Talföljder och mönster

Den första figuren innehåller 9 bollar, den andra 25 och den tredje 49. Dessa är kvadrater av 3, 5 och 7.

Det som kvadreras är antalet bollar som utgör sidan på kvadraterna. Vi ser att sidan ökar med två bollar för varje steg.

Sidlängden är alltså en aritmetisk talföljd som har startvärdet 3 och steglängden 2, som kan beskrivas med den generella formeln för aritmetiska talföljder. För att inte blanda ihop dem med den talföljd vi faktiskt är ute efter kallar vi elementen för b_n.

För att få talföljden som beskriver det totala antalet bollar kvadrerar vi elementen som beskriver sidlängden, alltså a_n = b_n^2. Formeln blir då a_n = (2n + 1)^2, vilket innebär att den n:te figuren har (2n + 1)^2 st bollar.

Nu ska vi enbart titta på de svarta bollarna. I varje figur bildar de kryss.

Från mönstret kan vi se att antalet svarta bollar ökar med fyra för varje steg (en i varje hörn). Den går från 1 till 5, till 9 osv. De svarta bollarna bildar alltså en aritmetisk talföljd med steglängden d=4 och startvärdet a_1=5. Vi sätter in detta i den formeln för aritmetiska talföljder.

I den n:te figuren finns alltså 4n+1 svarta bollar.

Från deluppgift a vet vi hur många bollar det finns totalt i den n:te figuren: (2n+1)^2. Vi vet också att det finns 4n + 1 svarta bollar i figur n. Det betyder att vi kan ta reda på hur många röda bollar det finns genom att dra bort de svarta bollarna från det totala antalet.

Skillnaden blir då (2n+1)^2-(4n+1). Vi utvecklar parentesen och förenklar.

Det finns 4n^2 röda bollar i den n:te figuren.

Vi ser att antalet blå kvadrater är 4 då n=2. Därefter ökar de med 8 (en rad om 4 på varje sida) vid jämna platsnummer, dvs. när n är 4, 6 osv. Vi tar fram en talföljd som enbart beskriver de blå kvadraternas antal vid jämna platsnummer. k=1, 2, och 3 står nu för det första, andra och tredje jämna platsnumret.

Vi ser att antalet kvadrater alltid blir 4 färre än vad formeln 8k ger oss. Därför blir formeln för att beräkna antal blå kvadrater 8k-4, där k är det k:te jämna talet i ordningen. Vi vill veta antalet blå kvadrater i figur 1284. Därför måste vi veta vilket jämnt tal i ordningen som 1284 representerar. Eftersom hälften av alla tal fram till 1284 är jämna och hälften är udda, dividerar vi med 2 för att få antalet jämna tal: Antal jämna platsnummer=1284/2=642. är alltså det 642:a jämna talet. Då återstår det bara att sätta in k=642 för att beräkna antalet blå kvadrater.

I figur 1284 är det 5132 blå kvadrater.

Vi börjar med att bestämma hur många cirklar (oavsett färg) det finns i den 25:e figuren. Vi skriver upp antalet i de första tre figurerna.

Det är alltså dubbelt så många cirklar som figurnumret. Det betyder att det finns 2*25=50 cirklar i den 25:e figuren. Hur många av dessa är blå? Första figuren har noll blå cirklar och för varje figur färgas två halvor blå, eller annorlunda uttryckt en hel cirkel. För varje steg ökar sedan antalet blå cirklar med 1.

Antalet blå cirklar är alltså 1 mindre än figurnumret. I figur 25 finns det därför 24 blå cirklar. Nu kan vi bestämma hur många procent av cirklarna som är blå med andelsformeln.

Vi utgår från formeln c_n = a_n - b_n och sätter in de kända uttrycken för a_n och b_n. Sedan förenklar vi formeln så långt som möjligt.

En formel för elementen i den tredje talföljden är alltså c_n = 2n + 3.

I den förra deluppgiften bestämde vi en formel som beskriver den tredje talföljden. Vi använder denna formel för att beräkna c_(100), dvs. det 100:e talet i talföljden.