body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

3b

Kurs 3b Visa detaljer

Innehållsförteckning

Kapitel 1

2.

Rationella uttryck

Lektionen fokuserar på rationella uttryck inom matematik. Den förklarar begrepp som rationella funktioner, ekvationer och hur man kan förenkla uttryck i bråkform. Det finns en detaljerad genomgång av hur man kan förenkla rationella uttryck genom att bryta ut faktorer, förkorta och använda olika matematiska regler. Lektionen innehåller också exempel och övningar som hjälper till att förstå hur man hanterar och löser problem med rationella uttryck, inklusive hur man undviker nolldivision och hur man skriver uttryck som en kvot av två polynom.

Inställningar & verktyg för lektion

	10 sidor teori
	28 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Rationella uttryck

Sida av 10

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Rationella tal
Rationellt uttryck
Odefinierat rationellt uttryck
Förlänga och förkorta rationella uttryck
Enklaste form rationellt uttryck
Förenkla rationella uttryck

Förkunskaper

Rationella tal
Nollproduktmetoden
Polynom
Bryta ut
Konjugatregeln
Kvadreringsregeln

Koncept

Rationellt uttryck

Ett rationellt uttryck är ett bråk där både täljaren och nämnaren är polynom, som t.ex.

\frac{x ^{2} - 7}{x ^{3} + 5 x} .

Ibland döps täljaren till

p (x)

och nämnaren till

q (x) .

I det här exemplet är alltså

p (x) = x^{2} - 7

och

q (x) = x^{3} + 5 x .

Koncept

Odefinierat rationellt uttryck

Ett rationellt uttryck är odefinierat för de värden som gör att uttryckets nämnare är lika med

0

eftersom nolldivision är förbjudet. T.ex. är det rationella uttrycket

\frac{x ^{2} + 2 x - 1 5}{x + 3}

odefinierat för

x = - 3

eftersom polynomet i nämnaren är lika med

0

för detta värde.

Exempel

För vilka $x$ är de rationella uttrycken odefinierade?

För vilka värden på $x$ är följande rationella uttryck odefinierade?

a

\frac{1}{x - 3}

b

\frac{x}{( x + 2 ) ( x - 1 2 )}

c

\frac{x ^{2} + 9}{x ^{2} - 8 1}

Ledtråd

a Ett rationellt uttryck är odefinierat för de värden som gör nämnaren i uttrycket lika med

0 .

b Ett rationellt uttryck är odefinierat för de värden som gör nämnaren i uttrycket lika med

0 .

c Ett rationellt uttryck är odefinierat för de värden som gör nämnaren i uttrycket lika med

0 .

Lösning

a Ett bråk blir odefinierat när nämnaren är lika med

0,

vilket innebär att vi undersöker när polynomen i nämnarna till de rationella uttrycken är

0 .

Det spelar ingen roll vad täljaren är. Vi börjar med

\frac{1}{x - 3},

som har

x - 3

i nämnaren. Sätter vi det lika med

0

får vi

x - 3 = 0

som vi löser till

x = 3 .

Det första rationella uttrycket är alltså odefinierat då

x = 3 .

b Det andra uttrycket,

\frac{x}{( x + 2 ) ( x - 1 2 )},

är odefinierat när

(x + 2) (x - 12) = 0 .

Denna ekvation går att lösa med nollproduktmetoden, som ger

x = - 2 och x = 12,

vilket alltså är de värden på

x

då det rationella uttrycket är odefinierat.

c För det sista uttrycket,

\frac{x ^{2} + 9}{x ^{2} - 8 1},

får man ekvationen

x^{2} - 81 = 0

när man sätter nämnaren lika med

0 .

x^{2} - 81 = 0

$VL + 81 = HL + 81$

x^{2} = 81

$VL = HL$

x = \pm 81

Beräkna rot

x = \pm 9

Det sista rationella uttrycket är alltså odefinierat när

x = - 9

och när

x = 9 .

Övning

Att bestämma värden som gör ett rationellt uttryck odefinierat

Ett rationellt uttryck är odefinierat när dess nämnare är $0 .$ De värden som gör nämnaren i ett rationellt uttryck lika med $0$ kallas undantagna värden eftersom de är undantagna från dess definitionsmängd. Bestäm de undantagna värdena för de angivna rationella uttrycken. Skriv talen från minst till störst, separerade med kommatecken.

