Randvinkelsatsen

Den kända vinkeln 55^(∘) är en randvinkel eftersom spetsen på vinkeln är vid cirkelns rand. Den okända vinkeln v är en medelpunktsvinkel eftersom den har sin spets i cirkelns mitt. Båda dessa vinklar spänner upp samma cirkelbåge.

Om vi har en randvinkel och en medelpunktsvinkel som spänner upp samma cirkelbåge innebär det att vi kan använda randvinkelsatsen. Det innebär att v är dubbelt så stor som 55^(∘), dvs. v = 2* 55 = 110^(∘).

Den här gången är det en medelpunktsvinkel som är känd och en randvinkel som är okänd. Både medelpunktsvinkeln 150^(∘) och randvinkeln v spänner upp samma cirkelbåge, så det går bra att använda randvinkelsatsen här också.

Enligt randvinkelsatsen är medelpunktsvinkeln dubbelt så stor som medelpunktsvinkeln, så omvänt måste v vara hälften så stor som 150^(∘). Då får vi v = 150^(∘)2 = 75^(∘).

Här har vi en randvinkel som är 45^(∘).

Medelpunktsvinkeln som spänner upp samma cirkelbåge blir därför dubbelt så stor: 90^(∘).

När en vinkel är skriven som ∧ ABC menar man den vinkel som skapas när man går från punkten A till B och vidare till C. I det här fallet är det alltså den vinkel som finns vid triangelns hörn B.

Detta är en randvinkel eftersom vinkelspetsen ligger på cirkelranden. Vi kan avgöra vilken cirkelbåge den spänner upp genom att följa vinkelbenen bort från punkten B ut till punkterna A och C. Den uppspända cirkelbågen är den delen av cirkeln som finns mellan A och C, motstående vinkeln i B.

Vi tänker på samma sätt för vinkeln ∧ CAB. Den måste finnas i punkten A och om man följer vinkelbenen ut hamnar man i punkterna C och B. Cirkelbågen går alltså från punkt C till punkt B, motstående vinkeln i A.

Till sist gör vi samma sak för vinkeln ∧ BCA, som finns i punkten C och har vinkelben som går ut till punkterna B och A. Cirkelbågen som vinkeln spänner upp går mellan dessa punkter, motstående vinkeln i C.

Från figuren ser vi att de gröna vinklarna är randvinklar till samma cirkelbåge och som en följd av randvinkelsatsen är de då lika stora så x, y och z är 60^(∘).

Vinkeln 50^(∘) och v är randvinklar till samma cirkelbåge. En följd till randvinkelsatsen är att alla randvinklar på samma cirkelbåge är lika stora, så v=50^(∘).

Vi kan tänka oss att halvcirkelbågen är del av en hel cirkel. Vi ser i figuren att medelpunktsvinkeln är 180^(∘) eftersom den är ett halvt varv.

Enligt randvinkelsatsen kan vi då konstatera att randvinkeln v är hälften så stor som medelpunktsvinkeln, dvs. v=180/2=90^(∘).

Vi hade även kunnat använda den av följdsatserna till randvinkelsatsen som säger att en randvinkel som står på en halvcirkelbåge är alltid rät, dvs. 90 ^(∘).

Vi använder följdsatsen till randvinkelsatsen som säger att summan av motstående vinklar för en fyrhörning inskriven i en cirkel är 180^(∘). 17x och 19x är motstående vinklar så vi kan ställa upp en ekvation.

Om x är 5^(∘) så måste 17x och 19x vara 17* 5^(∘)=85^(∘) och 19* 5^(∘)=95 ^(∘).

Figuren ser kanske lite annorlunda ut jämfört med vad vi är vana vid, men vad som är utritat är en medelpunktsvinkel och en randvinkel som spänner upp samma cirkelbåge. Den hamnar mellan vinkelbenen, motsatt vinkeln.

Eftersom de står på samma cirkelbåge kan vi använda randvinkelsatsen, som säger att medelpunktsvinkeln kommer att vara dubbelt så stor som randvinkeln: v = 2*100^(∘) = 200^(∘).

Vinklarna är ännu större i det här fallet, men situationen är precis likadan som i förra uppgiften. Samma cirkelbåge spänns upp av både medelpunktsvinkeln och randvinkeln.

Vi kan alltså använda randvinkelsatsen, som säger att randvinkeln kommer att vara hälften så stor som medelpunktsvinkeln. Den blir då v = 270^(∘)/2 = 135^(∘).

I den sista uppgiften måste man vara försiktig, eftersom de två markerade vinklarna inte spänner upp samma cirkelbåge. Den röda randvinkeln står på den röda cirkelbågen eftersom det är den som är på motsatt sida om vinkeln, medan medelpunktsvinkeln spänner upp den gröna cirkelbågen.

För att bestämma v med randvinkelsatsen måste vi hitta den medelpunktsvinkel som är på andra sidan medelpunkten jämfört med den som är 154^(∘). Runt medelpunkten är det ett helt varv, alltså 360^(∘), vilket ger att medelpunktsvinkeln till den röda cirkelbågen är 360^(∘) - 154^(∘) = 206^(∘). Vi får då en situation som är likadan som i deluppgift b.

Enligt randvinkelsatsen ska v vara hälften så stor som 206^(∘), alltså v = 206^(∘)/2 = 103^(∘).

Vi blir ombedda att hitta måttet av ∧ G. Låt oss betrakta det givna diagrammet.

Först måste vi hitta måttet av bågen FD som fångas upp av ∧ G. Summan av alla bågar i en cirkel är lika med 360^(∘), så vi kan skriva följande ekvation. mFD+mFG+mGD=360^(∘) Låt oss ersätta mFG med 70^(∘) och mGD med 120^(∘) och beräkna mFD.

Nu kan vi använda denna information för att hitta måttet av ∧ G. Låt oss komma ihåg vad satsen om måttet av en inskriven vinkel säger.

Satsen om måttet av en inskriven vinkel |-Måttet av en inskriven vinkel är hälften av måttet av dess uppfångade båge.

Enligt denna sats är måttet av ∧ G hälften av måttet av dess uppfångade båge FD. m∧ G=170^(∘)/2=85^(∘) Därför mäter ∧ G=85^(∘).