Tolka andragradsfunktioner

Vi börjar med att skissa grodans hopp. Kurvan har ett maximum och den startar från höjden 0 där x=0.

Om vi bestämmer det andra nollstället får vi längden på hoppet. Vi löser ekvationen - x(x-1)=0

med nollproduktmetoden. Nollställena är alltså x=0 och x=1, vilket ger oss att hoppets längd är 1 m.

Grodan når sin högsta höjd när andragradskurvan når sitt maximivärde, vilket alltid sker på symmetrilinjen. Symmetrilinjen ligget mittemellan nollställena: x_s=0+1/2=0.5.

För att beräkna maximivärdet sätter vi in symmetrilinjen i funktionsuttrycket.

Grodans hopp var 0.25 meter högt. Rita gärna upp kurvan med din grafritande räknare för att kontrollera att det stämmer.

Avsatsen är vid punkten (0,0), alltså där stenens bana börjar. Stenen sparkas snett uppåt så att den först når 4 meter ovanför avsatsen, och efter den nått sin högsta punkt vänder den nedåt tills kurvan tar slut. Slutpunkten är där stenen slår i marken under avsatsen, vid y=- 12.

Eftersom y är satt till 0 vid klippans höjd måste y = - 12 innebära att marken är 12 meter nedanför. Klippans höjd är alltså 12 m.

Vi vet att x-axeln visar hur långt ifrån avsatsen som stenen har sparkats, och från grafen ser vi att andragradskurvan når sitt största x-värde när stenen slår i marken, dvs. vid y=- 12. Det innebär att vi kan likställa funktionen med - 12 och lösa ut x för att hitta avståndet från klippan till där stenen slår ner.

Vi löser ut x med pq-formeln. Vi avfärdar den negativa lösningen eftersom vi vet att det är ett positivt avstånd vi är ute efter.

Stenen sparkades alltså 24 meter från avsatsen.

Bollen kastas från 4 meters avstånd och basketkorgen sitter 3 meter ovanför marken. En punkt som kastparabeln ska skära ligger alltså i koordinaterna (4,3). Vi vet även att basketspelaren kastar bollen 2 meter ovanför marken vilket ger oss punkten (0,2). Vi ritar dessutom in symmetrilinjen vid x=2.25.

Eftersom kurvan är symmetrisk runt symmetrilinjen kan vi rita ut två punkter till, de som ligger på samma y-värde som de givna punkterna men på andra sidan. Punkten (0,2) ligger 2.25 ifrån symmetrilinjen. Den "speglade" punkten till (0,2) hamnar då på x-värdet 0+2.25+2.25=4.5,

vilket ger oss punkten (4.5,2). Punkten (4,3) ligger 1.75 ifrån symmetrilinjen och den speglade punkten till (4,3) får därför x-värdet 4-1.75-1.75=0.5.

Den fjärde punkten blir alltså (0.5,3). Nu skissar vi kurvan.

Men vi är endast intresserade av den del av kastparabeln som beskriver bollens bana från att den kastats tills dess att den går i korgen.

Vi ska hitta den lägsta höjden i backen, vilket är detsamma som att hitta minimipunkten till funktionen h(x)=0.038x^2-2.44x+50. Det kan vi göra antingen med hjälp av räknarens funktion för detta eller för hand genom att bestämma funktionsvärdet i symmetrilinjen, vilket vi gör här. För att göra det måste vi först hitta symmetrilinjen till h(x), och sedan sätta in den i funktionen för att hitta y-värdet i minimipunkten.

Symmetrilinjen hittar vi genom att sätta funktionen lika med 0, skriva om den på pq-form och ställa upp pq-formeln.

Vi plockar ut termen före ±-tecknet och förenklar för att få ut symmetrilinjen. Eftersom vi ska räkna vidare med den behåller vi 3 decimaler.

För att få ut minsta värdet sätter vi in detta i funktionen.

Vagnarna kommer befinna sig som lägst 10.8 meter över marken.

Om de tillverkar 100 hörlurar beräknas inkomsten per par genom att vi sätter in x=100 i funktionen I(x).

Inkomsten blir alltså 195 kr/par. Men eftersom det var 100 st som tillverkades multiplicerar vi detta med 100 för att få den totala inkomsten: 100 * 195=19 500 kr.

Vi tänker på motsvarande sätt här, men istället för 100 st tillverkas nu x antal hörlurar. Vi multiplicerar då x med funktionen I(x) för att få den totala inkomsten: x * I(x) = x (200 - 0.05x).

Vi kan kalla den nya funktionen som beskriver totala inkomsten för x tillverkade hörlurar för R(x), där R(x)= x (200 - 0.05x). För att hitta maximum till denna funktion använder vi den vanliga metoden för att hitta en extrempunkt till en andragradsfunktion. Vi söker först symmetrilinjen, som vi hittar genom att sätta funktionen till noll och använda nollproduktmetoden.

Symmetrilinjen finns mittemellan dessa två nollställen, alltså vid x_s = 0 + 4000/2 =2000. För att maximera sin vinst ska företaget tillverka 2000 par hörlurar, och för att räkna ut den totala inkomsten då sätter vi in x = 2000 i R(x).

Företagets maximala inkomst är alltså 200 000 kr. Vi verifierar till sist att funktionen faktiskt har ett maximum genom att undersöka tecknet på koefficienten framför x^2: R(x)= x (200 - 0.05x)=200x-0.05x^2. Vi ser att koefficienten är negativ, så funktionen har ett maximum. Notera att det går att hitta funktionens maximipunkt även med hjälp av räknarens funktion för detta.