Regel

Förlänga och förkorta rationella uttryck

Eftersom rationella uttryck är bråk går det att förlänga eller förkorta dem med en faktor utan att kvotens värde förändras. När man förlänger det rationella uttrycket $\frac{p ( x )}{q ( x )}$ med faktorn $k$ gäller alltså följande likhet.

$\frac{p ( x )}{q ( x )} = \frac{p ( x ) \cdot k}{q ( x ) \cdot k}$

Om man istället förkortar med faktorn $k$ får man en motsvarande likhet. I båda fall kan faktorn $k$ vara alla tal utom $0$ eftersom det skulle leda till en nolldivision.

$\frac{p ( x )}{q ( x )} = \frac{p ( x ) / k}{q ( x ) / k}$

Det går också att förlänga eller förkorta med ett helt polynom. Exempelvis kan man förkorta det rationella uttrycket

\frac{x - 1}{x ( x - 1 )}

med faktorn

(x - 1)

:

\frac{x - 1}{x ( x - 1 )} = \frac{1}{x} .

Lägg märke till definitionsmängden. Det första uttrycket är odefinierat för

x = 1,

men i det andra uttrycket går

x = 1

fint. Det ser ut som att definitionsmängden utökats i förkortningen, men så är det inte.

x -

värden som är otillåtna från början är otillåtna genom hela beräkningen.

Koncept

Enklaste form (rationellt uttryck)

Ett rationellt uttryck skrivet på sin enklaste form är förkortat så långt det går, dvs. man kan inte bryta ut och förkorta med någon gemensam faktor i täljare och nämnare. T.ex. är

\frac{x + 3}{x - 1} och \frac{x}{x + 5}

skrivna på enklaste form, medan

\frac{2 x + 6}{2 x ^{2} - 2} och \frac{x ^{2} - x}{x + x ^{2}}

kan förkortas med

2

respektive

x .

Exempel

Förenkla det rationella uttrycket genom att bryta ut faktor

Skriv det rationella uttrycket

\frac{3 x ^{2} + 9}{3 x - 1 2}

på sin enklaste form.

Ledtråd

Hitta den gemensamma faktorn för täljaren och nämnaren och förkorta bråket med den.

Lösning

Alla termer i täljare och nämnare är delbara med

3 .

Man kan därför bryta ut denna faktor ur båda polynom och därefter förkorta med

3 .

\frac{3 x ^{2} + 9}{3 x - 1 2}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

\frac{3 \cdot x ^{2} + 3 \cdot 3}{3 \cdot x - 3 \cdot 4}

Bryt ut $3$

\frac{3 ( x ^{2} + 3 )}{3 ( x - 4 )}

Förkorta med $3$

\frac{x ^{2} + 3}{x - 4}

Det går inte att förkorta detta uttryck längre eftersom det inte finns någon gemensam faktor i täljare och nämnare. Uttrycket är alltså skrivet på sin enklaste form.

Metod

Förenkla rationella uttryck

För att kunna förenkla ett rationellt uttryck måste det finnas en gemensam faktor i täljaren och nämnaren. Om det gör det kan uttrycket förenklas genom att den förkortas bort. Gemensamma faktorer kan hittas genom att på olika sätt faktorisera polynomen i täljaren och nämnaren. Exempelvis kan det rationella uttrycket

\frac{9 x - x ^{3}}{x ^{2} - 6 x + 9}

förenklas genom att ta hjälp av följande checklista.

1

Kan man bryta ut faktorer?

Undersök först om det finns någon gemensam faktor för alla termer i täljaren eller nämnaren, och i så fall, bryt ut den. I det här fallet finns faktorn

x

i båda termerna i täljaren.

\frac{9 x - x ^{3}}{x ^{2} - 6 x + 9}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

\frac{x \cdot 9 - x \cdot x ^{2}}{x ^{2} - 6 x + 9}

Bryt ut $x$

\frac{x ( 9 - x ^{2} )}{x ^{2} - 6 x + 9}

2

Kan man faktorisera med konjugatregeln?

