8. Talföljder och mönster
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 3
8.
Talföljder och mönster
Inom matematiken är talföljder och mönster grundläggande begrepp. En talföljd är en ändlig eller oändlig serie av tal, som en aritmetisk talföljd, där skillnaden mellan intilliggande element är konstant. Mönster beskriver en upprepad förändring, som att lägga till en triangel till en figur eller öka antalet pinnar med två. Dessa begrepp kan beskrivas med formler baserade på positionssiffror. Till exempel kan en aritmetisk talföljd definieras av dess startelement och steglängd. Innehållet inkluderar också exempel och övningar som visar hur man beräknar specifika element i en talföljd eller identifierar mönstret i en serie tal. Det är en omfattande guide till att förstå talföljder och mönster i matematiken.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 9 sidor teori |
| | 20 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Talföljder och mönster
Sida av 9
En talföljd är en ändlig eller oändlig följd av tal. Talen som utgör följden kallas för dess element. Ett exempel på en talföljd är
1,4,7,10,13,…
där punkterna på slutet innebär att den fortsätter oändligt långt. Talföljden ovan har en konstant steglängd, vilket innebär att differensen mellan två intilliggande element är lika stor. Detta kallas för en aritmetisk talföljd. Ett annat exempel är en geometrisk talföljd, där elementen istället ökar med en konstant faktor.
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Talföljd
- Mönster
- Mönster till formel
Förkunskaper
Teori
Talföljd
En talserie är en följd av tal som är ordnade enligt en viss regel. Varje tal i serien kallas en term. Till exempel kan vi titta på en talserie där varje tal är 2 större än det föregående.
Här är skillnaden mellan den första och andra termen samma som skillnaden mellan den andra och tredje, och så vidare. Denna skillnad kallas för den gemensamma differensen i talserien. Den gemensamma differensen kan också vara negativ. Titta på följande sekvens där värdena minskar:
Beroende på antalet termer kan en talserie vara ändlig eller oändlig. Eftersom det inte är möjligt att lista alla element i en oändlig serie är det vanligt att sätta tre punkter efter några termer för att indikera att serien fortsätter oändligt baserat på ett specifikt mönster.
Teori
Mönster
Ett mönster beskriver en upprepad förändring av till exempel tal, former, färger eller händelser. Mönster bygger på särskilda samband, och de sambanden kan hjälpa oss att hitta vad som saknas i mönstret. I exemplet nedan har tändstickor använts för att bygga tre olika figurer.
Går det att se ett mönster? Lägg märke till att antalet trianglar ökar med en för varje ny figur. Därför borde nästa figur i mönstret ha 4 trianglar.
Det finns också ett mönster i antalet tändstickor. För varje steg ökar antalet med 2 tändstickor. Den första figuren har 3 tändstickor, den andra har 5, den tredje har 7, och så vidare. Lägg märke till att skillnaden mellan två intilliggande figurer alltid är 2 tändstickor.
Antalet tändstickor i de senare figurerna kan beräknas med hjälp av mönstret.
3, 5, 7, 9, 11, 13, …
Mönster används också för att beskriva talföljder och serier. Till exempel bildar antalet tändstickor i den här sekvensen en aritmetisk talföljd.Övning
Att bestämma de nästkommande talen i ett mönster
Applikationen nedan visar fem tal som följer ett visst mönster. Hitta de nästa två talen som passar in i mönstret.
Teori
Mönster till formel
Elementen i en talföljd numreras med platsnummer, n, där n är positiva heltal 1, 2, 3, 4, osv. Elementen betecknas an och beror på platsnumret: Första elementet brukar betecknas a1, andra a2, tredje a3 osv.
Talföljder kan oftast beskrivas med en formel som beror på platsnumren. Formeln för en aritmetisk talföljd bestäms genom att undersöka startelementet a1 och steglängden d mellan elementen.
an=1+2n,
om 2:an multipliceras in i parentesen. Med formeln kan man bestämma ett godtyckligt tal, an, i talföljden. Sätter man exempelvis in platsnumret n=5 i formeln får man ut vilket det femte elementet är.Exempel
Vad är det n:te elementet i talföljden?
