{{ 'ml-label-choose-chapter' | message }} {{ courseTrack.signature }} {{ 'ml-label-choose-course' | message }}

Klassisk geometri

Välj kurs
( Matte 2b , Matte 2c )
Klassisk geometri
Randvinkelsatsen

Randvinkelsatsen

{{ 'ml-heading-theory' | message }}
Begrepp

Medelpunktsvinkel

I en cirkel bildas en medelpunktsvinkel mellan två radier. Både uu och vv är medelpunktsvinklar.

cirkel med medelpunktsvinkel
Begrepp

Randvinkel

Två linjer som dras från en cirkelbåges ändpunkter och möts i en tredje punkt på cirkelns rand bildar en randvinkel. De tre gröna vinklarna är randvinklar.

cirkel med randvinklar och cirkelbåge
Enligt en av följdsatserna till randvinkelsatsen är randvinklar till samma cirkelbåge lika stora.
Regel

Randvinkelsatsen

Medelpunktsvinkeln uu och randvinkeln vv spänner upp samma cirkelbåge.

cirkel med medelpunkts- och randvinkel på samma cirkelbåge

Enligt randvinkelsatsen är då uu dubbelt så stor som vv.

u=2vu=2v

Sambandet gäller oavsett vilken randpunkt och cirkelbåge som väljs.
Satsen kan bevisas med yttervinkelsatsen och delas upp i tre fall beroende på hur linjerna som bildar randvinkeln har dragits.
Uppgift

Bestäm vinklarna uu och v.v.

cirkel med två randvinklar och en medelpunktsvinkel
Lösning

Vinkeln vv och 49∘49^\circ-vinkeln är randvinklar till samma cirkelbåge.

cirkel med två randvinklar

Det betyder att de är lika stora, så v=49∘.v=49^\circ. Medelpunktsvinkeln uu spänner upp samma cirkelbåge som randvinklarna.

cirkel med två randvinklar och en medelpunktsvinkel

Enligt randvinkelsatsen är medelpunktsvinkeln dubbelt så stor som randvinkeln för samma cirkelbåge. Det betyder att u=2⋅49∘=98∘. u=2\cdot49^\circ=98^\circ.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Följder av randvinkelsatsen

Från randvinkelsatsen följer några andra samband som kan vara bra att känna till.

Regel

Första följdsatsen

Randvinklar som spänner upp samma cirkelbåge är lika stora oavsett var de placeras.

Foljderavrandvinkelsatsen misc 1.svg
Regel

Andra följdsatsen

En randvinkel som dras från två ändpunkter av en diameter, dvs. som spänner upp en halvcirkelbåge, är alltid rät.

Foljderavrandvinkelsatsen misc 2.svg
Regel

Tredje följdsatsen

För en fyrhörning inskriven i en cirkel, dvs. hörnen ligger på cirkelns rand, är summan av motstående vinklar 180∘.\mathbf{180^\circ}.

Foljeravrandvinkelsatsen misc 3.svg
Uppgift

I den inskrivna fyrhörningen ABCDABCD är vinkeln ABCABC 105∘.105^\circ. Bestäm fyrhörningens övriga vinklar.

cirkel med inskriven fyrhörning
Lösning

Vinkeln vid hörn AA är randvinkel till en halvcirkel eftersom sträckan BDBD är diameter. Det betyder att vinkel AA är 90∘90^\circ enligt en av följdsatserna till randvinkelsatsen.

cirkel med inskriven fyrhörning och en rät vinkel

∧BCD\wedge BCD är också rät eftersom den är randvinkel på den andra halvcirkeln.

cirkel med inskriven fyrhörning med två rät vinklar

Vi vet också att ∧ABC\wedge ABC är 105∘.105^\circ.

cirkel med inskriven fyrhörning och två räta vinklar

∧ADC\wedge ADC och ∧ABC\wedge ABC är motstående vinklar i en fyrhörning som är inskriven i en cirkel. Enligt en av följdsatserna till randvinkelsatsen innebär det att summan av dem är 180∘.180^\circ. Det ger ∧ADC+105∘=180∘⇔∧ADC=75∘. \wedge ADC+105^\circ=180^\circ \quad \Leftrightarrow \quad \wedge ADC=75^\circ. Vinklarna i fyrhörningen är alltså A=90∘,B=105∘,C=90∘,D=75∘. A=90 ^\circ, \quad B=105 ^\circ, \quad C=90 ^\circ, \quad D=75 ^\circ.