Sedan undersöker man om det är möjligt att faktorisera något med konjugatregeln. Man söker alltså efter ett uttryck på formen

a^{2} - b^{2}

som kan faktoriseras till

(a + b) (a - b) .

I exemplet finns

9 - x^{2}

i täljaren, vilket kan faktoriseras på detta sätt.

\frac{x ( 9 - x ^{2} )}{x ^{2} - 6 x + 9}

Skriv som potens

\frac{x ( 3 ^{2} - x ^{2} )}{x ^{2} - 6 x + 9}

Faktorisera med konjugatregeln

\frac{x ( 3 + x ) ( 3 - x )}{x ^{2} - 6 x + 9}

3

Kan man faktorisera med kvadreringsreglerna?

Man bör också undersöka om det går att faktorisera någonting med första eller andra kvadreringsregeln. Man söker alltså efter uttryck på formen

a^{2} + 2 a b + b^{2}

eller

a^{2} - 2 a b + b^{2}

som kan faktoriseras till

(a + b)^{2}

respektive

(a - b)^{2} .

I exemplet kan nämnaren faktoriseras med andra kvadreringsregeln.

\frac{x ( 3 + x ) ( 3 - x )}{x ^{2} - 6 x + 9}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

\frac{x ( 3 + x ) ( 3 - x )}{x ^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 9}

Skriv som potens

\frac{x ( 3 + x ) ( 3 - x )}{x ^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3 ^{2}}

FacNegPerfectSquare

Faktorisera med andra kvadreringsregeln

\frac{x ( 3 + x ) ( 3 - x )}{( x - 3 ) ^{2}}

4

Måste man bryta ut ett minustecken?

I vissa fall måste man bryta ut ett minustecken ur en faktor för att den ska få samma utseende som en annan faktor. I exemplet kan man se att faktorn

3 - x

i täljaren är nästan identisk med faktorn

x - 3

i nämnaren och om man bryter ut

- 1

i täljaren blir de likadana.

\frac{x ( 3 + x ) ( 3 - x )}{( x - 3 ) ^{2}}

Omarrangera faktorer

\frac{( 3 - x ) \cdot x \cdot ( 3 + x )}{( x - 3 ) ^{2}}

FactorOutNegSignSwap

$a - b = - (b - a)$

\frac{- ( x - 3 ) \cdot x \cdot ( 3 + x )}{( x - 3 ) ^{2}}

5

Förkorta faktorer

När täljaren och nämnaren är helt faktoriserade identifierar man de faktorer som finns i båda och förkortar bort dem. I exemplet kan man nu se att faktorn

x - 3

finns en gång i täljaren och två gånger i nämnaren, så det går att förkorta med den en gång.

\frac{- ( x - 3 ) \cdot x \cdot ( 3 + x )}{( x - 3 ) ^{2}}

Förkorta med $(x - 3)$

\frac{- x ( 3 + x )}{x - 3}

Det rationella uttrycket har nu förenklats så långt som det går. Om man vill bli av med ytterligare ett tecken kan man flytta ned minustecknet till nämnaren och multiplicera in det. Då får man

\frac{x ( 3 + x )}{- ( x - 3 )} = \frac{x ( 3 + x )}{3 - x} .

Exempel

Förenkla det rationella uttrycket med konjugatregeln

Skriv det rationella uttrycket

\frac{x ^{2} - 2 5}{x ( x + 5 )}

på sin enklaste form.

Ledtråd

Börja med att faktorisera täljaren med hjälp av konjugatregeln.

Lösning

Vi ser att täljaren innehåller uttrycket

x^{2} - 25

som kan faktoriseras med hjälp av konjugatregeln. Gör man det ser man att faktorn

(x + 5)

finns i både täljaren och nämnaren, vilket innebär att den kan förkortas bort.

\frac{x ^{2} - 2 5}{x ( x + 5 )}

Skriv som potens

\frac{x ^{2} - 5 ^{2}}{x ( x + 5 )}

Faktorisera med konjugatregeln

\frac{( x - 5 ) ( x + 5 )}{x ( x + 5 )}

Förkorta med $(x + 5)$

\frac{x - 5}{x}

Nämnare och täljare har nu inga gemensamma faktorer, vilket betyder att det rationella uttrycket är skrivet på sin enklaste form.

Rationella uttryck

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.