{{ option.label }} add
menu_book {{ printedBook.name}}
arrow_left {{ state.menu.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
arrow_left {{ state.menu.current.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
Mathleaks
Använd offline
Expandera meny menu_open
Klassisk geometri

Randvinkelsatsen

{{ 'ml-article-collection-answers-hints-solutions' | message }}
tune
{{ topic.label }}
{{tool}}
{{ result.displayTitle }}
{{ result.subject.displayTitle }}
navigate_next

Kanaler

Direktmeddelanden


Videolektion

Mathleaks

play_circle_filled
play_circle_filled
picture_in_picture_alt

Minispelare aktiv

Begrepp

Medelpunktsvinkel

I en cirkel bildas en medelpunktsvinkel mellan två radier. Både u och v är medelpunktsvinklar.

cirkel med medelpunktsvinkel

Begrepp

Randvinkel

Två linjer som dras från en cirkelbåges ändpunkter och möts i en tredje punkt på cirkelns rand bildar en randvinkel. De tre gröna vinklarna är randvinklar.

cirkel med randvinklar och cirkelbåge
Enligt en av följdsatserna till randvinkelsatsen är randvinklar till samma cirkelbåge lika stora.

Regel

Randvinkelsatsen

Medelpunktsvinkeln u och randvinkeln v spänner upp samma cirkelbåge.

cirkel med medelpunkts- och randvinkel på samma cirkelbåge

Enligt randvinkelsatsen är då u dubbelt så stor som v.

u=2v

Sambandet gäller oavsett vilken randpunkt och cirkelbåge som väljs.
Satsen kan bevisas med yttervinkelsatsen och delas upp i tre fall beroende på hur linjerna som bildar randvinkeln har dragits.

Exempel

Bestäm vinklarna med randvinkelsatsen

fullscreen

Bestäm vinklarna u och v.

cirkel med två randvinklar och en medelpunktsvinkel
Visa Lösning expand_more

Vinkeln v och -vinkeln är randvinklar till samma cirkelbåge.

cirkel med två randvinklar

Det betyder att de är lika stora, så Medelpunktsvinkeln u spänner upp samma cirkelbåge som randvinklarna.

cirkel med två randvinklar och en medelpunktsvinkel
Enligt randvinkelsatsen är medelpunktsvinkeln dubbelt så stor som randvinkeln för samma cirkelbåge. Det betyder att

Regel

Följder av randvinkelsatsen

Från randvinkelsatsen följer några andra samband som kan vara bra att känna till.

Regel

Första följdsatsen

Randvinklar som spänner upp samma cirkelbåge är lika stora oavsett var de placeras.
Foljderavrandvinkelsatsen misc 1.svg

Regel

Andra följdsatsen

En randvinkel som dras från två ändpunkter av en diameter, dvs. som spänner upp en halvcirkelbåge, är alltid rät.
Foljderavrandvinkelsatsen misc 2.svg

Regel

Tredje följdsatsen

För en fyrhörning inskriven i en cirkel, dvs. hörnen ligger på cirkelns rand, är summan av motstående vinklar

Foljeravrandvinkelsatsen misc 3.svg

Exempel

Bestäm vinklarna i fyrhörningen

fullscreen

I den inskrivna fyrhörningen ABCD är vinkeln ABC Bestäm fyrhörningens övriga vinklar.

cirkel med inskriven fyrhörning
Visa Lösning expand_more

Vinkeln vid hörn A är randvinkel till en halvcirkel eftersom sträckan BD är diameter. Det betyder att vinkel A är enligt en av följdsatserna till randvinkelsatsen.

cirkel med inskriven fyrhörning och en rät vinkel

är också rät eftersom den är randvinkel på den andra halvcirkeln.

cirkel med inskriven fyrhörning med två rät vinklar

Vi vet också att är

cirkel med inskriven fyrhörning och två räta vinklar
och är motstående vinklar i en fyrhörning som är inskriven i en cirkel. Enligt en av följdsatserna till randvinkelsatsen innebär det att summan av dem är Det ger
Vinklarna i fyrhörningen är alltså

Bevis

Bevis för randvinkelsatsen

För att bevisa randvinkelsatsen delar man upp den i tre olika fall som bevisas separat.

Bevis

Fall 1

Det första fallet inträffar när ett av vinkelbenen till randvinkeln går igenom medelpunkten, vilket gör att det går genom ett av vinkelbenen till medelpunktsvinkeln. Detta innebär också att det vinkelbenet utgör en diameter i cirkeln.

cirkel med medelpunktsvinkel och likbent triangel
Triangeln som skapas är likbent eftersom två av benen är radier. Det betyder att basvinklarna är lika stora. Yttervinkelsatsen ger
u=v+v=2v.

Bevis

Fall 2

I det andra fallet skär inte något av randvinkelns vinkelben något ben till medelpunktsvinkeln.

cirkel med medelpunktsvinkel och randvinkel

För att visa randvinkelsatsen för den här situationen ritar man in en diameter från randvinkeln som delar både den och medelpunktsvinkeln i två delvinklar.

cirkel med två medelpunktsvinklar och två randvinklar
Ser man den inlagda diametern som ett vinkelben både till randvinkeln och medelpunktsvinkeln kan man nu tolka denna nya figur som två exempel av fall 1. Beviset därifrån ger då att
Den ursprungliga medelpunktsvinkeln u är summan av u1 och u2 och på samma sätt är v=v1+v2. Detta används för att ta fram ett uttryck för u.
u=u1+u2
u=2v1+2v2
u=2(v1+v2)
u=2v

Bevis

Fall 3

Det sista fallet som behöver undersökas är när ett av randvinkelns vinkelben skär ett av medelpunktsvinkelns ben.

cirkel med medelpunktsvinkel och randvinkel

På samma sätt som i förra fallet ritas en diameter in från randvinkeln. Denna gång delar den dock inte vinklarna, utan skapar nya rand- och medelpunktsvinklar, varav ett par är större än de ursprungliga.

två cirklar med randvinklar och medelpunktsvinklar
Sambandet från fall 1 kan nu användas igen:
Vinkeln v1(blå) kan nu skrivas som summan av v2(röd) och randvinkeln v (grön), dvs. v1=v+v2, vilket betyder att v=v1v2.
cirkel med summan av två vinklar
På samma sätt är u=u1u2. Detta används för att bevisa randvinkelsatsen även för detta fall.
u=u1u2
u=2v12v2
u=2(v1v2)
u=2v

Randvinkelsatsen gäller alltså för alla tre fall.

Q.E.D.
arrow_left
arrow_right
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward
arrow_left arrow_right
close
Community