Topptriangel- och transversalsatsen

Vi bestämmer granens höjd med topptriangelsatsen. Vi skissar en triangel där julgranens höjd, som vi kallar x, representerar en av triangelns sidor och Eriks kropp utgör en transversal. Eftersom både julgranen och Erik står upp 90^(∘) mot marken är dessa höjder parallella.

Vi lyfter ut topptriangeln.

Genom att dela motsvarande sidor i respektive triangel med varandra ska vi få samma kvot. Vi kan därför likställa dessa och lösa ut x.

Julgranen är 2,49 meter hög. Eftersom takhöjden bara var 2,4m går den inte in i Eriks lägenhet.

Strecken som markerar 1 745 möh och 2 000 möh är parallella, vilket gör att strecket vid 1 745 möh är en parallelltransversal som skapar en topptriangel som är likformig med hela triangeln. Avståndet mellan 2 000 möh. och 2 335 möh. är 2 335 - 2 000 = 335 meter och mellan 1 745 möh. och 2 000 möh. är det 2 000 - 1 745 = 255 meter.

För att hitta x kan vi använda transversalsatsen eller topptriangelsatsen. Eftersom triangelns sidor är uppdelade i delsträckor är det enklare att använda transversalsatsen, som ger x/1 132=255/335. Från detta samband kan vi bestämma den okända sträckan x.

Åkarna hade ungefär 860 meter kvar till mål när de körde förbi Pontus.

∧ ADE och ∧ ABC är likbelägna vinklar. Eftersom de är lika stora (90^(∘)) måste sträckorna DE och BC vara parallella, så DE är en parallelltransversal.

Eftersom DE är en parallelltransversal är △ ADE en topptriangel.Vi lyfter ut den och markerar sidorna.

Enligt topptriangelsatsen är trianglarna likformiga så vi använder det för att beräkna x.

Nu ser vi att x=2/3 le.

Akterstaget, masten och de uppmätta avstånden bildar en triangel och en topptriangel. Vi väljer att kalla den okända delen av mastens höjd för x som i figuren nedan.

Vi lyfter ut topptriangeln, som enligt topptriangelsatsen är likformig med hela triangeln, och markerar höjden och basen i båda trianglarna.

I de två likformiga trianglarna ser vi att höjderna x och x+0,80 motsvarar varandra och baserna 4,20 och 4,50 motsvarar varandra. Vi ställer upp en ekvation och löser ut x.

Det okända avståndet x är alltså 11,20 och lägger vi ihop det med den uppmätta delen av masten får vi 11,20 + 0,80=12,00. Masten är alltså 12 meter hög.

Om vi roterar triangeln ser vi att sträckan DE skapar en topptriangel i den stora triangel, och eftersom DE är en parallelltransversal kan vi använda topptriangelsatsen. Vi kan även kalla sidan EA för y.

Med hjälp av Pythagoras sats kan vi nu ta reda på y i den rätvinkliga triangeln CEA.

Sidan y är alltså 28 le.

Nu kan vi använda topptriangelsatsen för att ta reda på x. Den ger att topptriangeln är likformig med hela stora triangeln, vilket gör att vi kan ställa upp ekvationen x/53=21/21+28. Vi löser den.

Sträckan x är alltså 23 le.

För att bestämma arean av △ ABC behöver vi veta basen och höjden, dvs. sidorna AB och CF. För tillfället vet vi ingenting om dessa, men vi kan ta reda på sträckan som kallas h i figuren nedan med Pythagoras sats. Då måste vi först bestämma sträckan y.

Vi använder transversalsatsen för att bestämma y.

Nu kan vi beräkna h med Pythagoras sats.

Nu använder vi Pythagoras sats igen för att beräkna sträckan markerad som b i figuren nedan. När vi gjort det känner vi till parallelltransversalens längd vilket utgör topptriangelns bas.

Vi sätter in våra värden i Pythagoras sats.

Nu kan längden DE beräknas till: 8+2,5=10,5cm.

När vi vet basen kan topptriangelsatsen användas för att bestämma den stora triangelns bas dvs. AB.

Nu vet vi basen och det som fattas för att bestämma höjden är sträckan x i figuren nedan.

Vi använder transversalsatsen för att bestämma x.

Nu kan triangelns höjd bestämmas till 6+3=9. Vi beräknar till sist arean av △ ABC genom att multiplicera basen med höjden och delar produkten med 2. A=9 * 15,75/2=70,875. Triangelns area är ca 71 a.e.