Randvinkelsatsen

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Medelpunktsvinkel

I en cirkel bildas en medelpunktsvinkel mellan två radier. Både uu och vv är medelpunktsvinklar.

cirkel med medelpunktsvinkel
Begrepp

Randvinkel

Två linjer som dras från en cirkelbåges ändpunkter och möts i en tredje punkt på cirkelns rand bildar en randvinkel. De tre gröna vinklarna är randvinklar.

cirkel med randvinklar och cirkelbåge
Enligt en av följdsatserna till randvinkelsatsen är randvinklar till samma cirkelbåge lika stora.
Uppgift

Bestäm vinklarna uu och v.v.

cirkel med två randvinklar och en medelpunktsvinkel
Visa lösning Visa lösning
Regel

Följder av randvinkelsatsen

Från randvinkelsatsen följer några andra samband som kan vara bra att känna till.

Regel

Första följdsatsen

Randvinklar som spänner upp samma cirkelbåge är lika stora oavsett var de placeras.

Foljderavrandvinkelsatsen misc 1.svg
Regel

Andra följdsatsen

En randvinkel som dras från två ändpunkter av en diameter, dvs. som spänner upp en halvcirkelbåge, är alltid rät.

Foljderavrandvinkelsatsen misc 2.svg
Regel

Tredje följdsatsen

För en fyrhörning inskriven i en cirkel, dvs. hörnen ligger på cirkelns rand, är summan av motstående vinklar 180.\mathbf{180^\circ}.

Foljeravrandvinkelsatsen misc 3.svg
Uppgift

I den inskrivna fyrhörningen ABCDABCD är vinkeln ABCABC 105.105^\circ. Bestäm fyrhörningens övriga vinklar.

cirkel med inskriven fyrhörning
Visa lösning Visa lösning
Bevis

Bevis för randvinkelsatsen

För att bevisa randvinkelsatsen delar man upp den i tre olika fall som bevisas separat.

Bevis

Fall 1

Bevis

Fall 2

Bevis

Fall 3

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm de okända vinklarna.

a
b
c
1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Triangeln ABCABC har skrivits in i en cirkel.

Triangel inskriven i cirkel med markerade vinklar

Markera cirkelbågarna som dessa randvinklar spänner upp.

a

ABC\wedge ABC

b

CAB\wedge CAB

c

BCA\wedge BCA

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm de okända vinklarna x,y,zx,\, y, \, z och u.u.

fyra randvinklar och en medelpunktsvinkel på samma cirkelbåge i en cirkel
1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm vinklarna vv och w.w.

randvinklar i en cirkel
1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hur stor är vinkeln vv?

halvcirkel med randvinkel
1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm de okända vinklarna i fyrhörningen.

fyrhörning inskriven i en cirkel
1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm de okända vinklarna.

a
Medelpunktsvinkel och randvinkel i cirkel
b
c
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm alla vinklar i triangeln som är inskriven i cirkeln.

Cirkel med inskriven triangel där hypotenusan utgör diametern
2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm de okända vinklarna xx och yy i figuren.

fyrhörning inskriven i en cirkel med utsatt medelpunktsvinkel
2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm vinkeln v.v.

Halvcirkel med randvinkel och medelpunktsvinkel
2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm vinkeln v.v.

Triangel inskriven i en cirkel tillsammans med en randvinkel
2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Punkterna A,A, BB och CC ligger på en cirkel. OO är cirkelns medelpunkt. Bestäm vinklarna i triangeln ABC.ABC.

NP MaB vt 02 uppgift 7
Nationella provet VT02 MaB
2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm vinkeln v.v.

Cirkel med randvinklar och en medelpunktsvinkel
2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För vinklarna i figuren gäller att BMC=DFE.\wedge BMC=\wedge DFE. Du vet också att DME=4x+20\wedge DME=4x+20^\circ och att summan av alla markerade vinklar är 270.270 ^\circ. Bestäm samtliga markerade vinklar i figuren.

Cirkel med två medelpunktsvinklar och två randvinklar
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En cirkel har de tre punkterna A,A, BB och CC på sin rand som tillsammans bildar en likbent triangel. Bestäm vilka vinklar triangeln kan ha givet att AMB=64,\wedge AMB = 64^\circ, där MM är cirkelns mittpunkt.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I figuren tangerar sträckorna ABAB och BCBC cirkeln, vilket innebär att sträckorna precis nuddar cirkelranden. Om man drar radier till tangeringspunkterna förhåller sig dessa vinkelräta mot sträckorna ABAB och ACAC. Bestäm vinklarna xx och 2x2x med hjälp av denna information.

Cirkel med randvinkel och tangenter
3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Thales från Miletos var en grekisk matematiker som levde för 26002600 år sedan. Han formulerade en sats med följande innebörd:

Varje triangel som är inskriven i en cirkel har en rät vinkel om en av triangelns sidor är diameter i cirkeln.

Triangeln ABCABC är inskriven i en cirkel på ett sådant sätt. Sidan ACAC är en diameter i cirkeln. Punkten MM är mittpunkt på sträckan AC.AC. I figuren är även sträckan BMBM inritad.

Rätvinklig triangel inskriven i en cirkel


a

Förklara varför de två vinklarna betecknade med xx är lika stora.

b

Visa, utan att använda randvinkelsatsen, att Thales sats är korrekt.

Nationella provet VT12 2b/2c
3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm en formel som visar hur vinkeln bb beror av vinkeln a.a.

fyrhörning inuti en cirkel
3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Linjen LL tangerar en cirkel i punkten TT. MM är cirkelns medelpunkt. Vinkeln mellan cirkelns diameter QTQT och linjen LL är 9090^\circ. En triangel PSTPST ligger i cirkeln med alla hörnen på cirkelns rand. Se figur.

a

Hur stor är vinkeln yy då vinkeln xx är 56?56^\circ?

b

Om punkterna PP och SS flyttas längs cirkelns rand kommer vinklarna xx och yy att variera. För xx gäller 0<x<90.0^\circ<x<90^\circ. Bestäm sambandet mellan vinklarna xx och y.y.

Nationella provet VT11 MaB
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}