2. Räkna med komplexa tal
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 2
2.
Räkna med komplexa tal
Innehållet fokuserar på det matematiska begreppet komplexa tal. Det förklarar hur man utför olika operationer med komplexa tal, såsom addition, subtraktion, multiplikation och division. Metoderna för att förenkla komplexa uttryck beskrivs, inklusive användning av reella och imaginära delar. Exempel ges för att demonstrera hur man beräknar summan, produkten och kvoten av komplexa tal. Division av komplexa tal förklaras med hjälp av begreppet komplexa konjugat, och multiplikation av komplexa tal illustreras med multiplikationsregler. Innehållet är utformat för att hjälpa studenter att förstå komplexa tal och tillämpa dem i matematiska beräkningar.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 3 sidor teori |
| | 13 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Räkna med komplexa tal
Sida av 3
Regel
Addera, subtrahera och multiplicera komplexa tal
Många av de regler man använder vid beräkningar av reella tal, t.ex. de fyra räknesätten och prioriteringsreglerna, gäller även för komplexa tal. Eftersom ett komplext tal kan bestå av både en real- och imaginärdel kan även resultatet av en räkneoperation göra det. Exempelvis kan man beräkna
(1+5i)+(7−2i)
genom att addera real- och imaginärdelarna var för sig. Det betyder att summan blir
1+7+5i−2i=8+3i.
Vid multiplikation, t.ex. (5−i)(10+4i), gör man på samma sätt som för reella tal: alla termer i den ena parentesen multipliceras med alla termer i den andra. Om man då får termer som innehåller i2 kan dessa förenklas med sambandet i2=−1.Exempel
Förenkla det komplexa talet
3−8i−(−7+5i)+(9+2i)(4−11i)
och kontrollera svaret med räknare. Visa Lösning expand_more
Prioriteringsreglerna gäller även vid förenkling av komplexa tal, så vi börjar med multiplikationen. Vi multiplicerar alla termer i ena parentesen med alla termer i den andra och förenklar.
Nu fortsätter vi genom att ta bort parentesen och byta tecken.
Till sist adderar och subtraherar vi real- och imaginärdelarna var för sig.
Det komplexa talet är alltså 
3−8i−(−7+5i)+(9+2i)(4−11i)
ExpandPar
Multiplicera parenteser
3−8i−(−7+5i)+9⋅4−9⋅11i+2i⋅4−2i⋅11i
Multiply
Multiplicera faktorer
3−8i−(−7+5i)+36−99i+8i−22i2
IDefPow
i2=−1
3−8i−(−7+5i)+36−99i+8i−22(−1)
Multiply
Multiplicera faktorer
3−8i−(−7+5i)+36−99i+8i+22
68−104i.
När vi sedan gör samma förenkling på räknaren skriver vi i genom att trycka på 2:nd + ∙. Räknaren måste dessutom vara inställd på att räkna med komplexa tal. Metod
Dividera komplexa tal
När man beräknar kvoten av två komplexa tal, t.ex.
1−2i5+10i,
använder man att ett bråk kan förlängas utan att dess värde förändras. Genom att förlänga med nämnarens komplexkonjugat får man ett reellt tal i nämnaren. 1
Förläng med nämnarens komplexkonjugat
expand_more Man börjar med att förlänga med nämnarens komplexkonjugat. I det här fallet är nämnaren 1−2i, så man förlänger med 1+2i.
1−2i5+10i=(1−2i)(1+2i)(5+10i)(1+2i)
2
Förenkla täljare och nämnare
expand_more Man fortsätter sedan med att förenkla täljaren och nämnaren så långt det går, vilket i det här fallet betyder att man multiplicerar ihop parenteserna. Notera att konjugatregeln kan användas i nämnaren och att det leder till att imaginärdelarna förenklas bort.
(1−2i)(1+2i)(5+10i)(1+2i)
ExpandPar
Multiplicera parenteser
(1−2i)(1+2i)5⋅1+5⋅2i+10i⋅1+10i⋅2i
Multiply
Multiplicera faktorer
(1−2i)(1+2i)5+10i+10i+20i2
IDefPow
i2=−1
(1−2i)(1+2i)5+10i+10i+20(−1)
Multiply
Multiplicera faktorer
(1−2i)(1+2i)5+10i+10i−20
AddSubTerms
Addera och subtrahera termer
(1−2i)(1+2i)−15+20i
ExpandDiffSquares
Utveckla med konjugatregeln
12−(2i)2−15+20i
PowProdII
(ab)c=acbc
12−22i2−15+20i
CalcPow
Beräkna potens
1−4i2−15+20i
IDefPow
i2=−1
1−4(−1)−15+20i
Multiply
Multiplicera faktorer
1+4−15+20i
AddTerms
Addera termer
5−15+20i
3
Beräkna kvoten
expand_more Nu står det bara ett reellt tal i nämnaren, vilket gör att termerna i täljaren går att dividera var för sig.
