Tolka andragradsfunktioner: Extrempunkter och symmetrilinje

Bonden Ulrika ska bygga en inhägnad för att skydda sin jordgubbsodling från hungriga kaniner. Hon tänker bygga den mot sidan av sin lada, så det behövs bara stängsel till tre sidor av inhägnaden.

Ulrika vill att inhägnaden ska ha så stor area som möjligt, men hon har bara 10 m stängsel. Vad är den största möjliga arean för inhägnaden?

Om vi ska kunna hitta den maximala arean för inhägnaden måste vi först ställa upp ett uttryck för arean. Från figuren ser vi att ena sidan är x, och om vi kallar längden på den andra för s vet vi att summan av två sådana och ett x ska vara lika med 10, eftersom det är längden på hela staketet: 2s + x = 10. Vi kan nu lösa ut s.

Nu har vi uttryck för alla sidor med stängsel.

Arean ges av den ena sidlängden multiplicerad med den andra. Det ger oss funktionen A(x): A(x) = x(5 - 0.5x). Vi vill nu hitta det maximala värdet för denna funktion, vilket vi kan göra med hjälp av räknarens maximifunktion eller för hand. Här visar vi hur man gör det för hand och börjar då med att hitta symmetrilinjen. Vi sätter funktionen till noll och söker nollställena, vilket kan göras med nollproduktmetoden.

Nollställena finns vid x = 0 och x = 10, och symmetrilinjen finns mittemellan dessa, alltså vid x_s = 0 + 10/2 = 10/2 = 5. Nu behöver vi bara sätta in x_s = 5 i A(x) för att räkna ut det extremvärdet.

Extremvärdet är alltså 12.5 m^2. Nu måste vi bara kontrollera att detta är ett maximivärde och inte ett minimivärde. Det gör vi genom att undersöka koefficienten i x^2-termen: A(x) = x (5 - 0.5x ) = 5x-0.5x^2. Framför x^2-står -0.5, alltså ett negativt tal. Det betyder att vår extrempunkt är en maximipunkt. Den största arean inhägnaden kan ha är alltså 12.5 m^2.

En av sevärdheterna i Sydney är den stora stålbron, Sydney Harbour Bridge. Mellan bropelarna löper ett brospann som har formen av en andragradskurva. Den högsta punkten är belägen $85$ meter över vägbanan. Vägbanan ligger i sin tur $49$ meter över vattenytan. Brospannet befinner sig ovanför vägbanan längs en $400$ meter lång vägsträcka. Se figur.

Ekvationen för andragradskurvan som beskriver brospannet kan skrivas som

y = a x^{2} + b,

där

a

och

b

är konstanter.

Vilket värde har konstanten $b$ för den andragradskurva som beskriver brospannet?

Nationella provet VT11 MaB

Hur långt är avståndet mellan bropelarna? Svara i hela meter.

Nationella provet VT11 MaB

Mitt på bron, alltså där x = 0, vet vi att brospannet har sin högsta punkt 85 m ovanför vägbanan. Det betyder att andragradskurvan som beskriver brospannet är y = 85 när x = 0. Sätter vi in detta i funktionen y = ax^2 + b går det att lösa ut b.

Konstanten b är alltså 85. Detta kan man också se direkt eftersom b är konstanttermen och därför kan läsas av som y-värdet där kurvan skär y-axeln.

Vi börjar med att bestämma hela funktionsuttrycket som beskriver brospannet. I förra uppgiften bestämde vi konstanten b som 85, vilket ger funktionen y = ax^2 + 85. För att bestämma a använder vi ytterligare en känd punkt på grafen, där brospannet möter vägbanan. Vägbanan är 400 m lång, så från mitten måste det vara hälften så långt, alltså 200 m. Det ger att brospannet möter vägbanan i punkterna (- 200, 0) och (200, 0).

Vi sätter in t.ex. x = 200 och y = 0 och löser ut a.

Funktionen som beskriver brospannet är alltså y = - 0.002125 x^2 + 85. Nu kan vi bestämma avståndet mellan bropelarna. Brospannet möter vattnet 49 m ned, alltså när y = - 49. Om vi bestämmer x-värdena för detta y-värde, dvs. x_1 och x_2, kan vi beräkna skillnaden mellan punkterna. Det är också samma avstånd som mellan bropelarna.

