Randvinkelsatsen

Den största vinkeln kan vi bestämma med hjälp av randvinkelsatsen. Det kan vara svårt att se, men det finns både en randvinkel och en medelpunktsvinkel i figuren. Vi markerar cirkelbågen de spänner upp.

Medelpunktsvinkeln är ett halvt varv runt cirkeln, alltså 180^(∘). Enligt randvinkelsatsen ska randvinkeln på samma cirkelbåge vara hälften så stor, vilket innebär att den måste vara 90^(∘), alltså en rät vinkel.

För att räkna ut v utnyttjar vi nu att vinkelsumman i triangeln ska vara 180^(∘). Denna blir därför v=180^(∘) - 50^(∘) - 90^(∘) = 40^(∘). Svaret är alltså att v=40^(∘).

Om vi tar bort radierna får vi en en fyrhörning som skrivits in i en cirkel.

Vi har en fyrhörning är inskriven i en cirkel, vilket innebär att vi kan använda en av följdsatserna till randvinkelsatsen. Den ger att summan av motstående vinklar i fyrhörningen är 180^(∘). Då kan x lösas ut ur ekvationen x+145^(∘)=180^(∘) genom att subtrahera båda leden med 145^(∘). x&=180^(∘)-145^(∘) &=35^(∘) Vinkeln x är alltså 35^(∘).

Vi kan lösa uppgiften om vi vet storleken på vinkeln som bildas mellan v och 70-gradersvinkeln, eftersom de tillsammans utgör ett halvt varv eller 180^(∘). Vi ser att denna vinkel är medelpunktsvinkel på samma cirkelbåge som 30-gradersvinkeln är randvinkel.

Det innebär att medelpunktsvinkeln är dubbelt så stor som 30-gradersvinkeln enligt randvinkelsatsen. Medelpunktsvinkeln är alltså 2*30^(∘) = 60^(∘).

Nu kan vi bestämma v, eftersom vi vet att vinklarna tillsammans ska bli 180^(∘).

Den okända vinkeln v är alltså 50^(∘).

Vi ser först att den mindre triangeln måste vara likbent eftersom två av sidorna är radier till cirkeln och är därför lika långa. De två blå vinklarna vid cirkelranden måste då vara lika stora, 50^(∘), eftersom basvinklarna i en likbent triangel alltid är lika stora.

Vi känner nu till två vinklar i den lilla triangeln och då kan vi räkna ut den sista genom att subtrahera dem från vinkelsumman 180^(∘): 180^(∘) - 50^(∘) - 50^(∘) = 80^(∘). Vi vet då att medelpunktsvinkeln är 80^(∘). Eftersom den spänner upp samma cirkelbåge som den okända randvinkeln v kan vi använda randvinkelsatsen.

Enligt randvinkelsatsen är medelpunktsvinkeln dubbelt så stor som randvinkeln, vilket omvänt betyder att vi kan dela 80^(∘) med 2 för att beräkna v: v = 80^(∘)/2 = 40^(∘).

Randvinkeln vid A och medelpunktsvinkeln på 140^(∘) spänner upp samma cirkelbåge. Enligt randvinkelsatsen är då randvinkeln hälften så stor som den medelpunktsvinkeln, dvs. 140^(∘)2=70^(∘).

Både sträckan OB och OC utgör radier i cirkeln så de är lika långa. Det betyder att △ BCO är likbent och de blå basvinklarna är lika stora. Vi kallar dem v.

Nu använder vi att vinkelsumman i en triangel är 180^(∘) för att ställa upp en ekvation för v.

v är alltså 20^(∘). Nu saknar vi bara vinkeln ∧ ACO, som vi kallar x, för att kunna bestämma alla vinklar i triangeln ABC.

Vi använder att vinkelsumman i Δ ABC är 180^(∘) för att bestämma x.

x är alltså 40^(∘). Det betyder att vinkeln ∧ C är 60^(∘).