Beräkna det femte elementet i talföljden an=3n−1.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.58056em;vertical-align:-0.15em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathdefault\">a<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t vlist-t2\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.30110799999999993em;\"><span style=\"top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mord mtight\">5<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"vlist-s\">\u200b<\/span><\/span><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"><span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["14"]}}
Ledtråd
Ersätt n=5 i den givna formeln.
Exempel
Vad är talföljdens formel?
Ställ upp en formel för talföljden 2, 7, 12, 17, 22, …
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["n"],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.58056em;vertical-align:-0.15em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathdefault\">a<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t vlist-t2\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.151392em;\"><span style=\"top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mathdefault mtight\">n<\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"vlist-s\">\u200b<\/span><\/span><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"><span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["5n-3"]}}
Ledtråd
Använd formeln för en aritmetisk talföljd.
Lösning
Skillnaden mellan varje element är 5 vilket betyder att vi har en aritmetisk talföljd. För att bestämma ett godtyckligt element i en aritmetisk talföljd kan man använda formeln
Talföljdens element kan beräknas med formeln an=5n−3.
an=a1+(n−1)d
där a1 är första element, d är steglängden och n är platsnumret. Vi sätter in första värdet 2 och steglängden 5 i formeln och förenklar.
an=a1+(n−1)d
SubstituteII
a1=2 och d=5
an=2+(n−1)⋅5
Distr
Multiplicera in 5
an=2+n⋅5−1⋅5
Multiply
Multiplicera faktorer
an=2+5n−5
SimpTerms
Förenkla termer
an=5n−3
Övning
Hitta n:e termen för en aritmetisk sekvens
Följande applet visar de första fem termerna i en oändlig aritmetisk sekvens. Bestäm den explicita regeln för sekvensen och använd den för att hitta den angivna termen.
Övning
Att hitta det n:te termen i en aritmetisk följd av figurer
Följande applet visar de första fem termerna i en oändlig aritmetisk sekvens av figurer. Bestäm den explicita regeln för sekvensen och använd den för att hitta den angivna termen.
Talföljder och mönster
Övningar
Är talföljden aritmetisk? Motivera ditt svar.
4,9,14,19,24,…
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
2,3,5,8,12,…
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
10,8,6,4,2,…
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
I en aritmetisk talföljd är differensen mellan två på varandra följande element konstant. Vi beräknar differensen d mellan de intilliggande talen i följden 4, 9, 14, 19, 24, ...
| Beräkning | Skillnad d |
|---|---|
| 9-4 | 5 |
| 14-9 | 5 |
| 19-14 | 5 |
| 24-19 | 5 |
Det visade sig alltså att differensen d är konstant och lika med 5. Alltså är talföljden aritmetisk.
Vi beräknar differensen mellan talen. Vår följd var 2, 3, 5, 8, 12, ...
| Beräkning | Skillnad d |
|---|---|
| 3-2 | 1 |
| 5-3 | 2 |
| 8-5 | 3 |
| 12-8 | 4 |
Som vi ser antar differensen d olika värden och är alltså inte konstant. Därför är detta inte en aritmetisk talföljd.
Vi beräknar differensen mellan talen i vår talföljd: 10, 8, 6, 4, 2, ...
| Beräkning | Skillnad d |
|---|---|
| 8-10 | -2 |
| 6-8 | -2 |
| 4-6 | -2 |
| 2-4 | -2 |
I det här fallet visade sig differensen d vara konstant och lika med -2. Det spelar ingen roll om differensen är positiv eller negativ, så länge den inte förändras. Talföljden är aritmetisk.
security
report
code
Ange det tionde elementet i talföljden.
1, 4, 7, 10, 13,...
