Bevis

Bevis för transversalsatsen

En parallelltransversal inritad i en triangel delar, enligt transversalsatsen, två av triangelns sidor så att $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d},$ där avstånden ges av figuren nedan.

Enligt topptriangelsatsen gäller $\dfrac{c + d}{c} = \dfrac{a + b}{a},$ dvs. kvoten mellan en sidlängd i den stora triangeln och motsvarande sidlängd i topptriangeln är konstant.

$\dfrac{c + d}{c} = \dfrac{a + b}{a}$

Korsmultiplicera

$a(c + d) = c (a + b)$

Multiplicera in $a\, \&\, c$

$ac + ad = ac + cb$

$\text{VL}-ac=\text{HL}-ac$

$ad = cb$

$\left.\text{VL}\middle/b\right.=\left.\text{HL}\middle/b\right.$

$\dfrac{ad}{b} = c$

$\left.\text{VL}\middle/d\right.=\left.\text{HL}\middle/d\right.$

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$

Detta är transversalsatsen.

Q.E.D.