Randvinkeln v+40^(∘) spänner upp samma cirkelbåge som medelpunktsvinkeln 140^(∘).

Enligt randvinkelsatsen är randvinkeln hälften av medelupunktsvinkeln dvs. 140^(∘)2=70^(∘). Detta betyder att v+40^(∘)=70^(∘) ⇔ v=30^(∘). Vinkeln v är alltså 30^(∘).

Båda trianglarna i figuren är likbenta eftersom två av deras sidor är radier i cirkeln dvs. lika långa. Basvinklarna i en likbent triangel är lika stora.

Vi vet att vinkelsumman i en triangel är 180^(∘), så den okända vinkeln i den nedre triangeln blir 180^(∘) - 40^(∘) - 40^(∘) = 100^(∘). Sedan vet vi att hela varvet runt medelpunkten ska bli 360^(∘), så motsvarande vinkel i den övre triangeln måste vara 360^(∘) - 100^(∘) - 140^(∘) = 120^(∘). Vi har alltså följande vinklar.

Vinkelsumman i den övre triangeln är 180^(∘) vilket ger en ekvation med v.

Vi får samma svar, att vinkeln v är 30^(∘).

Man kan förlänga sträckan mellan de två trianglarna vidare genom cirkelns medelpunkt och ända fram till randen på andra sidan. Det delar 140-gradersvinkeln i två delvinklar, som vi kan kalla w och u.

Det har nu skapats två randvinklar och två medelpunktsvinklar i figuren. Vinkeln u är medelpunktsvinkel på samma cirkelbåge som randvinkeln på 40^(∘) och w är medelpunktsvinkel på samma cirkelbåge som v.

Enligt randvinkelsatsen är medelpunktsvinkeln u dubbelt så stor som randvinkeln 40^(∘), dvs. u = 80^(∘). Vi vet också att vinklarna u och w tillsammans ska vara 140^(∘), vilket ger w = 140^(∘) - 80^(∘) = 60^(∘). Nu kan vi använda randvinkelsatsen åt andra hållet för att bestämma v. Den är en randvinkel på samma cirkelbåge som medelpunktsvinkel w, vilket betyder att den är hälften så stor: v = 60^(∘)/2 = 30^(∘). Den okända vinkeln v är alltså 30^(∘).

I cirkeln finns medelpunktsvinklar och randvinklar för två olika cirkelbågar. Vi börjar med den vinkel vi vet mest om, dvs. ∧ DME som är 4x+20^(∘). Eftersom randvinkeln ∧ DFE står på samma cirkelbåge (blå) vet vi enligt randvinkelsatsen att den måste vara hälften av 4x+20^(∘), alltså 2x+10^(∘).

Dessutom vet vi att ∧ BMC=∧ DFE, vilket innebär att den gröna medelpunktsvinkeln ∧ BMC är lika stor som den blå randvinkeln ∧ DFE, alltså 2x+10 ^(∘). Genom att använda randvinkelsatsen igen vet vi då att den gröna randvinkeln ∧ BAC måste vara hälften av detta, dvs. x+5^(∘).

Nu har vi uttryck för alla vinklar: &∧ DME=4x+20^(∘) &∧ DFE = 2x+10^(∘) &∧ BMC = 2x+10^(∘) &∧ BAC = x+5^(∘). Vi vet att summan av dessa ska vara 270^(∘). Detta ger oss en ekvation ur vilken vi kan lösa ut x.

Nu när vi vet att x=25 ^(∘) kan vi sätta in detta i uttrycken för vinklarna: &∧ DME=4 * 25 ^(∘)+20^(∘) = 120^(∘) &∧ DFE = 2 * 25 ^(∘)+10^(∘)= 60 ^(∘) &∧ BMC = 2* 25 ^(∘)+10^(∘)= 60 ^(∘) &∧ BAC = 25 ^(∘)+5^(∘)=30^(∘).