Sannolikhetsfördelningar: Täthetsfunktion och exponentialfördelning

Tina är ute och surfar under sin semester i Portugal. Efter hårt studerande av sin egen surfing inser hon att om hon är ute och surfar

2

timmar kommer hon garanterat falla exakt

1

gång. Om hon surfar kortare än så är det inte säkert att hon faller. På grund av vågornas beteende just idag kan sannolikheten att hon faller modelleras med täthetsfunktionen

f (t) = {1.5 \cdot (t - 10)^{2}, 0, 9 \leq t \leq 11 annars

under hennes tur mellan klockan

9

och

11

på förmiddagen. Idag är hon inte särskilt sugen på att falla i vattnet och bli blöt och kall — hon vill inte att sannolikheten att hon faller ska överstiga

50 % .

Tina räknar fram den optimala tiden för henne så att hon kan surfa så mycket som möjligt. Hur länge surfar hon under förmiddagen? Avrunda till en decimal.

Tiden hon börjar surfa kallar vi a och tiden hon slutar kallar vi b. Eftersom hennes tur varar mellan kl. 9 och 11 gäller det att 9 ≤ a < b ≤ 11. Sannolikheten att hon faller kan därför beräknas med en integral: P(a ≤ t ≤ b) = ∫_a^bf(t) d t . Den här integralen ska vi alltså sätta till 0.5 för att kunna bestämma a och b. Men hur ser vi till att det är så lång tid som möjligt mellan a och b? För det studerar vi täthetsfunktionen f(t). Den är en andragradsfunktion med ett lokalt minimum för t = 10.

Den är därför också symmetrisk kring sitt minimum. Tina kan alltså surfa så länge som möjligt utan att överstiga sannolikheten 0.5 att falla om tiden mitt emellan a och b är kl. 10. Vi kan nu uttrycka a och b med en gemensam variabel: a = 10 - h och b = 10 + h, där h är någon okänd tid. Vi sätter sannolikheten till 0.5 och får då ekvationen ∫_(10 - h)^(10 + h)f(t) d t = 0.5, som kan ge oss h. För att beräkna integralen bestämmer vi först en primitiv funktion till f(t). Notera att både övre och undre gräns ligger mellan 9 och 11 — vi behöver inte dela upp integralen utefter täthetsfunktionens intervall.

Vi beräknar nu integralen.

Uttrycket vi fått är väldigt knöligt, så vi väljer här att använda Geogebra istället. Vi kan be Geogebra om en förenkling av uttrycket, men det är lättare att skriva in integralen som vi började med.

Integral ( 1.5(t-10)^2, t, 10 - h, 10 + h )

→ h^3

Det långa jobbiga uttrycket kan alltså förkortas till h^3. För smartare algebraiska sätt att bestämma integralen, se "alternativ lösning" längst ner. Vi sätter in h^3 i ekvationen vi ställde upp tidigare och bestämmer sedan h.

Det här ger undre gränsen a ≈ 9.2 och övre gränsen b = 10.8 — Tina surfar ungefär från tiden 9.2 till 10.8. Hon surfar alltså cirka 10.8-9.8=1.6 timmar under förmiddagen.

När vi ska bestämma integralen ∫_(10-h)^(10+h)1.5 * (t - 10)^2 d t kan vi ta fram en primitiv funktion på ett annat sätt. Vi noterar att funktionen f(t) = 1.5 * (t - 10)^2 är sammansatt med den inre funktionen u = t - 10. Vi kan därför försöka använda kedjeregeln baklänges. Vi tänker på t - 10 som en variabel när vi ska bestämma en primitiv funktion, och sedan dividerar vi med derivatan av den inre funktionen. Detta går att göra om den inre funktionens derivata är en konstant, vilket den är i det här fallet. Vi får då F(t) = 1.5 * (t - 10)^3/3 * D(t - 10) = 1.5 * (t - 10)^3/3. Vi förkortar bråket med 1.5 för att få F(t) = (t - 10)^3/2. Här kan man derivera F(t) med kedjeregeln för att kontrollera att det är en primitiv funktion till f(x). Vi är nu redo att bestämma integralen.

Vi fick även här h^3, men utan att behöva vidröra det där hemska uttrycket vi fick när vi skulle bestämma integralen med en annan primitiv funktion.

Vi visualiserar integralen vi ska bestämma, ∫_(10-h)^(10+h)1.5 * (t - 10)^2 d t , som en area under täthetsfunktionen f(t).