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["28"]}}
security
report
code
security
report
code
Det första elementet i talföljden är 1. För att få nästa element, 4, adderar vi 3. För att få 7 adderar vi 3 igen, osv. Vi ska alltså addera 3 till elementet innan för att få nästa element. På detta sätt beräknar vi de fem sökta elementen, där vi utgår ifrån talet 13.
| Beräkning | Element |
|---|---|
| 13 + 3 | 16 |
| 16 + 3 | 19 |
| 19 + 3 | 22 |
| 22 + 3 | 25 |
| 25 + 3 | 28 |
De fem sökta elementen är 16, 19, 22, 25 och 28.
security
report
code
Vilket är det nästkommande talet i talföljden?
2,6,10,14,…
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["18"]}}
118,109,100,91,…
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["82"]}}
2,3,5,7,11,…
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["13"]}}
security
report
code
security
report
code
Talföljden ökar med 4 för varje tal. Det femte talet måste alltså vara 4 större än det fjärde, det sjätte är 4 större än det femte osv.
Nu minskar talföljden med 9 för varje tal. Det femte talet är alltså 9 mindre än det fjärde, det sjätte är 9 mindre än det femte osv.
Undersöker vi talföljden ser vi att den beskriver de fem första primtalen. Det sjätte talet måste alltså vara det sjätte primtalet, det sjunde talet är det sjunde primtalet osv.
security
report
code
En aritmetisk talföljd beskrivs med formeln an=6n+5. Beräkna det femte elementet i talföljden.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.58056em;vertical-align:-0.15em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathdefault\">a<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t vlist-t2\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.30110799999999993em;\"><span style=\"top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\">5<\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"vlist-s\">\u200b<\/span><\/span><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"><span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["35"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi använder den givna formeln och beräknar det femte elementet. Kom ihåg att platsnumret n ska sättas in på två ställen, dels på a_n så att vi får a_5, och istället för n i formeln 6n + 5.
Det femte elementet är alltså a_5=35.
security
report
code
Beräkna det sjunde elementet i talföljden som beskrivs av formeln.
an=8n−5
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.58056em;vertical-align:-0.15em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathdefault\">a<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t vlist-t2\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.30110799999999993em;\"><span style=\"top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\">7<\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"vlist-s\">\u200b<\/span><\/span><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"><span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["51"]}}
an=3⋅2n−4
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.58056em;vertical-align:-0.15em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathdefault\">a<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t vlist-t2\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.30110799999999993em;\"><span style=\"top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\">7<\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"vlist-s\">\u200b<\/span><\/span><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"><span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["24"]}}
security
report
code
security
report
code
Det sjunde elementet är a_7. Vi låter därför n vara 7 och beräknar högerledet.
Det sjunde elementet i talföljden är 51.
Det sjunde elementet i talföljden a_7 beräknar vi genom att sätta in n=7 i formeln.
Det sjunde elementet är alltså 24.
security
report
code
Yngve bildar olika figurer med hjälp av tändstickor. Han har skapat tre redan och tänker fortsätta att bygga fler enligt samma mönster.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"st","answer":{"text":["105"]}}
security
report
code
security
report
code
Tändstickorna är uppdelade i tre grupper där 5 stickor placerats i första, 10 har placerats i andra och 15 i tredje gruppen. Vi kan se detta som en talföljd: 5, 10, 15. Vi ser att det skiljer 5 stickor mellan varje figur. För att komma till nästa adderar man alltså 5 till föregående figur. I bilden står n för figurnummer (platsnummer).
Figur nummer 21, alltså då n=21, innehåller alltså 5* 21=105 stickor.
security
report
code
Undersök mönstret och ange det tal som är utelämnat.
359152333
Nationella provet VT02 MaA
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["23"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi undersöker skillnaden mellan de första fyra talen i talföljden och försöker hitta ett mönster. 3 +2 → 5 +4 → 9 +6 → 15 33 Om vi följer mönstret ska man addera 8 till det fjärde talet i talföljden för att få det femte talet. Vidare så måste man addera 10 till det femte talet för att få det sjätte. 3 +2 → 5 +4 → 9 +6 → 15 +8 → 23 +10 → 33 Det utelämnade talet är 23.
security
report
code
Talföljder och mönster
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll