body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Rekommenderade

Tester

Ett fel uppstod, försök igen senare!

eKurser /

( Ma 2b , Ma 2c ) /

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

Visa mindre Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Parallelltransversal
Topptriangel
Topptriangelsatsen
Transversalsatsen

Förkunskaper

Förhållande
Transversal
Parallel
Triangel
Likformiga trianglar

Koncept

Parallelltransversal

En parallelltransversal är parallell med någon av sidorna inuti en geometrisk figur. I triangeln är $D E$ en parallelltransversal eftersom den är parallell med basen.

Koncept

Topptriangel

Om en parallelltransversal dras i en triangel kallas den nya, mindre triangeln för topptriangel.

En topptriangel behöver inte nödvändigtvis befinna sig på toppen av triangeln. Den kan t.ex. lika gärna vara på sidan, så länge en parallelltransversal skapar den.

Utforska

Relating a triangle and its top triangle

In the following applet, the vertices of the large triangle and the red point are movable. The line drawn is a parallel transversal. Investigate whether there is a relationship between the side lengths of the top triangle and the side lengths of the large triangle.

Regel

Topptriangelsatsen

Om en linje är parallell med en sida av en triangel och skär de andra två sidorna, är den resulterande mindre triangeln likformig med den ursprungliga triangeln.

Triangel ABC med linjesegmentet DE ritat parallellt med AB.

Detta innebär att förhållandena mellan motsvarande sidor är lika.

$\frac{D E}{A B} = \frac{C D}{A C} = \frac{C E}{B C}$

Bevis

Eftersom parallelltransversalen $D E$ är parallell med sidan $A B$ bildas två likbelägna vinklar vid $A$ och $D$ som är lika stora.

Utöver detta finns vinkeln vid hörn $C$ både i topptriangeln och den stora triangeln.

Om två vinklar stämmer överens mellan två trianglar måste även den tredje göra det, vilket innebär att kravet för likformighet är uppfyllt. Detta betyder att topptriangeln $D E C$ och den stora triangeln $A B C$ är likformiga.

Q.E.D.

Exempel

Bestäm längden av sidan med topptriangelsatsen

Sidan $D E$ är en parallelltransversal.

Bestäm längden av sträckan

C D

och svara med en decimal. Måtten är i cm.

Ledtråd

Att tillämpa Topptriangelsatsen.

Lösning

Vi kallar sträckan $C D$ för $x .$ Eftersom $D E$ är en parallelltransversal är topptriangeln $D E C$ likformig med triangeln $A B C .$

För likformiga trianglar är förhållandet mellan motsvarande sidor lika stort. Det betyder att vi kan ställa upp ekvationen

\frac{1 , 2 5}{3} = \frac{x}{x + 2 , 5} .

Vi löser sedan ekvationen.

\frac{1 , 2 5}{3} = \frac{x}{x + 2 , 5}

CrossMult

Korsmultiplicera

1, 25 (x + 2, 5) = 3 \cdot x

Distr

Multiplicera in $1, 25$

1, 25 \cdot x + 1, 25 \cdot 2.5 = 3 \cdot x

Multiply

Multiplicera faktorer

1, 25 x + 3, 125 = 3 x

SubEqn

$VL - 1, 25 x = HL - 1, 25 x$

3, 125 = 1, 75 x

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

1, 75 x = 3, 125

DivEqn

$VL / 1, 75 = HL / 1, 75$

x = \frac{3 , 1 2 5}{1 , 7 5}

UseCalc

Slå in på räknare

x = 1, 78571 \dots

RoundDec

Avrunda till $1$ decimal(er)

x \approx 1, 8

Sträckan $C D$ är cirka $1, 8 cm .$

Utforska

Comparing Segment Lengths

In the following applet, $△ D E C$ is a top triangle and the segment $D E$ is a parallel transversal. Points $D$ and $E$ divide the sides $A C$ and $B C$ into two segments each, respectively. Is there a relationship between the lengths of these segments?

Regel

Transversalsatsen

En parallelltransversal i en triangel delar två av sidorna i delsträckor. I triangeln har parallelltransversalen $D E$ ritats in och bildat delsträckorna $A D,$ $C D,$ $C E$ och $B E .$

Enligt transversalsatsen är förhållandet mellan delsträckorna på ena sidan samma som för delsträckorna på den andra sidan.

$\frac{C D}{A D} = \frac{C E}{B E}$

Satsen kan bevisas med hjälp av topptriangelsatsen.