Randvinkelsatsen

Begrepp

Medelpunktsvinkel

I en cirkel bildas en medelpunktsvinkel mellan två radier. Både $u$ och $v$ är medelpunktsvinklar.

Begrepp

Randvinkel

Två linjer som dras från en cirkelbåges ändpunkter och möts i en tredje punkt på cirkelns rand bildar en randvinkel. De tre gröna vinklarna är randvinklar.

Enligt en av följdsatserna till randvinkelsatsen är randvinklar till samma cirkelbåge lika stora.

Bestäm vinklarna med randvinkelsatsen

Uppgift

Bestäm vinklarna $u$ och $v.$

cirkel med två randvinklar och en medelpunktsvinkel

Lösning

Vinkeln $v$ och $49^\circ$ -vinkeln är randvinklar till samma cirkelbåge.

Det betyder att de är lika stora, så $v=49^\circ.$ Medelpunktsvinkeln $u$ spänner upp samma cirkelbåge som randvinklarna.

Enligt randvinkelsatsen är medelpunktsvinkeln dubbelt så stor som randvinkeln för samma cirkelbåge. Det betyder att $u=2\cdot49^\circ=98^\circ.$

Visa lösning

Regel

Följder av randvinkelsatsen

Från randvinkelsatsen följer några andra samband som kan vara bra att känna till.

Regel

Första följdsatsen

Randvinklar som spänner upp samma cirkelbåge är lika stora oavsett var de placeras.

Regel

Andra följdsatsen

En randvinkel som dras från två ändpunkter av en diameter, dvs. som spänner upp en halvcirkelbåge, är alltid rät.

Regel

Tredje följdsatsen

För en fyrhörning inskriven i en cirkel, dvs. hörnen ligger på cirkelns rand, är summan av motstående vinklar $\mathbf{180^\circ}.$

Bestäm vinklarna i fyrhörningen

Uppgift

I den inskrivna fyrhörningen $ABCD$ är vinkeln $ABC$ $105^\circ.$ Bestäm fyrhörningens övriga vinklar.

Lösning

Vinkeln vid hörn $A$ är randvinkel till en halvcirkel eftersom sträckan $BD$ är diameter. Det betyder att vinkel $A$ är $90^\circ$ enligt en av följdsatserna till randvinkelsatsen.

$\wedge BCD$ är också rät eftersom den är randvinkel på den andra halvcirkeln.

Vi vet också att $\wedge ABC$ är $105^\circ.$

$\wedge ADC$ och $\wedge ABC$ är motstående vinklar i en fyrhörning som är inskriven i en cirkel. Enligt en av följdsatserna till randvinkelsatsen innebär det att summan av dem är $180^\circ.$ Det ger $\wedge ADC+105^\circ=180^\circ \quad \Leftrightarrow \quad \wedge ADC=75^\circ.$ Vinklarna i fyrhörningen är alltså $A=90 ^\circ, \quad B=105 ^\circ, \quad C=90 ^\circ, \quad D=75 ^\circ.$

Visa lösning

Bevis

Bevis för randvinkelsatsen

För att bevisa randvinkelsatsen delar man upp den i tre olika fall som bevisas separat.

Bevis
Fall 1

Det första fallet inträffar när ett av vinkelbenen till randvinkeln går igenom medelpunkten, vilket gör att det går genom ett av vinkelbenen till medelpunktsvinkeln. Detta innebär också att det vinkelbenet utgör en diameter i cirkeln.

Triangeln som skapas är likbent eftersom två av benen är radier. Det betyder att basvinklarna är lika stora. Yttervinkelsatsen ger $u = v + v =2v.$

Bevis
Fall 2

I det andra fallet skär inte något av randvinkelns vinkelben något ben till medelpunktsvinkeln.

För att visa randvinkelsatsen för den här situationen ritar man in en diameter från randvinkeln som delar både den och medelpunktsvinkeln i två delvinklar.

Ser man den inlagda diametern som ett vinkelben både till randvinkeln och medelpunktsvinkeln kan man nu tolka denna nya figur som två exempel av fall 1. Beviset därifrån ger då att $u_1 = 2v_1 \quad \text{och} \quad u_2 = 2v_2.$

Den ursprungliga medelpunktsvinkeln

u

är summan av

u_1

och

u_2

och på samma sätt är

v = v_1 + v_2

. Detta används för att ta fram ett uttryck för

u.

u = u_1 + u_2

u_1={\color{#0000FF}{2v_1}}

,

u_2={\color{#009600}{2v_2}}

u = {\color{#0000FF}{2v_1}} + {\color{#009600}{2v_2}}

Bryt ut

2

u = 2(v_1 + v_2)

v_1 + v_2={\color{#0000FF}{v}}

u = 2{\color{#0000FF}{v}}

Bevis
Fall 3

Det sista fallet som behöver undersökas är när ett av randvinkelns vinkelben skär ett av medelpunktsvinkelns ben.

På samma sätt som i förra fallet ritas en diameter in från randvinkeln. Denna gång delar den dock inte vinklarna, utan skapar nya rand- och medelpunktsvinklar, varav ett par är större än de ursprungliga.

Sambandet från fall 1 kan nu användas igen: $u_1 = 2v_1 \quad \text{och} \quad u_2 = 2v_2.$ Vinkeln $v_1$ (blå) kan nu skrivas som summan av $v_2$ (röd) och randvinkeln $v$ (grön), dvs. $v_1=v+v_2,$ vilket betyder att $v=v_1-v_2.$