln och ritar in dess höjd, h, som är vinkelrät mot basen.

Höjden delar triangeln i två rätvinkliga trianglar med vinklar och sidor som i figuren.

Det går att räkna ut höjden med Pythagoras sats men eftersom vi ska lösa uppgiften med trigonometri använder vi någon av de trigonometriska funktionerna. Vi väljer tangens och utgår från 60^(∘)-gradersvinkeln i en av de rätvinkliga trianglarna. Då är närliggande katet 8 cm och motstående katet den okända höjden, h. Vi sätter in detta i definitionen för tangens.

Vi behåller detta exakta uttryck för höjden för att undvika avrundningsfel när vi bestämmer triangelns area. Det gör vi genom att multiplicera höjden med basen och dela med 2.

Triangelns area är alltså ca 111 cm^2.

Trigonometri - tangens sinus och cosinus

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Laddar innehåll