Minispelare aktiv
Två linjer som dras från en cirkelbåges ändpunkter och möts i en tredje punkt på cirkelns rand bildar en randvinkel. De tre gröna vinklarna är randvinklar.
Medelpunktsvinkeln u och randvinkeln v spänner upp samma cirkelbåge.
Enligt randvinkelsatsen är då u dubbelt så stor som v.
u=2v
Bestäm vinklarna u och v.
Vinkeln v och 49∘-vinkeln är randvinklar till samma cirkelbåge.
Det betyder att de är lika stora, så v=49∘. Medelpunktsvinkeln u spänner upp samma cirkelbåge som randvinklarna.
Enligt randvinkelsatsen är medelpunktsvinkeln dubbelt så stor som randvinkeln för samma cirkelbåge. Det betyder att u=2⋅49∘=98∘.
Från randvinkelsatsen följer några andra samband som kan vara bra att känna till.
Randvinklar som spänner upp samma cirkelbåge är lika stora oavsett var de placeras.
En randvinkel som dras från två ändpunkter av en diameter, dvs. som spänner upp en halvcirkelbåge, är alltid rät.
För en fyrhörning inskriven i en cirkel, dvs. hörnen ligger på cirkelns rand, är summan av motstående vinklar 180∘.
I den inskrivna fyrhörningen ABCD är vinkeln ABC 105∘. Bestäm fyrhörningens övriga vinklar.
Vinkeln vid hörn A är randvinkel till en halvcirkel eftersom sträckan BD är diameter. Det betyder att vinkel A är 90∘ enligt en av följdsatserna till randvinkelsatsen.
∧BCD är också rät eftersom den är randvinkel på den andra halvcirkeln.
Vi vet också att ∧ABC är 105∘.
∧ADC och ∧ABC är motstående vinklar i en fyrhörning som är inskriven i en cirkel. Enligt en av följdsatserna till randvinkelsatsen innebär det att summan av dem är 180∘. Det ger ∧ADC+105∘=180∘⇔∧ADC=75∘. Vinklarna i fyrhörningen är alltså A=90∘,B=105∘,C=90∘,D=75∘.
Det första fallet inträffar när ett av vinkelbenen till randvinkeln går igenom medelpunkten, vilket gör att det går genom ett av vinkelbenen till medelpunktsvinkeln. Detta innebär också att det vinkelbenet utgör en diameter i cirkeln.
Triangeln som skapas är likbent eftersom två av benen är radier. Det betyder att basvinklarna är lika stora. Yttervinkelsatsen ger u=v+v=2v.
I det andra fallet skär inte något av randvinkelns vinkelben något ben till medelpunktsvinkeln.
För att visa randvinkelsatsen för den här situationen ritar man in en diameter från randvinkeln som delar både den och medelpunktsvinkeln i två delvinklar.
Det sista fallet som behöver undersökas är när ett av randvinkelns vinkelben skär ett av medelpunktsvinkelns ben.
På samma sätt som i förra fallet ritas en diameter in från randvinkeln. Denna gång delar den dock inte vinklarna, utan skapar nya rand- och medelpunktsvinklar, varav ett par är större än de ursprungliga.
Sambandet från fall 1 kan nu användas igen: u1=2v1ochu2=2v2. Vinkeln v1(blå) kan nu skrivas som summan av v2(röd) och randvinkeln v (grön), dvs. v1=v+v2, vilket betyder att v=v1−v2.
Randvinkelsatsen gäller alltså för alla tre fall.