Vi sätter alltså in y=- 49 i funktionen och löser ut x.

Vi får alltså x-värdena x_1 ≈ - 251.12 och x_2 ≈ 251.12, och vi beräknar skillnaden mellan dessa.

Avståndet mellan bropelarna är alltså ca 502 meter.

Ett företag säljer världens godaste kanelbullar. Företaget har tagit fram modeller av sina intäkter,

R (x),

och kostnader,

C (x) .

R (x) = - 0.5 x^{2} + 40 x 0 \leq x \leq 80 C (x) = 11 x + 1500 \leq x \leq 80

Båda anges i miljoner kr och

x

anger antalet miljoner tillverkade kanelbullar. Vinsten

P (x)

definieras som intäkterna minus kostnaderna.

Hur många bullar måste företaget minst sälja för att gå i nettovinst? Svara i hela miljoner.

Vad är företagets maximala vinst? Svara i hela miljoner kr.

Frågan gäller vinstfunktionen P(x), så vi börjar med att undersöka den närmare. Vi får veta att den är intäkterna minus kostnaderna, alltså P(x) = R(x) - C(x). Eftersom vi har uttryck för båda dessa kan vi sätta in dem och förenkla.

Eftersom kvadrattermen i vinstfunktionen är negativ får funktionen en maximipunkt. Till höger och vänster om denna maximipunkt kommer kurvan att skära x-axeln och mellan dessa två nollställen kommer vinstfunktionen vara positiv, vilket innebär att företaget går med vinst. Vi bestämmer nollställena genom att sätta funktionen till noll.

Vi löser sedan ekvationen med pq-formeln.

Mellan x=6 och x=52 miljoner kanelbullar är alltså vinsten större än noll.

Den största vinsten får företaget i vinstfunktionens maximipunkt. Denna kan vi hitta antingen med hjälp av räknarens funktion för detta eller för hand genom att bestämma funktionens värde i symmetrilinjen, vilket vi gör här. Andragradsfunktioners maximipunkter ligger alltid på dess symmetrilinje, och symmetrilinjen x_s går mittemellan nollställena. Från pq-formeln vet vi att symmetrilinjen ligger i x_s=29, eftersom nollställena båda låg på avståndet sqrt(541) därifrån. Vi sätter in denna x-koordinat i vinstfunktionen och förenklar.

Den största vinsten är cirka 271 miljoner.

En bangolfspelare slår en spik med en chipper. Bollens bana kan beskrivas av andragradsfunktionen $y = 1.2 x - 0.4 x^{2},$ där $y$ är höjden och $x$ är längden.

En minigolfbana med en boll som rör sig i en parabolisk bana.

Hålet befinner sig

0.5

meter ovanför utslagsplatsen. Hur långt är slaget? Lös uppgiften utan räknare.

När bollen går i hålet kommer den att befinna sig 0.5 meter ovanför utslagsplatsen. Vi undersöker för vilket x detta sker genom att ta reda på när höjden, dvs. y, är lika med 0.5. Först skriver vi om ekvationen på pq-form.

Nu kan vi lösa ekvationen med pq-formeln.

Vi får två lösningar till ekvationen. Vad betyder det? Bollen når höjden 0.5 meter två gånger under sin färd.

Bollen når höjden 0.5 m både på uppåtfärden och nedåtfärden. Avståndet vi är intresserade av är hur långt det är till den punkt där bollen är på väg nedåt, dvs. den längst bort.

Slaget var alltså 2.5 meter långt.

Prins Lennart har blivit tillfångatagen och inspärrad i ett slott. Prinsessan Lena står utanför murarna (till vänster i figuren) och vill ge honom en nyckel. För att ingen ska bli misstänksam gömmer hon nyckeln i en fotboll som hon tänker sparka över.