Värdemängden är de y-värden som f(x) kan ge som utvärde. Vår funktion har en positiv koefficient framför x^2-termen, vilket innebär att den har ett minimum. En parabel med ett minimum har sitt lägsta y-värde i minimipunkten och fortsätter oändligt långt upp. Det finns alltså ett lägsta y-värde men inget högsta.

Vi söker nu denna minimipunkt med metoden för att hitta en andragradsfunktions extremvärde. Vi börjar med att bestämma symmetrilinjen för funktionen. Vi sätter funktionen till noll för att sedan börja lösa den resulterande ekvationen med pq-formeln.

Termen framför ±-tecknet är symmetrilinjen, så den är alltså x_s = - 2. Nu kan vi beräkna y-värdet för minimipunkten genom att sätta in x = - 2 i f(x).

Minimipunkten har alltså y-värdet - 9. Funktionen har inga värden lägre än det, vilket innebär att värdemängden kan skrivas som att y är större än eller lika med - 9: y ≥ - 9.

Inhägnaden har formen av en rektangel så arean kan beräknas genom att multiplicera hagens lång- och kortsida. Vi kallar långsidan för x och kortsidan för y. Omkretsen är av summan av två långsidor och två kortsidor, alltså 2x + 2y, och vi vet att totala mängden inhägnad ska vara 28 m. Ur detta kan vi lösa ut ett uttryck för kortsidan som bara beror på x.

Då vet vi att om långsidan för hagen är x så måste kortsidan alltså vara 14-x.

Arean är då produkten av hagens sidor, dvs. A=x(14-x). För att hitta vilka sidlängder som ger störst area måste vi bestämma symmetrilinjen eftersom maximipunkten för funktionen kommer att finnas där. Detta kan vi göra om vi vet funktionens nollställen, så vi likställer funktionen med noll och löser ekvationen vi får med nollproduktmetoden.

Funktionen har nollställen i x=0 och x=14 och eftersom symmetrilinjen löper mittemellan dessa så måste maximipunkten ligga i x=7. Vi verifierar att funktionen faktiskt har ett maximum genom att undersöka tecknet på koefficienten framför x^2: R(x)=x(14-x)=14x-x^2. Koefficienten är negativ, så funktionen har ett maximum. Det betyder att när långsidan är 7 m och kortsidan är 14-7=7 m så maximeras arean. Hagen ska alltså vara en kvadrat. Arean blir då 7*7=49m^2.

Tösens högsta höjd ges av andragradsfunktionens extremvärde, och eftersom den kvadrerade termen har en negativ koefficient är detta ett maxvärde. Andragradsfunktionens symmetrilinje går igenom maximipunkten så genom att hitta symmetrilinjens ekvation kan vi beräkna funktionens maxvärde.

Hitta symmetrilinjen

Vi börjar med att sätta funktionsuttrycket lika med 0 och skriva om ekvationen på pq-form, så att vi kan använda pq-formeln för att hitta symmetrilinjen.

Symmetrilinjen till en andragradskurva ges generellt av termen framför rotuttrycket i pq-formeln. I vårt fall har vi p=- 1 och q=0 så vi får: x= - - 1/2± sqrt((- 1/2)^2-0). Uttrycket för symmetrilinjen är alltså x_s=- - 12, vilket kan förenklas till x_s=0.5.

Hitta maxvärdet

Genom att sätta in x=0.5 i funktionen h(x) hittar vi det största värdet.

Tösens hopp var 1 meter högt.

Hagen är en rektangel så dess area beräknas genom att multiplicera bredden med längden. Måtten är x m och (180-2x) m vilket ger arean A(x)=x(180-2x)=180x-2x^2. Eftersom koefficienten till x^2-termen är negativ, har andragradsfunktion en maximipunkt. En andragradsfunktions extremvärde ligger alltid på dess symmetrilinje och vi kan bestämma den genom att bestämma nollställena. Symmetrilinjen kommer att ligga mittemellan dem.

Nollställena är alltså x=0 och x=90. Det betyder att symmetrilinjen är x=45. Hagens sidor är x och 180-2x och insättning av x=45 ger 45 och 180-2*45=90. Hagen antar alltså sin största area om dess sidor har måtten 45 m och 90 m. Arean är då 45*90=4050m^2

En rektangels area beräknas genom att multiplicera längden och bredden. Vi ser att figuren består av två likadana rektanglar med kortsidan (8-x) cm och långsidan x cm. Om vi tar fram ett uttryck för en av rektanglarna och multiplicerar det med 2 kan vi skapa en funktion, A(x), som beskriver den totala arean: A(x) = 2x(8-x)=8x-2x^2. Eftersom koefficienten till x^2-termen är negativ har andragradsfunktion en maximipunkt. Vi kan bestämma maximipunktens y-värde genom att identifiera funktionens symmetrilinje, x_s. Den ligger mittemellan nollställena så vi börjar med att bestämma dem.

Funktionen har nollställen i x=0 och x=8 vilket betyder att symmetrilinjen är x_s=0+8/2=4. Sätter vi in x=4 i areafunktionen kan vi beräkna den maximala arean för rektanglarna. A(4) = 2* 4* (8-4) = 32 cm^2. Den maximala area av rektanglarna är 32 cm^2.