Visa lösning Visa lösning
Bevis

Bevis för randvinkelsatsen

För att bevisa randvinkelsatsen delar man upp den i tre olika fall som bevisas separat.

Bevis
Fall 1

Det första fallet inträffar när ett av vinkelbenen till randvinkeln går igenom medelpunkten, vilket gör att det går genom ett av vinkelbenen till medelpunktsvinkeln. Detta innebär också att det vinkelbenet utgör en diameter i cirkeln.

cirkel med medelpunktsvinkel och likbent triangel

Triangeln som skapas är likbent eftersom två av benen är radier. Det betyder att basvinklarna är lika stora. Yttervinkelsatsen ger u=v+v=2v. u = v + v =2v.

Bevis
Fall 2

I det andra fallet skär inte något av randvinkelns vinkelben något ben till medelpunktsvinkeln.

cirkel med medelpunktsvinkel och randvinkel

För att visa randvinkelsatsen för den här situationen ritar man in en diameter från randvinkeln som delar både den och medelpunktsvinkeln i två delvinklar.

cirkel med två medelpunktsvinklar och två randvinklar
Ser man den inlagda diametern som ett vinkelben både till randvinkeln och medelpunktsvinkeln kan man nu tolka denna nya figur som två exempel av fall 1. Beviset därifrån ger då att u1=2v1ochu2=2v2. u_1 = 2v_1 \quad \text{och} \quad u_2 = 2v_2. Den ursprungliga medelpunktsvinkeln uu är summan av u1u_1 och u2u_2 och på samma sätt är v=v1+v2v = v_1 + v_2. Detta används för att ta fram ett uttryck för u.u.
u=u1+u2u = u_1 + u_2
u1=2v1u_1={\color{#0000FF}{2v_1}}, u2=2v2u_2={\color{#009600}{2v_2}}
u=2v1+2v2u = {\color{#0000FF}{2v_1}} + {\color{#009600}{2v_2}}
Bryt ut 22
u=2(v1+v2)u = 2(v_1 + v_2)
v1+v2=vv_1 + v_2={\color{#0000FF}{v}}
u=2vu = 2{\color{#0000FF}{v}}

Bevis
Fall 3

Det sista fallet som behöver undersökas är när ett av randvinkelns vinkelben skär ett av medelpunktsvinkelns ben.

cirkel med medelpunktsvinkel och randvinkel

På samma sätt som i förra fallet ritas en diameter in från randvinkeln. Denna gång delar den dock inte vinklarna, utan skapar nya rand- och medelpunktsvinklar, varav ett par är större än de ursprungliga.

två cirklar med randvinklar och medelpunktsvinklar

Sambandet från fall 1 kan nu användas igen: u1=2v1ochu2=2v2. u_1 = 2v_1 \quad \text{och} \quad u_2 = 2v_2. Vinkeln v1v_1(blå) kan nu skrivas som summan av v2v_2(röd) och randvinkeln vv (grön), dvs. v1=v+v2,v_1=v+v_2, vilket betyder att v=v1−v2.v=v_1-v_2.

cirkel med summan av två vinklar
På samma sätt är u=u1−u2.u=u_1-u_2. Detta används för att bevisa randvinkelsatsen även för detta fall.
u=u1−u2u = u_1 - u_2
u1=2v1u_1={\color{#0000FF}{2v_1}}, u2=2v2u_2={\color{#009600}{2v_2}}
u=2v1−2v2u = {\color{#0000FF}{2v_1}} - {\color{#009600}{2v_2}}
Bryt ut 22
u=2(v1−v2)u = 2(v_1 - v_2)
v1−v2=vv_1 - v_2={\color{#0000FF}{v}}
u=2vu = 2{\color{#0000FF}{v}}

Randvinkelsatsen gäller alltså för alla tre fall.

Q.E.D.

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace {{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}