Räkna med komplexa tal

Vi börjar med att förenkla uttrycket z + 2w och delar upp det i realdel och imaginärdel.

Vi kan nu läsa av real- och imaginärdelen: Re(z + 2w) & = 3 + 2a Im(z + 2w) & = 2 + 2b. För att z+2w ska vara rent imaginärt måste realdelen vara 0. Vi ställer upp detta tillsammans med den givna olikheten Im(z + 2w) < - 2 som ett villkorssystem och löser det sedan.

Vi kommer alltså fram till att om a = - 3/2 och b < - 2 så är kraven på uttrycket z + 2w uppfyllda.

Vi börjar den här lösningen på samma sätt som i föregående deluppgift.

Vi läser av real- och imaginärdelen: Re(z * w) &= 3a - 2b Im(z * w) &= 3b + 2a. För att uttrycket ska vara ett reellt tal måste imaginärdelen vara 0. Att detta tal ska vara större än eller lika med 3 innebär att Re(z * w) ≥ 3. Vi ställer upp och löser detta som ett villkorssystem.

Vi har nu kommit fram till att om b ≤ - 6/13 och a = - 3b/2 så är uttrycket z * w ett reellt tal större än eller lika med 3.

Vi skriver z som det allmänna komplexa talet z = a + bi, där a och b är reella. Vänsterledet Re(z) är realdelen a, vilket är ett väldigt simpelt uttryck. Därför väljer vi att börja i högerledet och ser om det kan förenklas till a, dvs. Re(z).

Vi har nu lyckats visa att likheten stämmer för alla komplexa tal z.

Vi skriver z och w som de allmänna komplexa talen z = a + bi och w = c + di, där a, b, c och d alla är reella tal. Vi börjar i vänsterledet med att förenkla uttrycket och dela upp termerna i realdelar och imaginärdelar. Uttryckets komplexkonjugat kan då avläsas.

För att gå vidare omarrangerar vi termerna för att få a-bi och c - di, vilket är z respektive w.

Likheten stämmer alltså för alla komplexa tal z och w.

Vi börjar lösa denna uppgift på samma sätt som i föregående deluppgift.

Svaret är ja om uttrycket ovan kan visas vara lika med (a - bi)(c - di), som är z * w. Vi börjar i andra änden och förenklar produkten (a - bi)(c - di) för att avgöra hur faktoriseringen ska gå till. Vi får då likheten (a - bi)(c - di) = ac - adi - bci + bdi^2. Om vårt uttryck kan skrivas om som högerledet ovan kan det faktoriseras med hjälp av den här likheten.

Vi har nu visat att likheten stämmer för alla komplexa tal z och w.

Vi förlänger bråket med nämnarens komplexkonjugat och förenklar sedan uttrycket. Vi får då ett reellt tal i nämnaren.

För att bli av med konjugattecknet förenklar vi först täljaren och delar sedan upp bråket i en realdel och en imaginärdel.

För att gå vidare behöver vi först slå ihop bråken. Vi faktoriserar sedan nämnaren till (c + di)(c-di), vilket är w * w, genom att använda konjugatregeln åt andra hållet.

För att få w ensamt i nämnaren måste w förkortas bort. Vi skriver om täljaren till z * w, vilket är (a - bi)(c + di), eftersom vi då kan förkorta bort w och samtidigt få det sökta uttrycket. En liknande faktorisering som i föregående deluppgift måste göras i täljaren. Vi använder likheten (a - bi)(c + di) = ac + adi - bci - bdi^2 för att genomföra faktoriseringen.

Vi har nu till slut visat att likheten stämmer för alla komplexa tal z och w.

Vi ska bestämma det värde på x som gör A rent imaginärt. Vi skriver om varje bråk med en reell nämnare genom att förlänga det med nämnarens konjugat, så att båda bråken får samma nämnare och kan adderas.

För att A ska vara rent imaginärt måste dess realdel vara noll. Vi delar upp uttrycket i sin realdel och sin imaginärdel. A = 16 + 8x/16 + x^2 + 2x^2 - 4x/16 + x^2i Realdelen är den första termen. Eftersom nämnaren 16 + x^2 alltid är positiv är realdelen noll precis när dess täljare är noll. Vi löser denna ekvation.

Vi ska bestämma värdet på A. Vi sätter in x = - 2 i imaginärdelen.