Bollens bana genom luften kan beskrivas med andragradsfunktionen

f (x) = (a - x) (x + a),

där

x

är bollens avstånd till murens högsta punkt och

a

är en konstant som anger hur långt från den högsta punkten på muren som sparken sker. Bestäm hur långt från muren Lena måste stå för att vara säker på att få över nyckeln till andra sidan. Svara med två decimaler.

Bollen måste gå över tre punkter på muren: yttre avsatsen, toppen på muren (som är 2+3=5 m) och inre avsatsen.

Om vi tänker oss muren inritad i ett koordinatsystem motsvarar det punkterna (-1, 3), (0,5) och (2,2). Vi ska hitta en andragradsfunktion på formen f(x) = (a - x)(x + a) där a är valt så att kurvan ligger på eller ovanför dessa punkter. Vi börjar att sätta in (- 1, 3) i funktionen och löser ut vad a måste vara för att funktionen ska passera ovanför den yttre avsatsen.

För att klara sig över första kanten måste Lena stå 2 meter från muren.

Nu gör vi likadant med nästa punkt, (0,5).

För att bollen ska nå över murens högsta punkt måste Lena stå minst 2.24 m från muren, dvs. längre än vad som krävdes för att få den över första avsatsen.

Hur långt krävs för att bollen ska passera punkten (2,2)?

Här krävs det ett ännu längre avstånd från muren. Vi har räknat ut tre avstånd a och för att nyckeln ska ta sig över alla tre punkter på muren krävs det att Lena står på det största avståndet, alltså a = 2.45 m.

Hugo och Ilona ska göra en datorsimulering av en raket som ska landa på månen. De har var sin modell för att beskriva raketens rörelse mot månens yta.

En bild på en raket som åker från jorden till månen.

Hugo använder modellen

h (t) = \frac{t ^{2}}{9 0} - \frac{2 0 t}{3} + 1000

där

h

är höjden i meter över månens yta och

t

är tiden i sekunder från det att raketen påbörjar sin landning.

På vilken höjd över månen påbörjar raketen sin landning enligt Hugos modell?

Nationella provet VT12 2c

Beräkna $h (300)$ och tolka resultatet.

Nationella provet VT12 2c

Enligt uppgiften påbörjar raketen sin landning vid t=0. Genom att sätta in det i funktionen bestämmer vi vid vilken höjd som raketen befinner sig på då.

Raketen påbörjar sin landning 1000 meter ovanför månens yta. Vi kan kontrollera det genom att rita grafen till h och se att den börjar på 1000 m.

Vi beräknar h(300) genom att sätta in t=300 i funktionen och förenkla.

Efter 300 sekunder är alltså raketens höjd över månens yta 0 meter, dvs. raketen landar på månen efter 300 s.

Värdet på en bil minskar enligt följande modell:

V (t) = 800 t^{2} - 24000 t + 180000,

där

V

är värdet i kr och

t

är tiden i år efter bilköpet.

Vad kostar bilen när den är ny?

Nationella provet VT12 kurs 2b

Beräkna $V (15)$ och tolka resultatet.

Nationella provet VT12 kurs 2b

När bilen är ny har det gått 0 år, så man kan sätta in t=0 för att bestämma bilens startvärde.

Bilens kostar alltså 180 000 kr när den är ny.

Vi börjar med att beräkna V(15) och tolkar sedan resultatet. V(15) innebär att man sätter in t=15 i modellen och beräknar V.

Eftersom V(t) beskriver värdet efter t år innebär V(15)=0 att 15 år efter bilköpet är bilen inte värd något alls.

Tolka andragradsfunktioner

Mathleaks

Andragradsfunktioner som modeller

Kurvans extremvärde

Skärningspunkten med y-axeln

Eventuella nollställen

Bestäm extrempunkt för en andragradsfunktion

Exempel

Bestäm extrempunkten för andragradsfunktionen med hjälp av symmetrilinje

Extrempunkt

Maximi- eller minimipunkt?

Hitta extremvärde med räknare

Skriv in funktionen på räknaren

Rita funktionen

Bestäm extrempunkter

Exempel

Tolka andragradsfunktionen

Tunnelns bredd

Tunnelns höjd

Tolka andragradsfunktioner

Rekommenderade uppgifter

	5 sidor teori
	25 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.