Vi kan nu notera att den här arean förblir densamma även om vi förskjuter kurvan längs med x-axeln. Vad får vi om vi förskjuter den så att kurvans jämviktslinje är vid x = 0? Jo, en integral från - h till h.

Den här nya kurvan vi fått, som vi kan kalla för g(t), ser likadan ut som f(t) men är förskjuten 10 le. åt vänster. En förskjutning åt vänster med 10 le. får vi genom att addera 10 till funktionens argument dvs. ersätta t med t+10. Funktionen g(t) är alltså g(t) = 1.5 * (t+10 - 10)^2 = 1.5 * t^2. Vi kan nu bestämma integralen av g(t) från - h till h. Denna integral motsvarar just den vi behöver beräkna, alltså ∫_(10-h)^(10+h)1.5 * (t - 10)^2 d t = ∫_(- h)^h1.5 * t^2 d t . Först tar vi fram en primitiv funktion till g(t).

Vi beräknar nu integralen.

Återigen är integralens resultat h^3.

För en viss slumpmässig händelse kan följande täthetsfunktion tilldelas.

f (x) = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ \frac{x ^{3} + x}{6}, 0, 0 \leq x \leq a annars

Bestäm

a .

Den kumulativa sannolikhetsfunktionen

K (b)

är väldigt användbar om man vill beräkna flera sannolikheter som följer samma täthetsfunktion. Beräkna

K (1.5) - K (1)

och tolka resultatet. Avrunda till två decimaler.

För alla täthetsfunktioner gäller det att integralen från - ∞ till ∞ av täthetsfunktionen har värdet 1. I det här fallet är täthetsfunktionen 0 överallt förutom i intervallet 0 ≤ x ≤ a, vilket betyder att ∫_(- ∞)^(∞)f(x) d x = ∫_0^af(x) d x = 1. Om vi uttrycker den här integralen som en differens med hjälp av en primitiv funktion F(x) får vi en ekvation som vi kan lösa ut a ur. Vi bestämmer därför en primitiv funktion till f(x) som gäller för intervallet 0 < x < a.

Vi beräknar nu integralen från 0 till a.

Vi konstaterade tidigare att integralen måste ha värdet 1. Vi sätter därför detta uttryck lika med 1 och bestämmer a genom att substituera a^2 med b.

När vi nu genomför substitutionen åt andra hållet, b = a^2, får vi att la^2 = - 6 och a^2 = 4. Den första ekvationen, a^2 = - 6, har inga reella lösningar och är därför inte relevant för oss. Från den andra ekvationen får vi lösningarna a = ± 2. Vi kan förkasta den negativa lösningen, eftersom vi vet att a ≥ 0, och får då att a = 2.

Både b = 1.5 och b = 1 ligger i intervallet 0 ≤ b ≤ 2, så vi använder att K(b) = b^4/24 + b^2/12. Nu beräknar vi den sökta differensen.

Vi har nu beräknat differensen, men hur kan den tolkas? K(1.5) är ju sannolikheten att x är mindre än 1.5, och K(1) är sannolikheten att x är mindre än 1. Beräkningen K(1.5) - K(1) motsvarar alltså att dra bort P(x < 1) från P(x < 1.5). Det här kan vi tolka som P(1 ≤ x < 1.5). Det här är dock en kontinuerlig sannolikhetsfördelning, så det spelar ingen roll om olikheterna är strikta eller inte. Vi kan skriva det som P(1 < x < 1.5) om vi så vill, sannolikheten har fortfarande samma värde. Differensen K(1.5) - K(1) kan alltså tolkas som sannolikheten att x antar ett värde mellan 1 och 1.5.

Att differensen K(1.5) - K(1) motsvarar P(1 < x < 1.5) kan vi även visa algebraiskt med hjälp av definitionen av den kumulativa sannolikhetsfunktionen.

Den här integralen vi nu fått kan vi tolka som just sannolikheten att x hamnar mellan 1 och 1.5.

Sannolikhetsfördelningar

Täthetsfunktion

Exempel

Bestäm sannolikheten med hjälp av täthetsfunktionen

Likformig sannolikhetfördelning

Exempel

Ställ upp en integral för att beräkna sannolikheten

Exponentialfördelning

Sannolikhetsfördelningar

Rekommenderade uppgifter

	6 sidor teori
	11 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.