7. Topptriangel- och transversalsatsen
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 4
7.
Topptriangel- och transversalsatsen
Lektionen fokuserar på två geometriska begrepp: toptriangelsatsen och transversalsatsen. Dessa satser tillämpas inom klassisk geometri, specifikt inom trianglar. Topptriangelsatsen innebär att om en parallell transversal dras i en triangel, skapas en topptriangel som är lik den större triangeln. Transversalsatsen förklarar att en parallell transversal i en triangel delar två av sidorna i segment, och förhållandet mellan dessa segment är detsamma på båda sidorna. Sidan ger exempel och lösningar på problem som involverar dessa satser, inklusive att bestämma okända längder och vinklar. Den erbjuder också interaktiva verktyg för att förbättra förståelsen.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 10 sidor teori |
| | 17 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Topptriangel- och transversalsatsen
Sida av 10
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Parallelltransversal
- Topptriangel
- Topptriangelsatsen
- Transversalsatsen
Förkunskaper
Koncept
Parallelltransversal
Koncept
Topptriangel
Om en parallelltransversal dras i en triangel kallas den nya, mindre triangeln för topptriangel.
En topptriangel behöver inte nödvändigtvis befinna sig på toppen av triangeln. Den kan t.ex. lika gärna vara på sidan, så länge en parallelltransversal skapar den.
Utforska
Relating a triangle and its top triangle
Regel
Topptriangelsatsen
Om en linje är parallell med en sida av en triangel och skär de andra två sidorna, är den resulterande mindre triangeln likformig med den ursprungliga triangeln.
Detta innebär att förhållandena mellan motsvarande sidor är lika.
ABDE=ACCD=BCCE
Bevis
Eftersom parallelltransversalen DE är parallell med sidan AB bildas två likbelägna vinklar vid A och D som är lika stora.
Utöver detta finns vinkeln vid hörn C både i topptriangeln och den stora triangeln.
Om två vinklar stämmer överens mellan två trianglar måste även den tredje göra det, vilket innebär att kravet för likformighet är uppfyllt. Detta betyder att topptriangeln DEC och den stora triangeln ABC är likformiga.
Q.E.D.
Exempel
Bestäm längden av sidan med topptriangelsatsen
Sidan DE är en parallelltransversal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.68333em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.07153em;\">C<\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.02778em;\">D<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":"cm","answer":{"text":["1,8"]}}
Ledtråd
Att tillämpa Topptriangelsatsen.
Lösning
Vi kallar sträckan CD för x. Eftersom DE är en parallelltransversal är topptriangeln DEC likformig med triangeln ABC.
31,25=x+2,5x.
Vi löser sedan ekvationen.
31,25=x+2,5x
CrossMult
Korsmultiplicera
1,25(x+2,5)=3⋅x
Distr
Multiplicera in 1,25
1,25⋅x+1,25⋅2.5=3⋅x
Multiply
Multiplicera faktorer
1,25x+3,125=3x
SubEqn
VL−1,25x=HL−1,25x
3,125=1,75x
RearrangeEqn
Omarrangera ekvation
1,75x=3,125
DivEqn
VL/1,75=HL/1,75
x=1,753,125
UseCalc
Slå in på räknare
x=1,78571…
RoundDec
Avrunda till 1 decimal(er)
x≈1,8
Sträckan CD är cirka 1,8 cm.
Utforska
Comparing Segment Lengths
In the following applet, △DEC is a top triangle and the segment DE is a parallel transversal. Points D and E divide the sides AC and BC into two segments each, respectively. Is there a relationship between the lengths of these segments?
Regel
Transversalsatsen
En parallelltransversal i en triangel delar två av sidorna i delsträckor. I triangeln har parallelltransversalen DE ritats in och bildat delsträckorna AD, CD, CE och BE.
Enligt transversalsatsen är förhållandet mellan delsträckorna på ena sidan samma som för delsträckorna på den andra sidan.
ADCD=BECE
Satsen kan bevisas med hjälp av topptriangelsatsen.
Bevis
Enligt topptriangelsatsen gäller
cc+d=aa+b,
dvs. kvoten mellan en sidlängd i den stora triangeln och motsvarande sidlängd i topptriangeln är konstant. cc+d=aa+b
CrossMult
Korsmultiplicera
a(c+d)=c(a+b)
Distr
Multiplicera in a&c
ac+ad=ac+cb
SubEqn
VL−ac=HL−ac
ad=cb
DivEqn
VL/b=HL/b
bad=c
DivEqn
VL/d=HL/d
ba=dc
Detta är transversalsatsen.
Q.E.D.
Exempel
Bestäm längden med transversalsatsen
Sträckan DE är en parallelltransversal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.68333em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.07153em;\">C<\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.05764em;\">E<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":"le.","answer":{"text":["3,3"]}}
Ledtråd
Att tillämpa Transversalsatsen.
Lösning
Vi kallar den okända sidan CE för x. Eftersom DE är en parallelltransversal delas den nedre och övre sidan i samma förhållande.
10x=124.
Nu löser vi ut x.
10x=124
MultEqn
VL⋅10=HL⋅10
x=1240
UseCalc
Slå in på räknare
x=3,33333…
RoundDec
Avrunda till 1 decimal(er)
x≈3,3
Sträckan CE är alltså cirka 3,3 le.
Övning
Tillämpning av Topptriangelsatsen och Transversalsatsen
Topptriangel- och transversalsatsen
Övningar
En halvcirkel har skrivits in i en rätvinklig triangel så att cirkelns diameter ligger längs hypotenusan och cirkelranden tangerar kateterna. Beräkna sträckan x. Avstånden är angivna i cm.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"cm","answer":{"text":["0.4"]}}
security
report
code
security
report
code
Eftersom triangelns kateter blir tangenter till cirkelns rand, vet vi att en radie som går ut till tangeringspunkten kommer att vara vinkelrät mot tangenten. Vi drar en radie med längden r till tangeringspunkten med den längre kateten så att radien bildar en parallelltransversal mot den korta kateten.
För att bestämma sträckan x behöver vi alltså beräkna cirkelns radie. För att göra det använder vi topptriangelsatsen som säger att den mindre topptriangeln är likformig med hela triangeln.
Vi lyfter ut topptriangeln och markerar sidorna i de likformiga trianglarna.
Nu använder vi likformigheten mellan trianglarna för att bestämma r.
Halvcirkelns radie är 1,725, och nu kan vi bestämma x.
x blir alltså 5cm minus övriga längder i figuren: 5-2 * 1,725-1,15 = 0,4 cm.
security
report
code
Topptriangel- och transversalsatsen
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll