body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Mitt konto

Kurs 1b Visa detaljer

Innehållsförteckning

Lektion

Övningar

Tester

eKurser /

( Ma 1b , Ma 1c ) /

Kapitel

Talföljder och mönster

Inom matematiken är talföljder och mönster grundläggande begrepp. En talföljd är en ändlig eller oändlig serie av tal, som en aritmetisk talföljd, där skillnaden mellan intilliggande element är konstant. Mönster beskriver en upprepad förändring, som att lägga till en triangel till en figur eller öka antalet pinnar med två. Dessa begrepp kan beskrivas med formler baserade på positionssiffror. Till exempel kan en aritmetisk talföljd definieras av dess startelement och steglängd. Innehållet inkluderar också exempel och övningar som visar hur man beräknar specifika element i en talföljd eller identifierar mönstret i en serie tal. Det är en omfattande guide till att förstå talföljder och mönster i matematiken.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	10 sidor teori
	20 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Talföljder och mönster

Sida av 10

En talföljd är en ändlig eller oändlig följd av tal. Talen som utgör följden kallas för dess element. Ett exempel på en talföljd är

1, 4, 7, 10, 13, \dots

där punkterna på slutet innebär att den fortsätter oändligt långt. Talföljden ovan har en konstant steglängd, vilket innebär att differensen mellan två intilliggande element är lika stor. Detta kallas för en aritmetisk talföljd. Ett annat exempel är en geometrisk talföljd, där elementen istället ökar med en konstant faktor.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Talföljd
Mönster
Mönster till formel

Teori

Talföljd

I en talserie är en uppsättning tal ordnade enligt en viss regel. Elementen i serien kallas termer. Till exempel, överväg en uppsättning tal där varje tal är

2

mer än det föregående.

Aritmetisk sekvens: 2, 4, 6, 8, 10... med en gemensam skillnad på 2.

Här är skillnaden mellan den första och andra termen densamma som skillnaden mellan den andra och tredje termen, och så vidare. Denna skillnad kallas den gemensamma differensen i talserien. Den gemensamma skillnaden kan även anta negativa värden. Överväg följande sekvens där värdena minskar.

Aritmetisk sekvens: 54, 51, 48, 45, 42, ... med en gemensam skillnad på -3.

Beroende på antalet termer kan en talserie vara ändlig eller oändlig. Eftersom det inte är möjligt att lista alla element i en oändlig serie är det vanligt att sätta tre punkter efter några termer för att indikera att serien fortsätter oändligt baserat på ett specifikt mönster.

Mönstret i en sekvens är avgörande för att förstå dess beteende och egenskaper. Av den anledningen klassificeras sekvenser ofta enligt sina mönster. Två specifika typer av sekvenser är aritmetiska sekvenser och geometriska sekvenser.

Teori

Mönster

Ett mönster beskriver en upprepad förändring av till exempel tal, former, färger eller händelser. Mönster är baserade på specifika samband. Dessa samband kan användas för att finna saknade steg i mönstret. I exemplet nedan har tändstickor placerats tillsammans för att skapa tre figurer.

Är det möjligt att hitta ett mönster? Notera att för varje figur ökar antalet trianglar med ett. Därför bör nästa figur i mönstret ha $4$ trianglar.

Den fjärde figuren i det tidigare mönstret består av 4 trianglar.

Det finns också ett mönster i antalet tändstickor. I varje steg ökar antalet med $2 .$ Den första figuren har $3$ tändstickor, den andra figuren har $5$ tändstickor, den tredje figuren har $7$ tändstickor och så vidare. Notera att skillnaden mellan två intilliggande figurer är $2$ tändstickor.

Tabell som visar figurnummer och antal tändstickor, där tändstickorna ökar med 2 för varje figur.

Antalet tändstickor i de senare figurerna kan hittas med hjälp av det här mönstret.

3, 5, 7, 9, 11, 13, \dots

Mönster används också för att beskriva talföljder och serier. Till exempel representerar antalet tändstickor i denna sekvens en aritmetisk talföljd.

Övning

Att bestämma de nästkommande talen i ett mönster

Applikationen nedan visar fem tal som följer ett visst mönster. Hitta de nästa två talen som passar in i mönstret.

Interaktiv applikation som visar olika oändliga sekvenser

Teori

Mönster till formel

Elementen i en talföljd numreras med platsnummer, $n,$ där $n$ är positiva heltal $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ osv. Elementen betecknas $a_{n}$ och beror på platsnumret: Första elementet brukar betecknas $a_{1},$ andra $a_{2},$ tredje $a_{3}$ osv.

En sekvens av termer a_1, a_2, a_3 och den okända nästa term med deras nummer i sekvensen som 1, 2, 3, och så vidare

Talföljder kan oftast beskrivas med en formel som beror på platsnumren. Formeln för en aritmetisk talföljd bestäms genom att undersöka startelementet $a_{1}$ och steglängden $d$ mellan elementen.

Namnen på delar av aritmetisk sekvensformel

Talföljden

3, 5, 7, 9, \dots

börjar på

a_{1} = 3

och ökar med

2

för varje element, dvs.

d = 2 .

Talföljden kan då beskrivas med formeln

a_{n} = 3 + (n - 1) \cdot 2,

som kan förenklas till

a_{n} = 1 + 2 n,

2 : an

multipliceras in i parentesen. Med formeln kan man bestämma ett godtyckligt tal,

a_{n},

i talföljden. Sätter man exempelvis in platsnumret

n = 5

i formeln får man ut vilket det femte elementet är.

Exempel

Vad är det $n$ :te elementet i talföljden?

Beräkna det femte elementet i talföljden $a_{n} = 3 n - 1 .$

Ledtråd

Ersätt $n = 5$ i den givna formeln.

Lösning

För att beräkna det femte elementet sätter vi in

n = 5

i formeln och förenklar HL.

a_{n} = 3 n - 1

Substitute

$n = 5$

a_{5} = 3 \cdot 5 - 1

Multiply

Multiplicera faktorer

a_{5} = 15 - 1

SubTerm

Subtrahera term

a_{5} = 14

Det femte elementet är

14 .

Exempel

Vad är talföljdens formel?

Ställ upp en formel för talföljden $2, 7, 12, 17, 22, \dots$

Ledtråd

Använd formeln för en aritmetisk talföljd.

Lösning

Skillnaden mellan varje element är

5

vilket betyder att vi har en aritmetisk talföljd. För att bestämma ett godtyckligt element i en aritmetisk talföljd kan man använda formeln

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

där

a_{1}

är första element,

d

är steglängden och

n

är platsnumret. Vi sätter in första värdet

2

och steglängden

5

i formeln och förenklar.

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

SubstituteII

$a_{1} = 2$ och $d = 5$

a_{n} = 2 + (n - 1) \cdot 5

Distr

Multiplicera in $5$

a_{n} = 2 + n \cdot 5 - 1 \cdot 5

Multiply

Multiplicera faktorer

a_{n} = 2 + 5 n - 5

SimpTerms

Förenkla termer

a_{n} = 5 n - 3

Talföljdens element kan beräknas med formeln

a_{n} = 5 n - 3 .

Övning

Hitta $n^{th}$ termen för en aritmetisk sekvens

Följande applet visar de första fem termerna i en oändlig aritmetisk sekvens. Bestäm den explicita regeln för sekvensen och använd den för att hitta den angivna termen.

Interaktiv applet som visar olika oändliga följder

Övning

Att hitta det $n : te$ termen i en aritmetisk följd av figurer

Följande applet visar de första fem termerna i en oändlig aritmetisk sekvens av figurer. Bestäm den explicita regeln för sekvensen och använd den för att hitta den angivna termen.

Avslut

Sammanfattning

Den här lektionen fokuserade på följder, att analysera deras mönster och att skriva formler för olika följder. Tänk på en aritmetisk och en geometrisk följd.

Aritmetisk : Geometrisk : 5, 8, 11, 14, \dots 16, 8, 4, 2, \dots

Med hjälp av informationen från denna lektion kan deras mönster identifieras enligt följande.

	Mönster
Aritmetisk	$5, i + 3 8, i + 3 11, i + 3 14, \dots$
Geometrisk	$16, i \times 0, 5 8, i \times 0, 5 4, i \times 0, 5 2,$

Slutligen, för att beskriva båda följderna på ett kort och koncist sätt, kan formeln skrivas för varje följd.

	Mönster	Formel
Aritmetisk	$5, i + 3 8, i + 3 11, i + 3 14, \dots$	$a_{n} = 3 n + 2$
Geometrisk	$16, i \times 0, 5 8, i \times 0, 5 4, i \times 0, 5 2, \dots$	$b_{n} = 32 (0, 5^{n})$

Att förstå aritmetiska, geometriska och andra följder är avgörande i verkliga livet, eftersom de utgör grunden för att lösa problem inom ekonomi, teknik, datavetenskap och naturen, vilket gör det möjligt för oss att göra förutsägelser, optimera processer och effektivt modellera verkliga mönster.

Talföljder och mönster

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.