Räkna med komplexa tal
Övningar
Skriv uttrycket på så enkel form som möjligt.
1−i3+i+1+i3−i
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2"]}}
1+i3+i+1−i3−i
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["4"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att förlänga bråken med nämnarnas komplexkonjugat. Vi får då reella nämnare vid förenkling.
Vi fortsätter genom att förenkla bråken och adderar dem sedan.
Uttrycket kan alltså förenklas till 2.
Vi förenklar det här uttrycket på samma sätt som i förra deluppgiften.
Nu när nämnarna är reella tal fortsätter vi genom att förenkla och sedan addera bråken.
Uttrycket är alltså 4 när det skrivs på enklast form.
security
report
code
Givet att z=3+3i och w=7−2i, beräkna följande.
Im(zw)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["15"]}}
Re(w2)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["45"]}}
Im(zzˉ)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["0"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi ska beräkna imaginärdelen av zw. För att göra det multiplicerar vi först z och w. Vi kan sedan läsa av produktens imaginärdel.
Vi vet nu att produkten zw är 27 + 15i, och imaginärdelen kan läsas av som
Im(zw) = Im(27 + 15i) = 15.
Vi ska beräkna realdelen av w^2. Precis som i förra deluppgiften beräknar vi först w^2.
Vi vet nu att potensen w^2 har värdet 45 - 28i, vilket innebär att när vi nu beräknar Re(w^2) får vi
Re(w^2) = Re(45-28i) = 45.
Vi ska bestämma imaginärdelen av zz. Vi beräknar först zz för att sedan avgöra vad produktens imaginärdel är. Kom ihåg att z är komplexkonjugatet till z, alltså z = 3 - 3i.
Vi vet nu att produkten zz har värdet 18, vilket är helt reellt. Imaginärdelen blir alltså
Im(zz) = Im(18) = 0.
security
report
code
Lös ekvationen.
2⋅Re(z)+z=2+3i
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["i"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.04398em;\">z<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{2}{3} + 3i"]}}
−3⋅Im(z+2)−2z=2⋅Re(2z+3)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["i"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.04398em;\">z<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-1"]}}
security
report
code
security
report
code
Genom att sätta in z = a+bi i ekvationen kan den förenklas.
För att likheten ska gälla måste båda led ha samma realdel och imaginärdel. Därför kan ekvationen delas upp i två mindre.
Vi vet nu att för det komplexa talet z = a + bi är a = 23 och b = 3. Alltså löser z = 23 + 3i ekvationen.
Precis som i förra deluppgiften kan uttrycken förenklas genom att sätta in talet z = a+bi.
Realdelen av ett komplext uttryck är alla termer som saknar ett i, medan imaginärdelen är alla termer som har ett i — fast utan själva i:et.
Precis som i förra deluppgiften kan ekvationen nu delas upp i två mindre.
Vi kommer fram till att a = - 1 och b = 0, alltså z = - 1, löser ekvationen.
security
report
code
Avgör om påståendet är sant eller falskt för alla komplexa tal z.
Re(z)−Re(zˉ)=0
{"type":"choice","form":{"alts":["Sant","Falskt"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
Im(z)−Im(zˉ)=0
{"type":"choice","form":{"alts":["Sant","Falskt"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
{"type":"choice","form":{"alts":["Sant","Falskt"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
Eftersom vi ska avgöra påståendets giltighet för alla komplexa tal z utgår vi från att z generellt kan skrivas a + bi. Vi gör ersättningarna z = a + bi och z = a - bi och förenklar.
Vi har nu kommit fram till att VL = HL oavsett värden på a och b. Påståendet är alltså sant.
Vi avgör påståendets giltighet på samma sätt som i föregående deluppgift.
Denna likhet gäller bara då b = 0, dvs. för enbart reella tal. Dessa tillhör visserligen de komplexa talen, men utgör ju inte samtliga. Påståendet är därför falskt.
Vi börjar med att göra samma ersättningar som tidigare.
Nu ser vi att z + z är ekvivalent med 2a. Och eftersom a per definition är ett reellt tal måste även 2a vara det. Påståendet är alltså sant.
security
report
code
Räkna med komplexa tal
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll