mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
Expandera meny menu_open Minimera
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
Klassisk geometri

Randvinkelsatsen


Videolektion

Mathleaks

play_circle_filled
play_circle_filled
picture_in_picture_alt

Minispelare aktiv

Begrepp

Medelpunktsvinkel

I en cirkel bildas en medelpunktsvinkel mellan två radier. Både och är medelpunktsvinklar.

cirkel med medelpunktsvinkel
Begrepp

Randvinkel

Två linjer som dras från en cirkelbåges ändpunkter och möts i en tredje punkt på cirkelns rand bildar en randvinkel. De tre gröna vinklarna är randvinklar.

cirkel med randvinklar och cirkelbåge
Enligt en av följdsatserna till randvinkelsatsen är randvinklar till samma cirkelbåge lika stora.
Regel

Randvinkelsatsen

Medelpunktsvinkeln och randvinkeln spänner upp samma cirkelbåge.

cirkel med medelpunkts- och randvinkel på samma cirkelbåge

Enligt randvinkelsatsen är då dubbelt så stor som .

Sambandet gäller oavsett vilken randpunkt och cirkelbåge som väljs.
Satsen kan bevisas med yttervinkelsatsen och delas upp i tre fall beroende på hur linjerna som bildar randvinkeln har dragits.
fullscreen
Uppgift

Bestäm vinklarna och

cirkel med två randvinklar och en medelpunktsvinkel
Visa Lösning
Lösning

Vinkeln och -vinkeln är randvinklar till samma cirkelbåge.

cirkel med två randvinklar

Det betyder att de är lika stora, så Medelpunktsvinkeln spänner upp samma cirkelbåge som randvinklarna.

cirkel med två randvinklar och en medelpunktsvinkel

Enligt randvinkelsatsen är medelpunktsvinkeln dubbelt så stor som randvinkeln för samma cirkelbåge. Det betyder att

Regel

Följder av randvinkelsatsen

Från randvinkelsatsen följer några andra samband som kan vara bra att känna till.

Regel

Första följdsatsen

Randvinklar som spänner upp samma cirkelbåge är lika stora oavsett var de placeras.

Foljderavrandvinkelsatsen misc 1.svg
Regel

Andra följdsatsen

En randvinkel som dras från två ändpunkter av en diameter, dvs. som spänner upp en halvcirkelbåge, är alltid rät.

Foljderavrandvinkelsatsen misc 2.svg
Regel

Tredje följdsatsen

För en fyrhörning inskriven i en cirkel, dvs. hörnen ligger på cirkelns rand, är summan av motstående vinklar

Foljeravrandvinkelsatsen misc 3.svg
fullscreen
Uppgift

I den inskrivna fyrhörningen är vinkeln Bestäm fyrhörningens övriga vinklar.

cirkel med inskriven fyrhörning
Visa Lösning
Lösning

Vinkeln vid hörn är randvinkel till en halvcirkel eftersom sträckan är diameter. Det betyder att vinkel är enligt en av följdsatserna till randvinkelsatsen.

cirkel med inskriven fyrhörning och en rät vinkel

är också rät eftersom den är randvinkel på den andra halvcirkeln.

cirkel med inskriven fyrhörning med två rät vinklar

Vi vet också att är

cirkel med inskriven fyrhörning och två räta vinklar

och är motstående vinklar i en fyrhörning som är inskriven i en cirkel. Enligt en av följdsatserna till randvinkelsatsen innebär det att summan av dem är Det ger Vinklarna i fyrhörningen är alltså

Bevis

Bevis för randvinkelsatsen

För att bevisa randvinkelsatsen delar man upp den i tre olika fall som bevisas separat.

Bevis

Fall 1

Det första fallet inträffar när ett av vinkelbenen till randvinkeln går igenom medelpunkten, vilket gör att det går genom ett av vinkelbenen till medelpunktsvinkeln. Detta innebär också att det vinkelbenet utgör en diameter i cirkeln.

cirkel med medelpunktsvinkel och likbent triangel

Triangeln som skapas är likbent eftersom två av benen är radier. Det betyder att basvinklarna är lika stora. Yttervinkelsatsen ger

Bevis

Fall 2

I det andra fallet skär inte något av randvinkelns vinkelben något ben till medelpunktsvinkeln.

cirkel med medelpunktsvinkel och randvinkel

För att visa randvinkelsatsen för den här situationen ritar man in en diameter från randvinkeln som delar både den och medelpunktsvinkeln i två delvinklar.

cirkel med två medelpunktsvinklar och två randvinklar
Ser man den inlagda diametern som ett vinkelben både till randvinkeln och medelpunktsvinkeln kan man nu tolka denna nya figur som två exempel av fall 1. Beviset därifrån ger då att Den ursprungliga medelpunktsvinkeln är summan av och och på samma sätt är . Detta används för att ta fram ett uttryck för

Bevis

Fall 3

Det sista fallet som behöver undersökas är när ett av randvinkelns vinkelben skär ett av medelpunktsvinkelns ben.

cirkel med medelpunktsvinkel och randvinkel

På samma sätt som i förra fallet ritas en diameter in från randvinkeln. Denna gång delar den dock inte vinklarna, utan skapar nya rand- och medelpunktsvinklar, varav ett par är större än de ursprungliga.

två cirklar med randvinklar och medelpunktsvinklar

Sambandet från fall 1 kan nu användas igen: Vinkeln (blå) kan nu skrivas som summan av (röd) och randvinkeln (grön), dvs. vilket betyder att

cirkel med summan av två vinklar
På samma sätt är Detta används för att bevisa randvinkelsatsen även för detta fall.

Randvinkelsatsen gäller alltså för alla tre fall.

Q.E.D.
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward