Talföljder och mönster: Aritmetisk och geometrisk talföljd

	Mönster
Aritmetisk	$5, i + 3 8, i + 3 11, i + 3 14, \dots$
Geometrisk	$16, i \times 0, 5 8, i \times 0, 5 4, i \times 0, 5 2,$

	Mönster	Formel
Aritmetisk	$5, i + 3 8, i + 3 11, i + 3 14, \dots$	$a_{n} = 3 n + 2$
Geometrisk	$16, i \times 0, 5 8, i \times 0, 5 4, i \times 0, 5 2, \dots$	$b_{n} = 32 (0, 5^{n})$

Är talföljden aritmetisk? Motivera ditt svar.

4, 9, 14, 19, 24, \dots

2, 3, 5, 8, 12, \dots

10, 8, 6, 4, 2, \dots

I en aritmetisk talföljd är differensen mellan två på varandra följande element konstant. Vi beräknar differensen d mellan de intilliggande talen i följden 4, 9, 14, 19, 24, ...

Beräkning	Skillnad d
9-4	5
14-9	5
19-14	5
24-19	5

Det visade sig alltså att differensen d är konstant och lika med 5. Alltså är talföljden aritmetisk.

Vi beräknar differensen mellan talen. Vår följd var 2, 3, 5, 8, 12, ...

Beräkning	Skillnad d
3-2	1
5-3	2
8-5	3
12-8	4

Som vi ser antar differensen d olika värden och är alltså inte konstant. Därför är detta inte en aritmetisk talföljd.

Vi beräknar differensen mellan talen i vår talföljd: 10, 8, 6, 4, 2, ...

Beräkning	Skillnad d
8-10	-2
6-8	-2
4-6	-2
2-4	-2

I det här fallet visade sig differensen d vara konstant och lika med -2. Det spelar ingen roll om differensen är positiv eller negativ, så länge den inte förändras. Talföljden är aritmetisk.

Ange det tionde elementet i talföljden.

1, 4, 7, 10, 13, . . .

Det första elementet i talföljden är 1. För att få nästa element, 4, adderar vi 3. För att få 7 adderar vi 3 igen, osv. Vi ska alltså addera 3 till elementet innan för att få nästa element. På detta sätt beräknar vi de fem sökta elementen, där vi utgår ifrån talet 13.

Beräkning	Element
13 + 3	16
16 + 3	19
19 + 3	22
22 + 3	25
25 + 3	28

De fem sökta elementen är 16, 19, 22, 25 och 28.

Vilket är det nästkommande talet i talföljden?

2, 6, 10, 14, \dots

118, 109, 100, 91, \dots

2, 3, 5, 7, 11, \dots

Talföljden ökar med 4 för varje tal. Det femte talet måste alltså vara 4 större än det fjärde, det sjätte är 4 större än det femte osv.

Nu minskar talföljden med 9 för varje tal. Det femte talet är alltså 9 mindre än det fjärde, det sjätte är 9 mindre än det femte osv.

Undersöker vi talföljden ser vi att den beskriver de fem första primtalen. Det sjätte talet måste alltså vara det sjätte primtalet, det sjunde talet är det sjunde primtalet osv.

En aritmetisk talföljd beskrivs med formeln

a_{n} = 6 n + 5 .

Beräkna det femte elementet i talföljden.

Vi använder den givna formeln och beräknar det femte elementet. Kom ihåg att platsnumret n ska sättas in på två ställen, dels på a_n så att vi får a_5, och istället för n i formeln 6n + 5.

Det femte elementet är alltså a_5=35.

Beräkna det sjunde elementet i talföljden som beskrivs av formeln.

a_{n} = 8 n - 5

a_{n} = 3 \cdot 2^{n - 4}

Det sjunde elementet är a_7. Vi låter därför n vara 7 och beräknar högerledet.

Det sjunde elementet i talföljden är 51.

Det sjunde elementet i talföljden a_7 beräknar vi genom att sätta in n=7 i formeln.

Det sjunde elementet är alltså 24.

Yngve bildar olika figurer med hjälp av tändstickor. Han har skapat tre redan och tänker fortsätta att bygga fler enligt samma mönster.

Hur många tändstickor innehåller figur

21 ?

Tändstickorna är uppdelade i tre grupper där 5 stickor placerats i första, 10 har placerats i andra och 15 i tredje gruppen. Vi kan se detta som en talföljd: 5, 10, 15. Vi ser att det skiljer 5 stickor mellan varje figur. För att komma till nästa adderar man alltså 5 till föregående figur. I bilden står n för figurnummer (platsnummer).

Figur nummer 21, alltså då n=21, innehåller alltså 5* 21=105 stickor.

Undersök mönstret och ange det tal som är utelämnat.

359152333

Nationella provet VT02 MaA

Vi undersöker skillnaden mellan de första fyra talen i talföljden och försöker hitta ett mönster. 3 +2 → 5 +4 → 9 +6 → 15 33 Om vi följer mönstret ska man addera 8 till det fjärde talet i talföljden för att få det femte talet. Vidare så måste man addera 10 till det femte talet för att få det sjätte. 3 +2 → 5 +4 → 9 +6 → 15 +8 → 23 +10 → 33 Det utelämnade talet är 23.

Talföljder och mönster

Förkunskaper

Talföljd

Mönster

Att bestämma de nästkommande talen i ett mönster

Mönster till formel

Vad är det $n$ :te elementet i talföljden?

Ledtråd

Lösning

Vad är talföljdens formel?

Ledtråd

Lösning

Hitta $n^{th}$ termen för en aritmetisk sekvens

Att hitta det $n : te$ termen i en aritmetisk följd av figurer

Sammanfattning

Talföljder och mönster

Rekommenderade uppgifter

	10 sidor teori
	20 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.