Sannolikhetsfördelningar: Täthetsfunktion och exponentialfördelning

Ett företag har undersökt hur länge kunder som ringer till deras kundservice behöver vänta innan de får svar. De har funnit att väntetiden

t

minuter har en fördelning som kan beskrivas med täthetsfunktionen

f (t) = \frac{1}{6} e^{- t / 6}, t \geq 0 .

Bestäm sannolikheten att en kund som ringer till företaget behöver vänta högst $10$ minuter på svar. Svara i hela procent.

Nationella provet VT13 Ma4

Företaget vill informera om resultatet av undersökningen genom följande formulering: ”Vår kundundersökning visar att $50 %$ av våra kunder behöver vänta högst $x$ minuter.” Bestäm värdet på $x .$

Nationella provet VT13 Ma4

Vi ska undersöka sannolikheten att en kund får vänta högst 10 min. Det motsvarar sannolikheten att vänta 0-10 min, dvs. P(0≤ t≤ 10). Vi bestämmer den genom att integrera täthetsfunktionen från 0 till 10. P(0≤ t ≤ 10)= ∫_0^(10) 16e^(-.t /6.) d t För att kunna beräkna integralen måste vi först bestämma en primitiv funktion till f(t).

Med den primitiva funktionen kan vi nu beräkna integralen.

Sannolikheten att en kund får vänta högst 10 minuter är alltså ungefär 81 %.

När vi ställt upp integralen ∫_0^(10) 16e^(-.t /6.) d t , kan den bestämmas med räknarens kommando fnInt istället för att göra det algebraiskt. När vi skriver in parametrarna byter vi integrationsvariabeln t mot x, eftersom det är lite lättare att skriva in på räknaren. Vi skriver först in integranden, e^(- x/6)6, följt av den variabel vi integrerar med avseende på, x. Till sist skriver vi in den undre och övre integrationsgränsen, dvs. 0 och 10.

Vi får givetvis samma svar, alltså ca 0.81 eller 81 %.

Att 50 % av kunderna behöver vänta maximalt x minuter innebär att sannolikheten att ett samtal får vänta maximalt x min är 50 %, dvs. att P(0≤ t≤ x)=0.5. Vänsterledet kan uttryckas som integralen av täthetsfunktionen f(t) på intervallet 0 till x, vilket ger att ∫_0^x 16e^(-.t /6.) d t =0.5. Vi känner till en primitiv funktion till täthetsfunktionen sedan föregående deluppgift, F(t)=- e^(-.t /6.), och använder den för att skriva integralen som en differens mellan primitiva funktioner.

Nu sätter vi detta uttryck lika med 0.5 och löser ut x.

Värdet på x är alltså ca 4.2.

Mänskligheten har nyligen drabbats av en hemsk förbannelse! Vid varje tidpunkt finns det en risk att man spontant förvandlas till en gås, utan möjlighet att återvända till sitt normala liv. Sannolikheten att man har blivit en gås efter en viss tid kan beskrivas av täthetsfunktionen

f (t) = {0.014 e^{- 0.014 t}, 0, t \geq 0 annars,

där

t

är tiden i dagar från att förbannelsen lades. Bestäm sannolikheten att alla personer i en familj på

4

fortfarande är människor efter

30

dagar. Avrunda svaret till hela procent.

Vi börjar med att bestämma sannolikheten att 1 person blivit en gås efter 30 dagar. Därefter utnyttjar vi att komplementhändelsen till denna händelse är att en person fortfarande är människa efter 30 dagar. Vi kallar sannolikheten att ha blivit en gås för P(G) och bestämmer den genom att integrera täthetsfunktionen från 0 till 30: P(G)=P(0≤ t ≤ 30)= ∫_0^(30)f(t) d t . På intervallet 0≤ t ≤ 30 är f(t)=0.014e^(- 0.014 t), så vi bestämmer en primitiv funktion till denna funktion.

Nu kan vi beräkna integralen.

Vi avrundar svaret men behåller många decimaler för att undvika avrundningsfel i kommande beräkningar. Nu vet vi att P(G)≈0.04113. Eftersom en person antingen är en gås eller en människa vet vi att sannolikheten att vara en av dessa är 1. Om vi kallar sannolikheten att fortfarande vara människa efter 30 dagar för P(M) har vi alltså att P(G)+P(M)=1 ⇔ P(M)=1-P(G). Sätter vi in värdet på P(G) får vi att P(M)≈1-0.04113=0.95887. Sannolikheten att en person fortfarande är människa efter 30 dagar är alltså ca 0.95887. För att bestämma sannolikheten att alla 4 personer är människor efter 30 dagar antar vi att händelserna att familjemedlemmarna blir gäss är oberoende. Då kan vi nämligen beräkna denna sannolikhet genom att multiplicera ihop sannolikheten för att varje enskild person fortfarande ska vara människa: 0.95887^4=0.84535. Sannolikheten att hela familjen fortfarande är människor efter 30 dagar är alltså ungefär 85 %.

