Talföljder och mönster

För att beräkna det femte elementet sätter vi in n=5 i formeln och förenklar.

Det femte elementet är 27.

Vi gör på samma sätt som i förra deluppgiften.

Det femte elementet är 16.

Samma sak igen. Vi svarar på enklaste form.

Det femte elementet är 376125. Bråket kan inte förkortas mer vilket innebär att det står på sin enklaste form.

Hur vet vi att att 376125 står på sin enklaste form? Om ett bråk inte kan förkortas något mer så har täljaren och nämnaren inga gemensamma primtalsfaktorer. 125 är samma sak som 5* 5* 5. Den enda primtalsfaktorn i nämnaren är alltså 5. Om ett tal är jämnt delbart med 5 så ska det antingen sluta på 0 eller 5 och eftersom 376 slutar på en 6:a kan 5 inte vara en primtalsfaktor till talet. Bråket måste därför stå på sin enklaste form.

Vi börjar med att sätta in 1, 2 och 3 istället för n och räknar ut antalet cirklar i de tre första figurerna.

Då vet vi hur många cirklar det ska finnas i de tre första figurerna. Vi ritar dem.

Om talet 371 är ett element i den aktuella talföljden ska 371 kunna skrivas med formeln 6n + 5 för något positivt heltalsvärde n. Vi kan ta reda på om det finns något sådant n-värde genom ersätta a_n med 371 och få ekvationen 371=6n + 5. Sedan undersöker vi om denna ekvation har en positiv heltalslösning. Om den har det, är talet 371 ett element i talföljden, annars inte. Vi löser ekvationen.

Här kom vi fram till att ekvationen har heltalslösningen n = 61, vilket innebär att a_(61) = 371. Alltså är talet 371 ett element i talföljden.

Tändstickorna är uppdelade i tre grupper där fyra stickor placerats i första, sju har placerats i andra och tio i tredje gruppen. Vi kan se detta som en talföljd. 4, 7, 10 Vi ser att det skiljer 3 stickor mellan varje figur. För att komma till nästa adderar man alltså 3 till den föregående.

Vi använder formeln a_n = a_1 + (n-1)d, där a_1 är första talet, 4, och d är skillnaden 3.

Formeln blir alltså a_n=3n+1.

Vi kan även lösa uppgiften om vi tänker oss att platsnumret och motsvarande stickor utgör punkter i ett koordinatsystem.

Vi använder två punkter för att beräkna lutningen med k-formeln.

Vi sätter in en punkt och lutningen i k-formen och löser ut m.

Den räta linjen blev y=3x+1. Om vi byter ut x mot n få vi samma formel som i huvudlösningen.

Genom att sätta in n=10 i formeln kan vi bestämma antalet stickor i figur 10.

Det finns 31 stickor i den tionde figuren.

Nu vet vi antalet stickor, alltså att a_n=61. Vi sätter in det i formeln a_n=3n+1 och löser ut n.

I den tjugonde figuren är antalet stickor 61.

Vi bestämmer en formel för antalet stolar i den n:te raden. De första tre raderna har fem, sex respektive sju platser. Vi beskriver detta med en talföljd.

Vi ser att för varje rad ökar antalet stolar med 1.

Vi har alltså en aritmetisk talföljd med steglängden 1 och startvärdet 5. Vi sätter in detta i den generella formeln för aritmetiska talföljder och förenklar.

Nu kan vi bestämma antalet stolar i den femtonde raden genom att sätta in n=15 i formeln och beräkna.

Det finns 19 stolar i sista raden.

Vi kan även lösa uppgiften om vi tänker oss att radnumret och antalet stolar utgör punkter i ett koordinatsystem.

Vi använder två punkter för att beräkna lutningen med k-formeln.

Vi sätter in en punkt och lutningen i k-formen och löser ut m.

Den räta linjen blev y=x+4 vilket är samma sak som vår ursprungsformel, om man byter ut x mot n. Sätter vi in x=15 kan vi beräkna antalet stolar i den sista raden.

Biosalongen består av femton rader. Den mittersta raden måste vara rad 8 eftersom man då har sju rader framför sig och sju rader bakom sig. Vi sätter in n=8 i formeln för att beräkna antalet stolar i den raden.

I den mittersta raden finns 12 stolar. Om 3 par redan sitter där är 2* 3=6 av stolarna upptagna. Detta innebär att det finns 12-6=6 kvar i raden och därför finns det plats för 3 par till.

Genom att sätta in n=3 i formeln och beräkna, kan vi beräkna antalet tandpetare i den tredje högen.

Nu är antalet tandpetare i första högen 5. Sara lägger fortfarande till 3 tandpetare för varje hög så den nya talföljden kan skrivas 5, 8, 11, ... Vad händer då med formeln? Varje element har ökat med 4, vilket innebär att vi kan få den nya formeln genom att addera 4 till den gamla. Då får vi a_n = 3n - 2 + 4 = 3n + 2. Den nya formeln blir alltså a_n = 3n + 2.

Vi vet att i det nu läggs till nio tandpetare i varje hög, men annars är det som i första fallet. Det innebär att vi kan använda formeln för en aritmetisk talföljd med startvärdet 1 och steglängden 9. Vi sätter in detta och förenklar.

Den nya formeln blir a_n = 9n - 8.

Om vi undersöker figurerna ser vi att antalet prickar på bredden matchar platsnumret dvs. antalet prickar i bredd är samma som platsnumret. Men även på höjden är antalet prickar lika stort som platsnumret. Talen kan därför skrivas om som platsnumret upphöjt till 2.

Antalet prickar kan beskrivas med n^2.

Vi likställer formeln med 169 och löser ut n. Om vi får ett heltal finns det en figur med 169 prickar.

Det finns alltså en figur med 169 prickar och den har 13 som platsnummer.

116 är formelns n:te element. 116 är alltså a_n. För att ta reda på vad n är sätter vi in 116 i formeln och löser ut n.

Vi ser alltså att 116 har platsnumret n=31.

På liknande sätt som i föregående deluppgift likställer vi ekvationen med 1023.

Eftersom n inte blir ett heltal kan 1023 inte vara en del av talföljden. Svaret är alltså nej.

Vi kan prova formeln genom att sätta in talen 1 till 4 istället för n och förenkla. Om formeln är korrekt ska den ge vår talföljd.

Något är fel. Varje tal blir 2 mindre än talföljden. Men om vi adderar 2 till formeln blir den korrekt: 9-2n.

Vi kan inte ha ett negativt antal tändstickor, men enligt formeln blir antalet negativt för alla figurer efter fjärde. Till exempel säger formeln att femte figuren innehåller 9-2* 5=-1 tändstickor. Formeln är alltså begränsad till att n ligger mellan 1 och 4.