På tivolit Röda Lund finns en attraktion som heter Knasiga huset. Det är så pass stort att det omöjligt att gå igenom det under $1$ minut. Man kan inte heller vara inne längre än $7$ minuter. För en slumpmässigt vald besökare visar det sig att sannolikheten att hen är inne minst $1$ men max $3$ minuter är hälften så stor som mellan $3$ och $5$ minuter, men tre gånger så stor som från $5$ till och med $7$ minuter. Bestäm en täthetsfunktion som beskriver denna sannolikhetsfördelning och rita upp den.

Förhållandena mellan sannolikheterna att hamna i de olika intervallen är givna. Det kan vi använda för att bestämma täthetsfunktionen. Vi börjar med att markera intervallen i ett koordinatsystem.

För att bestämma täthetsfunktionen kan vi välja ett av intervallen som utgångspunkt. Det går att välja vilket som helst men det kan vara en bra tumregel att välja det med lägst sannolikhet. I det här fallet är det intervallet 5 till 7 minuter. Vi vet inte hur sannolikheten fördelas här, men det är rimligt att anta att täthetsfunktion är konstant. Vi kallar det konstanta värdet a.

Sannolikheten att besökaren varit inne mellan 1 och 3 minuter är 3 gånger så stor som 5 till 7 minuter. Det betyder att arean under kurvan på det intervallet ska vara 3 gånger större. Eftersom intervallet är lika brett blir höjden 3a. Vi markerar detta i grafen.

Sannolikheten att vara inne 1 till 3 minuter är hälften så stor som mellan 3 och 5 minuter. Det betyder att höjden på täthetsfunktionen på det mittersta intervallet är 6a.

Med de olika uttrycken kan vi nu räkna ut vad a har för värde. För en täthetsfunktion gäller att om vi integrerar över hela x-axeln kommer värdet bli 1. ∫_(- ∞)^(∞)f(t) d t = 1 Eftersom integralen beskriver arean under kurvan kan vi bestämma ett uttryck för denna area utifrån vår graf. Det kommer bildas tre rektanglar med samma bredd men olika höjd.

Eftersom det var omöjligt att gå igenom huset under 1 minut eller över 7 minuter kommer täthetsfunktionen vara 0 för dessa tider. Vi kan nu uttrycka täthetsfunktionen som f(t) = 3a, & 1 ≤ t < 3 6a, & 3 ≤ t < 5 a, & 5 ≤ t ≤ 7 0, & annars. Den totala arean kan uttryckas som summan av arean av de tre rektanglarna: 2*3a+2*6a+2* a=20a. Det betyder att vi kan likställa uttrycket med värdet av integralen, alltså 1. Vi får då en ekvation som vi kan lösa.

Eftersom a är lika med 0.05 blir 3a=0.15 och 6a=0.3. Det ger oss täthetsfunktionen f(t) = 0.15, & 1 ≤ t < 3 0.3, & 3 ≤ t <5 0.05, & 5 ≤ t ≤ 7 0, & annars. Slutligen ska vi rita upp sannolikhetsfördelningen, vilket vi nästan redan har gjort. Vi tar bort de streckade linjerna och ritar in y=0 för t-värdena utanför 1≤ t≤ 7.

Exponentialfördelningens täthetsfunktion är

f (t) = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ k \cdot e^{- k t}, 0, t \geq 0 annars,

där

k > 0 .

Men Bruce säger att en allmän avtagande exponentialfunktion beskrivs av

y = C \cdot e^{- k t}

och menar att täthetsfunktionen istället borde vara

f (t) = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ C \cdot e^{- k t}, 0, t \geq 0 annars .

Bestäm kvoten mellan

C

och

k .

Om man integrerar en täthetsfunktion över alla reella tal ska integralen ha värdet 1. Eftersom f(t)=0 när t<0 räcker det med att integrera från 0 till oändligheten. Eftersom oändligheten inte är ett tal bör man göra om integralen till ett gränsvärde. Vi kallar den övre gränsen R och efter integreringen låter vi R gå mot oändligheten. lim _(R→ ∞) ∫_0^RC* e^(- kt) d t För att beräkna integralen bestämmer vi en primitiv funktion till f(t) när t>0.

Nu kan vi använda den primitiva funktionen för att beräkna integralen.

När R går mot oändligheten kommer exponenten i första termen att gå mot -∞ vilket betyder att hela potensen går mot 0.

Integralen blir alltså Ck och eftersom den ska vara lika med 1 får vi ett samband mellan C och k: C/k=1 ⇒ C=k.

Sannolikhetsfördelningar

Täthetsfunktion

Exempel

Bestäm sannolikheten med hjälp av täthetsfunktionen

Likformig sannolikhetfördelning

Exempel

Ställ upp en integral för att beräkna sannolikheten

Exponentialfördelning

Sannolikhetsfördelningar

Rekommenderade uppgifter

	6 sidor teori
	11 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.